Bertranda paradokss ir problēma varbūtību teorijas klasiskajā interpretācijā. Džozefs to iepazīstināja savā darbā Calcul des probabilités (1889) kā piemēru tam, ka varbūtības nevar precīzi definēt, ja mehānisms vai metode rada nejaušu mainīgo.
Problēmas paziņojums
Bertāna paradokss ir šāds.
Vispirms apsveriet vienādmalu trīsstūri, kas ierakstīts aplī. Šajā gadījumā diametrs tiek izvēlēts nejauši. Kāda ir varbūtība, ka tas ir garāks par trijstūra malu?
Bertrands izvirzīja trīs argumentus, kas visi šķiet pareizi, taču sniedz atšķirīgus rezultātus.
Izlases galapunkta metode
Jums ir jāatlasa divas vietas uz apļa un jānozīmē loka, kas tās savieno. Aprēķiniem tiek ņemts vērā Bertrāna varbūtības paradokss. Ir nepieciešams iedomāties, ka trīsstūris ir pagriezts tā, lai tā virsotne sakristu ar vienu no hordas gala punktiem. Ir vērts maksātņemiet vērā, ka, ja otra daļa atrodas uz loka starp divām vietām, aplis ir garāks par trīsstūra malu. Loka garums ir viena trešdaļa no apļa, tāpēc varbūtība, ka nejauša horda ir garāka, ir 1/3.
Atlases metode
Ir nepieciešams izvēlēties apļa rādiusu un punktu uz tā. Pēc tam caur šo vietu ir jāizveido akords, kas ir perpendikulārs diametram. Lai aprēķinātu apsvērto varbūtību teorijas Bertrāna paradoksu, jāiedomājas, ka trīsstūris ir pagriezts tā, lai tā mala būtu perpendikulāra rādiusam. Akords ir garāks par kāju, ja izvēlētais punkts atrodas tuvāk apļa centram. Un šajā gadījumā trijstūra mala sadala rādiusu uz pusēm. Tāpēc varbūtība, ka horda ir garāka par ierakstītās figūras malu, ir 1/2.
Nejauši akordi
Viduspunkta metode. Ir nepieciešams izvēlēties vietu uz apļa un izveidot akordu ar doto vidu. Ass ir garāka par ierakstītā trijstūra malu, ja izvēlētā vieta atrodas koncentriskā aplī ar rādiusu 1/2. Mazākā apļa laukums ir viena ceturtā daļa no lielākās figūras. Tāpēc nejaušas hordas iespējamība ir garāka par ierakstītā trīsstūra malu un ir vienāda ar 1/4.
Kā norādīts iepriekš, atlases metodes atšķiras atkarībā no svara, ko tās piešķir noteiktiem akordiem, kas ir diametri. 1. metodē katru akordu var atlasīt tieši vienā veidā neatkarīgi no tā, vai tas ir diametrs.
2. metodē katru taisni var atlasīt divos veidos. Tā kā tiks izvēlēts jebkurš cits akordstikai viena no iespējām.
3. metodē katrai viduspunkta atlasei ir viens parametrs. Izņemot apļa centru, kas ir visu diametru viduspunkts. No šīm problēmām var izvairīties, "sakārtojot" visus jautājumus, lai izslēgtu parametrus, neietekmējot iegūtās varbūtības.
Atlasītās metodes var vizualizēt arī šādi. Akordu, kas nav diametrs, unikāli identificē pēc tā viduspunkta. Katra no trim iepriekš minētajām atlases metodēm rada atšķirīgu vidus sadalījumu. Un 1. un 2. opcija nodrošina divus dažādus nevienmērīgus nodalījumus, savukārt 3. metode nodrošina vienmērīgu sadalījumu.
Klasiskais Bertrāna problēmas risināšanas paradokss ir atkarīgs no metodes, ar kādu akords tiek izvēlēts "nejauši". Izrādās, ja iepriekš ir norādīta nejaušās atlases metode, problēmai ir skaidri definēts risinājums. Tas ir tāpēc, ka katrai atsevišķai metodei ir savs akordu sadalījums. Trīs Bertrāna parādītie nolēmumi atbilst dažādiem atlases veidiem, un, ja nav papildu informācijas, nav iemesla vienam no otras dot priekšroku. Attiecīgi norādītajai problēmai nav viena risinājuma.
