Aplis ir galvenā figūra ģeometrijā, par kuras īpašībām 8.klasē tiek domāts skolā. Viena no tipiskām problēmām, kas saistītas ar apli, ir atrast kādas tā daļas laukumu, ko sauc par apļveida sektoru. Rakstā sniegtas formulas sektora laukumam un tā loka garumam, kā arī to izmantošanas piemērs konkrētas problēmas risināšanai.
Apļa un apļa jēdziens
Pirms dodat apļa sektora laukuma formulu, apsveriet, kāds ir norādītais skaitlis. Saskaņā ar matemātisko definīciju ar apli saprot tādu figūru plaknē, kuras visi punkti atrodas vienādā attālumā no kāda viena punkta (centra).
Aplūkojot apli, tiek izmantota šāda terminoloģija:
- Rādiuss - segments, kas tiek novilkts no centrālā punkta līdz apļa līknei. Parasti to apzīmē ar burtu R.
- Diametrs ir segments, kas savieno divus apļa punktus, bet iet arī caur figūras centru. Parasti to apzīmē ar burtu D.
- Arka ir daļa no izliekta apļa. To mēra vai nu garuma vienībās, vai izmantojot leņķus.
Aplis ir vēl viena svarīga ģeometrijas figūra, tas ir punktu kopums, ko ierobežo izliekts aplis.
Apļa laukums un apkārtmērs
Vērtības, kas norādītas vienuma nosaukumā, tiek aprēķinātas, izmantojot divas vienkāršas formulas. Tie ir norādīti zemāk:
- Apkārtmērs: L=2piR.
- Apļa laukums: S=piR2.
Šajās formulās pi ir kāda konstante, ko sauc par Pi. Tas ir neracionāls, tas ir, to nevar izteikt tieši kā vienkāršu daļskaitli. Pi ir aptuveni 3,1416.
Kā redzams no iepriekš minētajām izteiksmēm, lai aprēķinātu laukumu un garumu, pietiek zināt tikai apļa rādiusu.
Apļa sektora laukums un tā loka garums
Pirms izskatām atbilstošās formulas, atceramies, ka leņķi ģeometrijā parasti izsaka divos galvenajos veidos:
- sešusimālos grādos, un pilna rotācija ap savu asi ir 360o;
- radiānos, izteikts kā pi daļas un saistīts ar grādiem ar šādu vienādojumu: 2pi=360o.
Apļa sektors ir figūra, ko ierobežo trīs līnijas: apļa loks un divi rādiusi, kas atrodas šī loka galos. Apļveida sektora piemērs ir parādīts zemāk esošajā fotoattēlā.
Gūt priekšstatu par to, kas ir apļa sektors, tas ir vienkāršisaprast, kā aprēķināt tā laukumu un atbilstošā loka garumu. No attēla var redzēt, ka sektora loks atbilst leņķim θ. Mēs zinām, ka pilns aplis atbilst 2pi radiāniem, tāpēc apļa sektora laukuma formula būs šāda: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Šeit leņķis θ ir izteikts radiānos. Līdzīga formula sektora laukumam, ja leņķi θ mēra grādos, izskatīsies šādi: S1=piθR2 /360.
Sektoru veidojošā loka garumu aprēķina pēc formulas: L1=θ2piR/(2pi)=θR. Un, ja θ ir zināms grādos, tad: L1=piθR/180.
Problēmu risināšanas piemērs
Izmantosim vienkāršas problēmas piemēru, lai parādītu, kā izmantot formulas apļa sektora laukumam un tā loka garumam.
Ir zināms, ka ritenim ir 12 spieķi. Kad ritenis veic vienu pilnu apgriezienu, tas veic 1,5 metru attālumu. Kāds ir laukums, kas atrodas starp diviem blakus esošajiem riteņa spieķiem, un kāds ir loka garums starp tiem?
Kā redzams no atbilstošajām formulām, lai tās izmantotu, ir jāzina divi lielumi: riņķa rādiuss un loka leņķis. Rādiusu var aprēķināt, zinot riteņa apkārtmēru, jo attālums, ko tas nobrauc vienā apgriezienā, precīzi atbilst tam. Mums ir: 2Rpi=1,5, no kurienes: R=1,5 / (2pi)=0,2387 metri. Leņķi starp tuvākajiem spieķiem var noteikt, zinot to skaitu. Pieņemot, ka visi 12 spieķi apli vienmērīgi sadala vienādos sektoros, iegūstam 12 vienādus sektorus. Attiecīgi loka leņķiskais mērs starp diviem spieķiem ir: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radiāni.
Esam atraduši visas nepieciešamās vērtības, tagad tās var aizvietot formulās un aprēķināt vērtības, kas nepieciešamas problēmas nosacījumam. Mēs iegūstam: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, vai 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m vai 12,5 cm.
