Trīsstūra piramīda un formulas tās laukuma noteikšanai

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Piramīda ir ģeometriska telpiska figūra, kuras īpašības tiek pētītas vidusskolā cietās ģeometrijas kursā. Šajā rakstā mēs apskatīsim trīsstūrveida piramīdu, tās veidus, kā arī formulas tās virsmas laukuma aprēķināšanai.

Par kuru piramīdu mēs runājam?

Trīsstūra piramīda ir figūra, ko var iegūt, savienojot visas patvaļīga trīsstūra virsotnes ar vienu punktu, kas neatrodas šī trijstūra plaknē. Saskaņā ar šo definīciju aplūkotajai piramīdai ir jāsastāv no sākuma trīsstūra, ko sauc par figūras pamatni, un trīs sānu trijstūriem, kuriem ir viena kopīga mala ar pamatni un kuri ir savienoti viens ar otru kādā punktā. Pēdējo sauc par piramīdas virsotni.

Augšējā attēlā redzama patvaļīga trīsstūrveida piramīda.

Attiecīgais skaitlis var būt slīps vai taisns. Pēdējā gadījumā perpendikulam, kas nomests no piramīdas augšdaļas līdz pamatnei, tas jāšķērso ģeometriskajā centrā. jebkura ģeometriskais centrstrīsstūris ir tā mediānu krustpunkts. Ģeometriskais centrs sakrīt ar figūras masas centru fizikā.

Ja taisnas piramīdas pamatnē atrodas regulārs (vienādmalu) trīsstūris, tad to sauc par regulāru trīsstūri. Regulārā piramīdā visas malas ir vienādas viena ar otru un ir vienādmalu trīsstūri.

Ja regulāras piramīdas augstums ir tāds, ka tās sānu trīsstūri kļūst vienādmalu, tad to sauc par tetraedru. Tetraedrā visas četras skalas ir vienādas viena ar otru, tāpēc katru no tām var uzskatīt par pamatu.

Piramīdas elementi

Šie elementi ietver figūras sejas vai malas, tās malas, virsotnes, augstumu un apotēmas.

Kā parādīts, visas trīsstūrveida piramīdas malas ir trīsstūri. To skaits ir 4 (3 sānos un viens apakšā).

Virsotnes ir trīs trīsstūra malu krustošanās punkti. Nav grūti uzminēt, ka aplūkotajai piramīdai tās ir 4 (3 pieder piramīdas pamatnei un 1 virsotnei).

Malas var definēt kā līnijas, kas krusto divas trīsstūra malas, vai kā līnijas, kas savieno katras divas virsotnes. Malu skaits atbilst divkāršam pamata virsotņu skaitam, tas ir, trīsstūrveida piramīdai tas ir 6 (3 malas pieder pie pamatnes un 3 malas veido sānu virsmas).

Augstums, kā minēts iepriekš, ir perpendikula garums, kas novilkts no piramīdas augšdaļas līdz tās pamatnei. Ja mēs no šīs virsotnes novelkam augstumus uz katru trīsstūra pamatnes pusi,tad tos sauks par apotēmām (vai apotēmām). Tādējādi trīsstūrveida piramīdai ir viens augstums un trīs apotēmas. Pēdējie ir vienādi viens ar otru parastajai piramīdai.

Piramīdas pamatne un tās laukums

Tā kā aplūkojamās figūras pamats parasti ir trīsstūris, lai aprēķinātu tā laukumu, pietiek ar tā augstumu h_o un pamatnes malas garumu. a, uz kuras tas ir nolaists. Pamata apgabala S_o formula ir:

S_o=1/2h_oa

Ja pamatnes trijstūris ir vienādmalu, tad trīsstūrveida piramīdas pamatnes laukumu aprēķina pēc šādas formulas:

S_o=√3/4a²

Tas ir, laukums S_o ir unikāli noteikts pēc trīsstūra pamatnes malas a garuma.

Figūras mala un kopējais laukums

Pirms apsvērt trīsstūrveida piramīdas laukumu, ir lietderīgi parādīt tās attīstību. Viņa ir attēlota zemāk.

Šī slaucīšanas laukums, ko veido četri trīsstūri, ir piramīdas kopējais laukums. Viens no trijstūriem atbilst pamatnei, kuras aplūkotās vērtības formula tika uzrakstīta iepriekš. Trīs sānu trīsstūrveida sejas kopā veido figūras sānu laukumu. Tāpēc, lai noteiktu šo vērtību, pietiek katram no tiem piemērot iepriekš minēto formulu patvaļīgam trīsstūrim un pēc tam pievienot trīs rezultātus.

Ja piramīda ir pareiza, tad aprēķinssānu virsmas laukums ir atvieglots, jo visas sānu malas ir identiski vienādmalu trīsstūri. Apzīmējiet h_bapotēmas garumu, tad sānu virsmas laukumu S_b var noteikt šādi:

S_b=3/2ah_b

Šī formula izriet no trijstūra laukuma vispārīgās izteiksmes. Skaitītājos skaitlis 3 parādījās tāpēc, ka piramīdai ir trīs sānu malas.

Apotēmu h_b regulārā piramīdā var aprēķināt, ja ir zināms figūras h augstums. Pielietojot Pitagora teorēmu, iegūstam:

h_b=√(h²+ a²/12)

Acīmredzot, figūras virsmas kopējais laukums S ir vienāds ar tās sānu un pamatlaukumu summu:

S=S_o+ S_b

Parastai piramīdai, aizstājot visas zināmās vērtības, iegūstam formulu:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Trīsstūra piramīdas laukums ir atkarīgs tikai no tās pamatnes malas garuma un augstuma.

Problēmas piemērs

Ir zināms, ka trīsstūrveida piramīdas sānu mala ir 7 cm, bet pamatnes mala ir 5 cm. Jums jāatrod figūras virsmas laukums, ja zināt, ka piramīda ir regulāra.

Izmantojiet vispārīgu vienlīdzību:

S=S_o+ S_b

Apgabals S_oir vienāds ar:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825 cm}2.

Lai noteiktu sānu virsmas laukumu, jāatrod apotēma. Nav grūti parādīt, ka caur sānu malas garumu a_b to nosaka pēc formulas:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Tad S_b laukums ir:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

Piramīdas kopējā platība ir:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86 cm².

Ņemiet vērā, ka, risinot uzdevumu, aprēķinos neizmantojām piramīdas augstuma vērtību.