Viena no matemātikas nozarēm, ar kuru skolēni tiek galā ar vislielākajām grūtībām, ir trigonometrija. Nav brīnums: lai brīvi apgūtu šo zināšanu jomu, nepieciešama telpiskā domāšana, spēja atrast sinusus, kosinusus, pieskares, kotangentus, izmantojot formulas, vienkāršot izteiksmes un prast aprēķinos izmantot skaitli pi. Turklāt, pierādot teorēmas, jums ir jāspēj pielietot trigonometriju, un tam ir nepieciešama vai nu attīstīta matemātiskā atmiņa, vai spēja izsecināt sarežģītas loģiskās ķēdes.
Trigonometrijas izcelsme
Ievads šajā zinātnē jāsāk ar leņķa sinusa, kosinusa un pieskares definīciju, taču vispirms ir jāizdomā, ko dara trigonometrija kopumā.
Vēsturiski taisnleņķa trijstūri šajā matemātikas zinātnes sadaļā ir bijuši galvenais pētījuma objekts. 90 grādu leņķa klātbūtne ļauj veikt dažādas darbības, kas ļauj veikt divasmalām un vienu stūri vai diviem stūriem un vienu pusi, lai noteiktu attiecīgās figūras visu parametru vērtības. Agrāk cilvēki pamanīja šo modeli un sāka to aktīvi izmantot ēku celtniecībā, navigācijā, astronomijā un pat mākslā.
Iesākums
Sākotnēji cilvēki runāja par leņķu un malu attiecībām tikai uz taisnleņķa trīsstūru piemēra. Tad tika atklātas īpašas formulas, kas ļāva paplašināt šīs matemātikas sadaļas izmantošanas robežas ikdienas dzīvē.
Trigonometrijas mācības skolā mūsdienās sākas ar taisnleņķa trijstūriem, pēc kuriem iegūtās zināšanas skolēni izmanto fizikā un abstraktu trigonometrisko vienādojumu risināšanā, ar kuriem darbs sākas vidusskolā.
Sfēriskā trigonometrija
Vēlāk, kad zinātne sasniedza nākamo attīstības līmeni, formulas ar sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu sāka izmantot sfēriskajā ģeometrijā, kur ir spēkā citi noteikumi, un leņķu summa trijstūrī vienmēr ir lielāka par 180 grādiem. Šo sadaļu skolā nepēta, bet par tās eksistenci ir jāzina kaut vai tāpēc, ka zemes virsma un jebkuras citas planētas virsma ir izliekta, kas nozīmē, ka jebkurš virsmas marķējums būs "loka formas". " trīsdimensiju telpā.
Paņemiet globusu un pavedienu. Pievienojiet pavedienu jebkuriem diviem zemeslodes punktiem tā, lai tas būtu nospriegots. Pievērsiet uzmanību - tas ir ieguvis loka formu. Tas attiecas uz šādām formāmsfēriskā ģeometrija, ko izmanto ģeodēzijā, astronomijā un citās teorētiskās un lietišķās jomās.
Taisns trīsstūris
Nedaudz uzzinājuši par trigonometrijas lietošanas veidiem, atgriezīsimies pie pamata trigonometrijas, lai tālāk saprastu, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss, kādus aprēķinus ar to palīdzību var veikt un kādas formulas izmantot.
Pirmkārt, jums ir jāsaprot ar taisnleņķa trīsstūri saistītie jēdzieni. Pirmkārt, hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī 90 grādu leņķim. Viņa ir garākā. Mēs atceramies, ka saskaņā ar Pitagora teorēmu tā skaitliskā vērtība ir vienāda ar sakni no pārējo divu malu kvadrātu summas.
Piemēram, ja divas malas ir attiecīgi 3 un 4 centimetri, hipotenūzas garums būs 5 centimetri. Starp citu, senie ēģiptieši par to zināja apmēram pirms četrarpus tūkstošiem gadu.
Abas atlikušās malas, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām. Turklāt jāatceras, ka trijstūra leņķu summa taisnstūra koordinātu sistēmā ir 180 grādi.
Definīcija
Visbeidzot, labi izprotot ģeometrisko pamatu, varam pievērsties leņķa sinusa, kosinusa un tangensa definīcijai.
