Dabā un tehnoloģijās mēs bieži sastopamies ar cietu ķermeņu, piemēram, vārpstu un zobratu, rotācijas kustību. Kā šis kustības veids tiek aprakstīts fizikā, kādas formulas un vienādojumi tam tiek izmantotas, šie un citi jautājumi ir apskatīti šajā rakstā.
Kas ir rotācija?
Katrs no mums intuitīvi iedomājas, par kādu kustību mēs runājam. Rotācija ir process, kurā ķermenis vai materiāla punkts pārvietojas pa apļveida ceļu ap kādu asi. No ģeometriskā viedokļa stingra ķermeņa rotācijas ass ir taisna līnija, kuras attālums kustības laikā paliek nemainīgs. Šo attālumu sauc par rotācijas rādiusu. Tālāk mēs to apzīmēsim ar burtu r. Ja rotācijas ass iet caur ķermeņa masas centru, tad to sauc par savu asi. Rotācijas ap savu asi piemērs ir atbilstošā Saules sistēmas planētu kustība.
Lai notiktu rotācija, ir jābūt centripetālam paātrinājumam, kas rodascentripetālais spēks. Šis spēks tiek virzīts no ķermeņa masas centra uz rotācijas asi. Centrpetālā spēka raksturs var būt ļoti atšķirīgs. Tātad kosmiskā mērogā gravitācija spēlē savu lomu, ja ķermenis ir fiksēts ar vītni, tad pēdējā spriedzes spēks būs centripetāls. Kad ķermenis griežas ap savu asi, centripetālā spēka lomu spēlē iekšējā elektroķīmiskā mijiedarbība starp elementiem (molekulām, atomiem), kas veido ķermeni.
Jāsaprot, ka bez centripetāla spēka klātbūtnes ķermenis kustēsies taisnā līnijā.
Fizikālie lielumi, kas raksturo rotāciju
Pirmkārt, tās ir dinamiskās īpašības. Tie ietver:
- momentum L;
- inerces moments I;
- spēka moments M.
Otrkārt, šīs ir kinemātiskās īpašības. Uzskaitīsim tos:
- rotācijas leņķis θ;
- leņķiskais ātrums ω;
- leņķiskais paātrinājums α.
Īsi aprakstīsim katru no šiem daudzumiem.
Leņķisko impulsu nosaka pēc formulas:
L=pr=mvr
Kur p ir lineārais impulss, m ir materiāla punkta masa, v ir tā lineārais ātrums.
Materiālā punkta inerces momentu aprēķina, izmantojot izteiksmi:
I=mr2
Jebkuram sarežģītas formas ķermenim I vērtību aprēķina kā materiālo punktu inerces momentu integrālo summu.
Spēka momentu M aprēķina šādi:
M=Fd
Šeit F -ārējais spēks, d - attālums no tā pielikšanas punkta līdz rotācijas asij.
Visu lielumu, kuru nosaukumā ir vārds "mirklis", fiziskā nozīme ir līdzīga atbilstošo lineāro lielumu nozīmei. Piemēram, spēka moments parāda pieliktā spēka spēju piešķirt rotējošu ķermeņu sistēmai leņķisko paātrinājumu.
Kinemātiskos raksturlielumus matemātiski definē ar šādām formulām:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Kā redzams no šīm izteiksmēm, leņķiskie raksturlielumi pēc nozīmes ir līdzīgi lineārajiem (ātrums v un paātrinājums a), tikai tie ir piemērojami apļveida trajektorijai.
Rotācijas dinamika
Fizikā stingra ķermeņa rotācijas kustības izpēte tiek veikta ar divu mehānikas nozaru palīdzību: dinamiku un kinemātiku. Sāksim ar dinamiku.
Dinamika pēta ārējos spēkus, kas iedarbojas uz rotējošu ķermeņu sistēmu. Uzreiz pierakstīsim stingra ķermeņa rotācijas kustības vienādojumu, un tad analizēsim tā sastāvdaļas. Tātad šis vienādojums izskatās šādi:
M=Iα
Spēka moments, kas iedarbojas uz sistēmu ar inerces momentu I, izraisa leņķiskā paātrinājuma α parādīšanos. Jo mazāka ir I vērtība, jo vieglāk ar noteikta momenta M palīdzību īsos laika intervālos pagriezt sistēmu līdz lieliem ātrumiem. Piemēram, metāla stieni ir vieglāk pagriezt pa savu asi, nevis perpendikulāri tai. Tomēr to pašu stieni ir vieglāk pagriezt ap asi, kas ir perpendikulāra tam un iet cauri masas centram, nevis pa tā galu.
