Zinot attālumu no punkta līdz plaknei vai taisnei, varat aprēķināt figūru tilpumu un virsmas laukumu telpā. Šī attāluma aprēķins ģeometrijā tiek veikts, izmantojot atbilstošos vienādojumus norādītajiem ģeometriskiem objektiem. Rakstā parādīsim, ar kādām formulām to var noteikt.
Līnijas un plaknes vienādojumi
Pirms sniedzam formulas attāluma noteikšanai no punkta līdz plaknei un taisnei, parādīsim, kādi vienādojumi apraksta šos objektus.
Lai definētu punktu, tiek izmantota koordinātu kopa dotajā koordinātu asu sistēmā. Šeit mēs apskatīsim tikai Dekarta taisnstūra sistēmu, kurā asīm ir vienādi vienību vektori un tās ir savstarpēji perpendikulāras. Plaknē patvaļīgu punktu apraksta ar divām koordinātām, telpā - ar trim.
Lai definētu taisnu līniju, tiek izmantoti dažāda veida vienādojumi. Saskaņā ar raksta tēmu mēs piedāvājamtikai divi no tiem, kas tiek izmantoti divdimensiju telpā, lai definētu līnijas.
Vektoru vienādojums. Tam ir šāds apzīmējums:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Pirmais termins šeit apzīmē zināma punkta koordinātas, kas atrodas uz līnijas. Otrais termins ir virziena vektora koordinātas, kas reizinātas ar patvaļīgu skaitli λ.
Vispārējais vienādojums. Tā apzīmējums ir šāds:
Ax + By + C=0;
kur A, B, C ir daži koeficienti.
Vispārējo vienādojumu biežāk izmanto taisnu noteikšanai plaknē, tomēr, lai atrastu attālumu no punkta līdz plaknes taisnei, ērtāk ir strādāt ar vektora izteiksmi.
Plakni trīsdimensiju telpā var uzrakstīt arī vairākos matemātiski veidos. Tomēr visbiežāk uzdevumos ir vispārīgs vienādojums, kas tiek uzrakstīts šādi:
Ax + By + Cz + D=0.
Šī apzīmējuma priekšrocība attiecībā pret citiem ir tāda, ka tajā ir skaidri ietvertas plaknei perpendikulāra vektora koordinātas. Šo vektoru sauc par ceļvedi, tas sakrīt ar normālvirzienu, un tā koordinātas ir vienādas ar (A; B; C).
Ņemiet vērā, ka iepriekš minētā izteiksme sakrīt ar taisnes taisnes vispārīga vienādojuma rakstīšanas formu divdimensiju telpā, tāpēc, risinot uzdevumus, jums jābūt uzmanīgiem, lai nesajauktu šos ģeometriskos objektus.
Attālums starp punktu un līniju
Parādīsim, kā aprēķināt attālumu starp taisni unpunkts divdimensiju telpā.
Lai ir kāds punkts Q(x1; y1) un rinda, ko nosaka:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Attālums starp taisni un punktu tiek saprasts kā atzara garums, kas ir perpendikulārs šai taisnei, nolaižot uz to no punkta Q.
Pirms šī attāluma aprēķināšanas šajā vienādojumā jāaizstāj Q koordinātas. Ja viņi to apmierina, tad Q pieder dotajai līnijai, un atbilstošais attālums ir vienāds ar nulli. Ja punkta koordinātas nenoved pie vienlīdzības, tad attālums starp ģeometriskiem objektiem nav nulle. To var aprēķināt, izmantojot formulu:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Šeit P ir patvaļīgs taisnes punkts, kas ir vektora PQ¯ sākums. Vektors u¯ ir virzošais segments taisnei, tas ir, tā koordinātas ir (a; b).
Izmantojot šo formulu, ir nepieciešama iespēja skaitītājā aprēķināt krustojumu.
Problēma ar punktu un līniju
Pieņemsim, ka jums jāatrod attālums starp Q(-3; 1) un taisni, kas atbilst vienādojumam:
y=5x -2.
Aizvietojot izteiksmē Q koordinātas, mēs varam pārliecināties, ka Q neatrodas uz taisnes. Varat izmantot d formulu, kas sniegta iepriekšējā punktā, ja attēlojat šo vienādojumu vektora formā. Darīsim to šādi:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Tagad ņemsim jebkuru punktu uz šīs līnijas, piemēram (0; -2), un izveidosim vektoru, kas sākas ar to un beidzas ar Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Tagad izmantojiet formulu, lai noteiktu attālumu, mēs iegūstam:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Attālums no punkta līdz plaknei
Tāpat kā taisnas līnijas gadījumā, attālums starp plakni un telpas punktu tiek saprasts kā segmenta garums, kas no dotā punkta ir perpendikulāri nolaists plaknei un šķērso to.
Telpā punktu nosaka trīs koordinātes. Ja tie ir vienādi ar (x1; y1; z1), tad attālums starp plakni un šo punktu var aprēķināt, izmantojot formulu:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Ņemiet vērā, ka formulas izmantošana ļauj atrast tikai attālumu no plaknes līdz līnijai. Lai atrastu koordinātas punktam, kurā perpendikulārs posms krusto plakni, ir jāuzraksta vienādojums tai taisnei, pie kuras pieder šis segments, un pēc tam jāatrod kopīgs punkts šai taisnei un noteiktai plaknei.
Problēma ar plakni un punktu
Atrodiet attālumu no punkta līdz plaknei, ja ir zināms, ka punktam ir koordinātes (3; -1; 2) un plakne ir norādīta ar:
-y + 3z=0.
Lai izmantotu atbilstošo formulu, vispirms izrakstām koeficientus priekšdotā lidmašīna. Tā kā mainīgā x un brīvā vārda nav, koeficienti A un D ir vienādi ar nulli. Mums ir:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Ir viegli parādīt, ka šī plakne iet caur sākuma punktu un tai pieder x ass.
Aizvietojiet punkta koordinātas un plaknes koeficientus attāluma d formulā, iegūstam:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Ņemiet vērā, ka, mainot punkta x koordinātu, attālums d nemainīsies. Šis fakts nozīmē, ka punktu kopa (x; -1; 2) veido taisni, kas ir paralēla dotajai plaknei.