Leņķa sinuss ir pretējās kājas (tas ir, vēlamajam leņķim pretējās puses) attiecība pret hipotenūzu. Leņķa kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Atcerieties, ka ne sinuss, ne kosinuss nevar būt lielāks par vienu! Kāpēc?Tā kā hipotenūza pēc noklusējuma ir taisnleņķa trijstūra garākā mala. Neatkarīgi no tā, cik gara ir kāja, tā būs īsāka par hipotenūzu, kas nozīmē, ka to attiecība vienmēr būs mazāka par vienu. Tādējādi, ja uzdevuma atbildē iegūstat sinusu vai kosinusu, kura vērtība ir lielāka par 1, meklējiet kļūdu aprēķinos vai argumentācijā. Šī atbilde ir acīmredzami nepareiza.
Visbeidzot, leņķa tangenss ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo malu. Tas pats rezultāts dos sinusa dalījumu ar kosinusu. Paskaties: saskaņā ar formulu mēs dalām malas garumu ar hipotenūzu, pēc tam mēs dalām ar otrās malas garumu un reizinām ar hipotenūzu. Tādējādi mēs iegūstam tādu pašu attiecību kā pieskares definīcijā.
Kotangenss, attiecīgi, ir stūrim blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi. To pašu rezultātu iegūstam, dalot vienību ar tangensu.
Tātad, mēs esam apsvēruši definīcijas tam, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, un mēs varam tikt galā ar formulām.
Vienkāršas formulas
Trigonometrijā neiztikt bez formulām - kā bez tām atrast sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu? Bet tieši tas ir nepieciešams, risinot problēmas.
Pirmā formula, kas jāzina, sākot mācīties trigonometriju, saka, ka leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir vienāda ar vienu. Šī formula ir tiešas Pitagora teorēmas sekas, taču tā ietaupa laiku, ja nepieciešams noskaidrot leņķa, nevis malas vērtību.
Daudzi skolēni nevar atcerēties otro formulu, arī ļotipopulārs skolas uzdevumu risināšanā: viena un leņķa pieskares kvadrāta summa ir vienāda ar vienu, kas dalīts ar leņķa kosinusa kvadrātu. Paskatieties tuvāk: galu galā tas ir tas pats apgalvojums, kas pirmajā formulā, tikai abas identitātes puses tika sadalītas ar kosinusa kvadrātu. Izrādās, ka vienkārša matemātiska darbība trigonometrisko formulu padara pavisam neatpazīstamu. Atcerieties: zinot, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, konvertēšanas noteikumus un dažas pamatformulas, jūs jebkurā laikā varat patstāvīgi iegūt vajadzīgās sarežģītākās formulas uz papīra lapas.
Dubultā leņķa formulas un argumentu pievienošana
Vēl divas formulas, kas jāapgūst, ir saistītas ar leņķu summas un starpības sinusa un kosinusa vērtībām. Tie ir parādīti zemāk esošajā attēlā. Lūdzu, ņemiet vērā, ka pirmajā gadījumā sinusu un kosinusu reizina abas reizes, bet otrajā gadījumā tiek pievienota sinusa un kosinusa pāra reizinājums.
Ir arī formulas, kas saistītas ar dubultā leņķa argumentiem. Tie ir pilnībā atvasināti no iepriekšējiem - kā prakse, mēģiniet tos iegūt pats, ņemot alfa leņķi, kas vienāds ar beta leņķi.
Visbeidzot, ņemiet vērā, ka dubultā leņķa formulas var pārvērst, lai samazinātu sinusa, kosinusa, pieskares alfa pakāpi.
Teorēmas
Divas galvenās trigonometrijas teorēmas ir sinusa teorēma un kosinusa teorēma. Ar šo teorēmu palīdzību jūs varat viegli saprast, kā atrast sinusu, kosinusu un tangensu, un līdz ar to arī figūras laukumu un lielumu.katra puse utt.
Sinusa teorēma nosaka, ka, dalot katras trijstūra malas garumu ar pretējā leņķa vērtību, mēs iegūstam vienādu skaitli. Turklāt šis skaitlis būs vienāds ar diviem ierobežotā apļa rādiusiem, t.i., apli, kurā ir visi dotā trīsstūra punkti.
