Kinemātika ir fizikas daļa, kas ņem vērā ķermeņu kustības likumus. Tā atšķirība no dinamikas ir tāda, ka tā neņem vērā spēkus, kas iedarbojas uz kustīgu ķermeni. Šis raksts ir veltīts jautājumam par rotācijas kustības kinemātiku.
Rotācijas kustība un tās atšķirība no kustības uz priekšu
Ja pievēršat uzmanību apkārtējiem kustīgajiem objektiem, varat redzēt, ka tie pārvietojas vai nu taisnā līnijā (automašīna brauc pa ceļu, lidmašīna lido debesīs), vai pa apli (tā pati automašīna, kas iebrauc pagriezienā, riteņa griešanās). Sarežģītākus objektu kustības veidus kā pirmo tuvinājumu var reducēt līdz divu norādīto veidu kombinācijai.
Progresīvā kustība ietver ķermeņa telpisko koordinātu maiņu. Šajā gadījumā to bieži uzskata par materiālu punktu (ģeometriskie izmēri netiek ņemti vērā).
Rotācijas kustība ir kustības veids, kurāsistēma pārvietojas pa apli ap kādu asi. Turklāt objekts šajā gadījumā reti tiek uzskatīts par materiālu punktu, visbiežāk tiek izmantots cits tuvinājums - absolūti stingrs ķermenis. Pēdējais nozīmē, ka elastīgie spēki, kas darbojas starp ķermeņa atomiem, tiek ignorēti un tiek pieņemts, ka sistēmas ģeometriskie izmēri rotācijas laikā nemainās. Vienkāršākais gadījums ir fiksēta ass.
Translācijas un rotācijas kustības kinemātika pakļaujas tiem pašiem Ņūtona likumiem. Līdzīgi fiziskie lielumi tiek izmantoti, lai aprakstītu abus kustību veidus.
Kādi lielumi raksturo kustību fizikā?
Rotācijas un translācijas kustības kinemātikā tiek izmantoti trīs pamatlielumi:
- Ceļš nobraukts. Mēs to apzīmēsim ar burtu L translācijas un θ - rotācijas kustībai.
- Ātrums. Lineārajā gadījumā to parasti raksta ar latīņu burtu v, kustībai pa apļveida ceļu - ar grieķu burtu ω.
- Paātrinājums. Lineāram un apļveida ceļam tiek izmantoti attiecīgi simboli a un α.
Bieži tiek lietots arī trajektorijas jēdziens. Bet aplūkojamo objektu kustības veidiem šis jēdziens kļūst triviāls, jo translācijas kustību raksturo lineāra trajektorija, bet rotāciju - ar apli.
Lineārie un leņķiskie ātrumi
Sāksim materiāla punkta rotācijas kustības kinemātikuskatoties no ātruma jēdziena. Ir zināms, ka ķermeņu translācijas kustībai šī vērtība apraksta, kurš ceļš tiks pārvarēts laika vienībā, tas ir:
v=L / t
V mēra metros sekundē. Rotācijai ir neērti ņemt vērā šo lineāro ātrumu, jo tas ir atkarīgs no attāluma līdz rotācijas asij. Tiek ieviests nedaudz atšķirīgs raksturlielums:
ω=θ / t
Šī ir viena no galvenajām rotācijas kustības kinemātikas formulām. Tas parāda, kādā leņķī θ visa sistēma apgriezīsies ap fiksētu asi laikā t.
Abas iepriekš minētās formulas atspoguļo vienu un to pašu kustības ātruma fizisko procesu. Tikai lineārajā gadījumā attālums ir svarīgs, savukārt apļveida gadījumā – griešanās leņķis.
Abas formulas mijiedarbojas viena ar otru. Iegūsim šo savienojumu. Ja izsakām θ radiānos, tad materiāls punkts, kas rotē attālumā R no ass, veicot vienu apgriezienu, pārvietosies pa ceļu L=2piR. Lineārā ātruma izteiksme būs šāda:
v=L / t=2piR / t
Bet 2pi radiānu attiecība pret laiku t nav nekas cits kā leņķiskais ātrums. Tad mēs iegūstam:
v=ωR
No šejienes var redzēt, ka jo lielāks ir lineārais ātrums v un mazāks griešanās rādiuss R, jo lielāks ir leņķiskais ātrums ω.
