Apgrieztās trigonometriskās funkcijas tradicionāli sagādā grūtības skolēniem. Spēja aprēķināt skaitļa arktangensu var būt nepieciešama USE uzdevumos planimetrijā un stereometrijā. Lai veiksmīgi atrisinātu vienādojumu un uzdevumu ar parametru, jums ir jāsaprot arktangenses funkcijas īpašības.
Definīcija
Cipara x loka tangenss ir skaitlis y, kura tangenss ir x. Šī ir matemātiskā definīcija.
Arktangenta funkcija ir uzrakstīta kā y=arctg x.
Vispārīgāk: y=Carctg (kx + a).
Aprēķins
Lai saprastu, kā darbojas arktangenta apgrieztā trigonometriskā funkcija, vispirms ir jāatceras, kā tiek noteikta skaitļa pieskares vērtība. Apskatīsim tuvāk.
X tangenss ir x sinusa attiecība pret x kosinusu. Ja ir zināms vismaz viens no šiem diviem lielumiem, tad otrā moduli var iegūt no pamata trigonometriskās identitātes:
sin2 x + cos2 x=1.
Neapšaubāmi, būs nepieciešams novērtējums, lai atbloķētu moduli.
Jair zināms pats skaitlis, nevis tā trigonometriskie raksturlielumi, tad vairumā gadījumu ir nepieciešams aptuveni novērtēt skaitļa tangensu, atsaucoties uz Bradis tabulu.
Izņēmumi ir tā sauktās standarta vērtības.
Tie ir parādīti šajā tabulā:
Papildus iepriekšminētajam, par standartu var uzskatīt jebkuras vērtības, kas iegūtas no datiem, pievienojot skaitļus formā ½πк (к - jebkurš vesels skaitlis, π=3, 14).
Tieši tas pats attiecas uz loka tangensu: visbiežāk aptuveno vērtību var redzēt no tabulas, taču ir zināmas tikai dažas vērtības:
Praksē, risinot skolas matemātikas uzdevumus, ir pieņemts sniegt atbildi izteiksmes veidā, kas satur arktangensu, nevis tā aptuveno novērtējumu. Piemēram, arctg 6, arctg (-¼).
Grafikas uzzīmēšana
Tā kā pieskarei var būt jebkura vērtība, arktangensa funkcijas domēns ir visa skaitļa līnija. Paskaidrosim sīkāk.
Tā pati tangensa atbilst bezgalīgam argumentu skaitam. Piemēram, ne tikai nulles tangenss ir vienāds ar nulli, bet arī jebkura skaitļa pieskare formā π k, kur k ir vesels skaitlis. Tāpēc matemātiķi vienojās izvēlēties loka tangensas vērtības no intervāla no -½ π līdz ½ π. Tas ir jāsaprot šādi. Arktangensas funkcijas diapazons ir intervāls (-½ π; ½ π). Atstarpes gali nav iekļauti, jo pieskares -½p un ½p nepastāv.
Norādītajā intervālā tangensa ir nepārtrauktapalielinās. Tas nozīmē, ka loka tangensa apgrieztā funkcija arī nepārtraukti palielinās visā skaitļu taisnē, bet ir ierobežota no augšas un apakšas. Rezultātā tai ir divas horizontālās asimptotes: y=-½ π un y=½ π.
Šajā gadījumā tg 0=0, citi krustošanās punkti ar abscisu asi, izņemot (0;0), grafikā nevar būt pieauguma dēļ.
Kā izriet no pieskares funkcijas paritātes, arktangensam ir līdzīga īpašība.
Lai izveidotu grafiku, ņemiet vairākus punktus no standarta vērtībām:
Funkcijas y=arctg x atvasinājumu jebkurā punktā aprēķina pēc formulas:
Ņemiet vērā, ka tā atvasinājums visur ir pozitīvs. Tas atbilst iepriekš izdarītajam secinājumam par funkcijas nepārtrauktu palielināšanu.
Arktangenta otrais atvasinājums pazūd punktā 0, ir negatīvs argumenta pozitīvajām vērtībām un otrādi.
Tas nozīmē, ka loka tangenses funkcijas grafikam ir lēciena punkts pie nulles, un tas ir uz leju izliekts intervālā (-∞; 0] un uz augšu izliekts intervālā [0; +∞).