Kosinusa teorēma vispārina Pitagora teorēmu, projicējot to uz jebkuriem trijstūriem. Izrādās, ka no abu malu kvadrātu summas atņemiet to reizinājumu, kas reizināts ar tām blakus esošā leņķa dubultkosinusu - iegūtā vērtība būs vienāda ar trešās malas kvadrātu. Tādējādi Pitagora teorēma izrādās īpašs kosinusa teorēmas gadījums.
Kļūdas neuzmanības dēļ
Pat zinot, kas ir sinuss, kosinuss un tangenss, ir viegli kļūdīties izklaidības vai kļūdas dēļ vienkāršākajos aprēķinos. Lai izvairītos no šādām kļūdām, apskatīsim populārākās.
Pirmkārt, nepārvērtiet parastos daļskaitļus par decimāldaļām pirms gala rezultāta iegūšanas - varat atstāt atbildi kā kopējo daļskaitli, ja nosacījumā nav norādīts citādi. Šādu transformāciju nevar saukt par kļūdu, taču jāatceras, ka katrā uzdevuma posmā var parādīties jaunas saknes, kuras, pēc autora idejas, būtu jāsamazina. Šajā gadījumā jūs tērēsit laiku nevajadzīgām matemātiskām darbībām. Tas jo īpaši attiecas uz tādām vērtībām kā trīs vai divu sakne, jo tās rodas uzdevumos ik uz soļa. Tas pats attiecas uz noapaļošanu."Neglīti" cipari.
Tālāk ņemiet vērā, ka kosinusa teorēma attiecas uz jebkuru trīsstūri, bet ne uz Pitagora teorēmu! Ja jūs kļūdaini aizmirstat atņemt divkāršu malu reizinājumu ar leņķa kosinusu starp tām, jūs ne tikai iegūsit pilnīgi nepareizu rezultātu, bet arī parādīsit pilnīgu priekšmeta neizpratni. Tas ir sliktāk nekā neuzmanīga kļūda.
Treškārt, nejauciet 30 un 60 grādu leņķu vērtības sinusiem, kosinusiem, pieskarēm, kotangensiem. Atcerieties šīs vērtības, jo 30 grādu sinuss ir vienāds ar 60 kosinusu un otrādi. Tos ir viegli sajaukt, un jūs neizbēgami iegūsit kļūdainu rezultātu.
Pieteikums
Daudzi studenti nesteidzas uzsākt trigonometrijas studijas, jo nesaprot tās lietišķo nozīmi. Kas ir sinuss, kosinuss, tangenss inženierim vai astronomam? Tie ir jēdzieni, pateicoties kuriem jūs varat aprēķināt attālumu līdz tālām zvaigznēm, paredzēt meteorīta krišanu, nosūtīt izpētes zondi uz citu planētu. Bez tiem nav iespējams uzbūvēt ēku, projektēt automašīnu, aprēķināt slodzi uz virsmas vai objekta trajektoriju. Un šie ir tikai acīmredzamākie piemēri! Galu galā trigonometrija vienā vai otrā veidā tiek izmantota visur, sākot no mūzikas līdz medicīnai.
Nobeigumā
Tātad, jūs zināt, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss. Varat tos izmantot aprēķinos un veiksmīgi atrisināt skolas uzdevumus.
Visa būtībatrigonometrija tiek samazināta līdz faktam, ka saskaņā ar zināmajiem trijstūra parametriem ir jāaprēķina nezināmie. Kopumā ir seši parametri: trīs malu garumi un trīs leņķu lielumi. Visa uzdevumu atšķirība ir tajā, ka tiek doti dažādi ievades dati.
Kā atrast sinusu, kosinusu, tangensu, pamatojoties uz zināmajiem kāju garumiem vai hipotenūzu, tagad jūs zināt. Tā kā šie termini nenozīmē neko vairāk kā attiecību un attiecība ir daļa, trigonometriskās problēmas galvenais mērķis ir atrast parastā vienādojuma vai vienādojumu sistēmas saknes. Un šeit jums palīdzēs parastā skolas matemātika.
