Sekundes, pieskares - to visu ģeometrijas stundās varēja dzirdēt simtiem reižu. Bet skolas izlaidums beidzies, gadi paiet, un visas šīs zināšanas aizmirstas. Kas būtu jāatceras?
Essence
Jēdziens "apļa pieskare", iespējams, ir pazīstams ikvienam. Bet maz ticams, ka ikviens spēs ātri formulēt tās definīciju. Tikmēr pieskare ir tāda taisna līnija, kas atrodas vienā plaknē ar apli, kas to šķērso tikai vienā punktā. To var būt ļoti daudz dažādu, taču tiem visiem ir vienādas īpašības, kas tiks aplūkotas turpmāk. Kā jūs varētu nojaust, saskares punkts ir vieta, kur krustojas aplis un līnija. Katrā gadījumā tas ir viens, bet, ja ir vairāk, tad tas būs sekants.
Atklāšanas un izpētes vēsture
Tangences jēdziens parādījās senatnē. Šo taisnu līniju konstruēšana vispirms uz apli, bet pēc tam uz elipsēm, parabolām un hiperbolām ar lineāla un kompasa palīdzību tika veikta pat ģeometrijas attīstības sākumposmā. Protams, vēsture nav saglabājusi atklājēja vārdu, betir acīmredzams, ka jau tajā laikā cilvēki labi apzinājās riņķa pieskares īpašības.
Mūsdienās interese par šo parādību atkal uzliesmoja - sākās jauna šīs koncepcijas izpētes kārta, kas apvienota ar jaunu līkņu atklāšanu. Tātad Galileo ieviesa cikloīda jēdzienu, un Fermā un Dekarts izveidoja tam pieskārienu. Kas attiecas uz apļiem, tad šķiet, ka šajā apkaimē senajiem nav atstāti nekādi noslēpumi.
Properties
Rādiuss, kas novilkts uz krustojuma punktu, būs perpendikulārs līnijai. Tas ir
galvenā, bet ne vienīgā īpašība, kas piemīt apļa tangensam. Vēl viena svarīga iezīme ietver jau divas taisnas līnijas. Tātad caur vienu punktu, kas atrodas ārpus apļa, var novilkt divas pieskares, kamēr to segmenti būs vienādi. Par šo tēmu ir vēl viena teorēma, taču tā reti tiek apskatīta standarta skolas kursa ietvaros, lai gan tā ir ārkārtīgi ērta dažu problēmu risināšanai. Tas izklausās šādi. No viena punkta, kas atrodas ārpus apļa, tam tiek novilkta pieskare un sekants. Tiek veidoti segmenti AB, AC un AD. A ir līniju krustpunkts, B ir saskares punkts, C un D ir krustojumi. Šajā gadījumā būs spēkā šāda vienādība: riņķa pieskares garums kvadrātā būs vienāds ar segmentu AC un AD reizinājumu.
No iepriekš minētā izriet svarīgas sekas. Katram apļa punktam var izveidot pieskares, bet tikai vienu. Pierādījums tam ir pavisam vienkāršs: teorētiski nometot uz tā perpendikulu no rādiusa, mēs uzzinām, ka izveidotātrīsstūris nevar pastāvēt. Un tas nozīmē, ka pieskare ir vienīgā.
Ēka
Starp citām ģeometrijas problēmām parasti ir īpaša kategorija, nevis
mīlēja skolēni un studenti. Lai atrisinātu šīs kategorijas uzdevumus, nepieciešams tikai kompass un lineāls. Tie ir celtniecības uzdevumi. Ir arī metodes pieskares konstruēšanai.
Tātad, ņemot vērā apli un punktu, kas atrodas ārpus tā robežām. Un caur tiem ir jāizvelk tangenss. Kā to izdarīt? Pirmkārt, jums ir jānozīmē segments starp apļa O centru un doto punktu. Pēc tam, izmantojot kompasu, sadaliet to uz pusēm. Lai to izdarītu, jāiestata rādiuss - nedaudz vairāk par pusi no attāluma starp sākotnējā apļa centru un doto punktu. Pēc tam jums ir jāizveido divi krustojoši loki. Turklāt kompasa rādiuss nav jāmaina, un katras apļa daļas centrs būs attiecīgi sākuma punkts un O. Loku krustpunktiem jābūt savienotiem, kas sadalīs segmentu uz pusēm. Iestatiet kompasa rādiusu, kas vienāds ar šo attālumu. Pēc tam ar centru krustpunktā uzzīmējiet vēl vienu apli. Uz tā atradīsies gan sākuma punkts, gan O. Šajā gadījumā būs vēl divi krustojumi ar uzdevumā norādīto apli. Tie būs saskares punkti sākotnēji norādītajam punktam.
Interesanti
Tā bija apļa pieskares konstruēšana, kas noveda pie
diferenciālrēķins. Pirmais darbs par šo tēmu bijapublicējis slavenais vācu matemātiķis Leibnics. Viņš paredzēja iespēju atrast maksimumus, minimumus un pieskares neatkarīgi no daļskaitļa un iracionālām vērtībām. Tagad to izmanto arī daudziem citiem aprēķiniem.
Turklāt apļa pieskare ir saistīta ar pieskares ģeometrisko nozīmi. No turienes cēlies tās nosaukums. Tulkojumā no latīņu valodas tangens nozīmē "pieskare". Tādējādi šis jēdziens ir saistīts ne tikai ar ģeometriju un diferenciālrēķinu, bet arī ar trigonometriju.