Lineārais un leņķiskais paātrinājums
Vēl viena svarīga materiāla punkta rotācijas kustības kinemātikā pazīme ir leņķiskais paātrinājums. Pirms mēs viņu iepazīstam, pieņemsimformula līdzīgai lineārai vērtībai:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
Pirmā izteiksme atspoguļo momentāno paātrinājumu (dt ->0), savukārt otrā formula ir piemērota, ja ātrums mainās vienmērīgi laika gaitā Δt. Otrajā variantā iegūto paātrinājumu sauc par vidējo.
Ņemot vērā lineāro un rotācijas kustību raksturojošo lielumu līdzību, leņķiskajam paātrinājumam varam rakstīt:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
Šo formulu interpretācija ir tieši tāda pati kā lineārajā gadījumā. Vienīgā atšķirība ir tā, ka a parāda, cik metru sekundē mainās ātrums laika vienībā, un α parāda, cik radiānu sekundē mainās leņķiskais ātrums tajā pašā laika periodā.
Atradīsim saikni starp šiem paātrinājumiem. Aizstājot v vērtību, kas izteikta ar ω, vienā no divām α vienādībām, mēs iegūstam:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
No tā izriet, ka jo mazāks ir rotācijas rādiuss un jo lielāks lineārais paātrinājums, jo lielāka ir α vērtība.
Nobrauktais attālums un pagrieziena leņķis
Atliek dot formulas pēdējam no trim pamatlielumiem rotācijas kustības kinemātikā ap fiksētu asi - griešanās leņķim. Tāpat kā iepriekšējos punktos, mēs vispirms pierakstām formulu vienmērīgi paātrinātai taisnvirziena kustībai, mums ir:
L=v0 t + a t2 / 2
Pilnīga līdzība ar rotācijas kustību noved pie šādas formulas:
θ=ω0 t + αt2 / 2
Pēdējā izteiksme ļauj iegūt rotācijas leņķi jebkuram laikam t. Ņemiet vērā, ka apkārtmērs ir 2pi radiāni (≈ 6,3 radiāni). Ja uzdevuma risināšanas rezultātā θ vērtība ir lielāka par norādīto vērtību, tad ķermenis ir veicis vairāk nekā vienu apgriezienu ap asi.
Formulu attiecībām starp L un θ iegūst, aizstājot atbilstošās vērtības ω0un α, izmantojot lineāros raksturlielumus:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
Iegūtā izteiksme atspoguļo paša leņķa θ nozīmi radiānos. Ja θ=1 rad, tad L=R, tas ir, viena radiāna leņķis balstās uz loka, kura garums ir viens rādiuss.
Problēmu risināšanas piemērs
Atrisināsim šādu rotācijas kinemātikas problēmu: mēs zinām, ka automašīna pārvietojas ar ātrumu 70 km/h. Zinot, ka tā riteņa diametrs ir D=0,4 metri, ir jānosaka tā vērtība ω, kā arī apgriezienu skaits, ko tas veiks, automašīnai nobraucot 1 kilometru.
Lai atrastu leņķisko ātrumu, pietiek ar zināmo datu aizstāšanu formulā, lai to attiecinātu uz lineāro ātrumu, iegūstam:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
Līdzīgi leņķim θ, līdz kuram ritenis pagriezīsies pēc garāmbraukšanas1 km, mēs iegūstam:
θ=L/R=1000/0, 2=5000 rad.
Ņemot vērā, ka viens apgrieziens ir 6,2832 radiāni, mēs iegūstam riteņa apgriezienu skaitu, kas atbilst šim leņķim:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 pagriezieni.
Atbildējām uz jautājumiem, izmantojot rakstā esošās formulas. Problēmu bija iespējams atrisināt arī savādāk: aprēķināt laiku, kurā automašīna nobrauks 1 km, un aizstāt to griešanās leņķa formulā, no kuras mēs varam iegūt leņķisko ātrumu ω. Atbilde atrasta.