Saglabāšanas likumsvērtības L
Šī vērtība tika ieviesta iepriekš, to sauc par leņķisko impulsu. Cietā ķermeņa rotācijas kustības vienādojums, kas parādīts iepriekšējā punktā, bieži tiek uzrakstīts citā formā:
Mdt=dL
Ja uz sistēmu iedarbojas ārējo spēku moments M laikā dt, tad tas izraisa sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņas par dL. Attiecīgi, ja spēku moments ir vienāds ar nulli, tad L=const. Šis ir vērtības L saglabāšanas likums. Tam, izmantojot attiecību starp lineāro un leņķisko ātrumu, mēs varam rakstīt:
L=mvr=mωr2=Iω.
Tādējādi, ja nav spēku momenta, leņķiskā ātruma un inerces momenta reizinājums ir nemainīga vērtība. Šo fizisko likumu izmanto daiļslidotāji savos priekšnesumos vai mākslīgos pavadoņos, kas kosmosā ir jāpagriež ap savu asi.
Centripetālais paātrinājums
Iepriekš, pētot stingra ķermeņa rotācijas kustību, šis lielums jau ir aprakstīts. Tika atzīmēts arī centripetālo spēku raksturs. Šeit mēs tikai papildināsim šo informāciju un sniegsim atbilstošās formulas šī paātrinājuma aprēķināšanai. Apzīmējiet to ar c.
Tā kā centripetālais spēks ir vērsts perpendikulāri asij un iet caur to, tas nerada momentu. Tas nozīmē, ka šis spēks absolūti neietekmē rotācijas kinemātiskos raksturlielumus. Tomēr tas rada centripetālu paātrinājumu. Mēs sniedzam divas formulastā definīcijas:
ac=v2/r;
ac=ω2r.
Tādējādi, jo lielāks ir leņķiskais ātrums un rādiuss, jo lielāks spēks jāpieliek, lai ķermenis noturētu apļveida ceļu. Spilgts šī fiziskā procesa piemērs ir automašīnas slīdēšana pagrieziena laikā. Slīdēšana notiek, kad centripetālais spēks, ko spēlē berzes spēks, kļūst mazāks par centrbēdzes spēku (inerces raksturlielums).
Rotācijas kinemātika
Trīs galvenie kinemātiskie raksturlielumi tika uzskaitīti iepriekš rakstā. Stingra ķermeņa rotācijas kustības kinemātiku apraksta ar šādām formulām:
θ=ωt=>ω=nemainīgs, α=0;
θ=ω0t + αt2/2=> ω=ω0 + αt, α=konst.
Pirmajā rindā ir formulas vienmērīgai rotācijai, kas pieņem, ka nav ārēja spēku momenta, kas iedarbojas uz sistēmu. Otrajā rindā ir formulas vienmērīgi paātrinātai kustībai pa apli.
Ņemiet vērā, ka rotācija var notikt ne tikai ar pozitīvu paātrinājumu, bet arī ar negatīvu. Šajā gadījumā otrās rindas formulās pirms otrā vārda ielieciet mīnusa zīmi.
Problēmu risināšanas piemērs
Spēka moments 1000 Nm iedarbojās uz metāla vārpstu 10 sekundes. Zinot, ka vārpstas inerces moments ir 50kgm2, nepieciešams noteikt leņķisko ātrumu, kādu minētais spēka moments deva vārpstai.
Pielietojot griešanās pamatvienādojumu, mēs aprēķinām vārpstas paātrinājumu:
M=Iα=>
α=M/I.
Tā kā šis leņķiskais paātrinājums iedarbojās uz vārpstu laikā t=10 sekundes, mēs izmantojam vienmērīgi paātrinātas kustības formulu, lai aprēķinātu leņķisko ātrumu:
ω=ω0+ αt=M/It.
Šeit ω0=0 (vārpsta negriezās līdz spēka momentam M).
Aizvietojiet lielumu skaitliskās vērtības ar vienādību, iegūstam:
ω=1000/5010=200 rad/s.
Lai šo skaitli pārvērstu parastajos apgriezienos sekundē, tas jādala ar 2pi. Pēc šīs darbības pabeigšanas mēs iegūstam, ka vārpsta griezīsies ar frekvenci 31,8 apgr./min.