Divi apļi
Ne vienmēr tangenss ietekmē tikai vienu formu. Ja uz vienu apli var novilkt milzīgu skaitu taisnu līniju, tad kāpēc gan ne otrādi? Var. Bet uzdevums šajā gadījumā ir nopietni sarežģīts, jo divu apļu pieskare var neiet cauri nevienam punktam, un visu šo figūru relatīvais novietojums var būt ļoti
atšķiras.
Veidi un šķirnes
Runājot par diviem apļiem un vienu vai vairākām līnijām, pat ja ir zināms, ka tās ir pieskares, uzreiz nekļūst skaidrs, kā visas šīs figūras atrodas viena pret otru. Pamatojoties uz to, ir vairākas šķirnes. Tātad apļiem var būt viens vai divi kopīgi punkti vai arī tie var nebūt vispār. Pirmajā gadījumā tie krustosies, bet otrajā - pieskarsies. Un šeit ir divas šķirnes. Ja viens aplis it kā ir iegults otrajā, tad pieskārienu sauc par iekšējo, ja nē, tad par ārējo. saprast savstarpējufigūru atrašanās vieta ir iespējama ne tikai pēc zīmējuma, bet arī ar informāciju par to rādiusu summu un attālumu starp to centriem. Ja šie divi lielumi ir vienādi, tad apļi saskaras. Ja pirmais ir lielāks, tie krustojas, un, ja tas ir mazāks, tad tiem nav kopīgu punktu.
Tas pats ar taisnām līnijām. Jebkuriem diviem apļiem, kuriem nav kopīgu punktu, varat
konstruējiet četras pieskares. Divas no tām krustosies starp figūrām, tās sauc par iekšējām. Pāris citi ir ārēji.
Ja mēs runājam par apļiem, kuriem ir viens kopīgs punkts, tad uzdevums ir ievērojami vienkāršots. Fakts ir tāds, ka jebkurai savstarpējai vienošanās šajā gadījumā viņiem būs tikai viena pieskare. Un tas iet cauri viņu krustojuma punktam. Tātad grūtības konstrukcija neradīs.
Ja figūrām ir divi krustošanās punkti, tad tām var izveidot taisni, pieskaroties riņķim gan vienam, gan otrajam, bet tikai ārējam. Šīs problēmas risinājums ir līdzīgs tam, kas tiks apspriests tālāk.
Problēmu risināšana
Gan iekšējās, gan ārējās pieskares diviem apļiem nav tik vienkārši konstruējamas, lai gan šo problēmu var atrisināt. Fakts ir tāds, ka šim nolūkam tiek izmantota papildu figūra, tāpēc padomājiet par šo metodi pats
diezgan problemātiski. Tātad, doti divi apļi ar dažādiem rādiusiem un centriem O1 un O2. Viņiem ir jāizveido divi pieskares pāri.
Pirmkārt, netālu no lielākā centraapļi jābūvē palīgierīces. Šajā gadījumā uz kompasa ir jānosaka atšķirība starp divu sākotnējo skaitļu rādiusiem. Papildu apļa pieskares veido no mazākā apļa centra. Pēc tam no O1 un O2 šīm līnijām tiek novilkti perpendikuli, līdz tie krustojas ar sākotnējām figūrām. Kā izriet no pieskares galvenās īpašības, tiek atrasti vēlamie punkti uz abiem apļiem. Problēma ir atrisināta, vismaz tās pirmā daļa.
Lai konstruētu iekšējās pieskares, būs praktiski jāatrisina
līdzīgs uzdevums. Atkal ir nepieciešama palīgfigūra, bet šoreiz tās rādiuss būs vienāds ar sākotnējo figūru summu. Pieskares tai tiek konstruētas no viena no dotā apļa centra. Tālāko risinājuma gaitu var saprast no iepriekšējā piemēra.
Pieskare aplim vai pat diviem vai vairāk nav tik grūts uzdevums. Protams, matemātiķi jau sen vairs nav risinājuši šādas problēmas manuāli un uztic aprēķinus īpašām programmām. Bet nedomājiet, ka tagad tas nav jāspēj izdarīt pats, jo, lai pareizi formulētu uzdevumu datoram, jums ir daudz jādara un jāsaprot. Diemžēl pastāv bažas, ka pēc galīgās pārejas uz zināšanu kontroles pārbaudes formu, būvniecības uzdevumi skolēniem sagādās arvien lielākas grūtības.
Kas attiecas uz kopīgu pieskares atrašanu vairākiem apļiem, tas ne vienmēr ir iespējams, pat ja tie atrodas vienā plaknē. Bet dažos gadījumos jūs varat atrast šādu taisnu līniju.
Dzīves piemēri
Praksē bieži sastopama divu apļu kopīgā tangense, lai gan tā ne vienmēr ir pamanāma. Konveijeri, bloku sistēmas, skriemeļu transmisijas siksnas, diegu spriegojums šujmašīnā un pat tikai velosipēda ķēde - tie visi ir piemēri no dzīves. Tāpēc nedomājiet, ka ģeometriskās problēmas paliek tikai teorētiski: inženierzinātnēs, fizikā, būvniecībā un daudzās citās jomās tās atrod praktisku pielietojumu.