Piemērs, kā padarīt vispārīgu atbildi unikālu, ir norādīt, ka hordas beigu punkti ir vienmērīgi izvietoti starp 0 un c, kur c ir apļa apkārtmērs. Šis sadalījums ir tāds pats kā Bertrāna pirmajā argumentā, un iegūtā unikālā varbūtība būs 1/3.
Šis Bertrāna Rasela paradokss un citas klasikas unikalitātesiespēju interpretācijas attaisno stingrākus formulējumus. Ieskaitot varbūtības biežumu un subjektīvistisko Bajesa teoriju.
Kas ir Bertrāna paradoksa pamatā
Savā 1973. gada rakstā "The Well-posed Problem" Edvīns Džeinss piedāvāja savu unikālo risinājumu. Viņš norādīja, ka Bertrāna paradokss ir balstīts uz pieņēmumu, kas balstīts uz "maksimālās neziņas" principu. Tas nozīmē, ka nevajadzētu izmantot informāciju, kas nav norādīta problēmas paziņojumā. Džeinss norādīja, ka Bertrāna problēma nenosaka apļa pozīciju vai izmēru. Un apgalvoja, ka tāpēc jebkuram noteiktam un objektīvam lēmumam jābūt "vienaldzīgam" pret izmēru un pozīciju.
Ilustrācijas nolūkos
Pieņemot, ka visi akordi ir nejauši novietoti uz 2 cm apļa, tagad jums no tālienes jāmet pa salmiem.
Tad jāņem vēl viens aplis ar mazāku diametru (piemēram, 1 centimetrs), kas iekļaujas lielākā figūrā. Tad akordu sadalījumam uz šī mazākā apļa jābūt tādam pašam kā uz maksimālā. Ja arī otrā figūra pārvietojas pirmajā, varbūtībai principā nevajadzētu mainīties. Ir ļoti viegli redzēt, ka 3. metodei notiks šādas izmaiņas: akordu sadalījums uz mazā sarkanā apļa kvalitatīvi atšķirsies no sadalījuma uz lielā apļa.
Tas pats notiek ar 1. metodi. Lai gan to ir grūtāk saskatīt grafiskajā skatā.
2. metode ir vienīgākas izrādās gan mērogs, gan tulkojuma invariants.
Šķiet, ka 3. metode ir vienkārši paplašināma.
1. metode nav neviena.
Tomēr Džeinss neizmantoja invariantus, lai pieņemtu vai noraidītu šīs metodes. Tas atstātu iespēju, ka ir vēl kāda neaprakstīta metode, kas atbilstu tās saprātīgās nozīmes aspektiem. Džeinss izmantoja integrālvienādojumus, kas apraksta invariances. Lai tieši noteiktu varbūtības sadalījumu. Viņa uzdevumā integrālvienādojumiem patiešām ir unikāls risinājums, un tas ir tieši tas, ko iepriekš sauca par otro nejaušā rādiusa metodi.
2015. gada rakstā Alons Drijs apgalvo, ka Džeina princips var dot arī divus citus Bertrāna risinājumus. Autore apliecina, ka iepriekšminēto nemainīguma īpašību matemātiskā realizācija nav unikāla, bet ir atkarīga no pamata nejaušās atlases procedūras, ko cilvēks nolemj izmantot. Viņš parāda, ka katru no trim Bertrāna risinājumiem var iegūt, izmantojot rotācijas, mērogošanas un translācijas invarianci. Tajā pašā laikā secinot, ka Džeina princips ir tikpat interpretējams kā pats vienaldzības veids.
Fizikālie eksperimenti
2. metode ir vienīgais risinājums, kas apmierina transformācijas invariantus, kas ir sastopami specifiskos fizioloģiskos jēdzienos, piemēram, statistikas mehānikā un gāzes struktūrā. Arī ierosinātajāDžeinas eksperiments, mest salmiņus no maza apļa.
Tomēr var tikt izstrādāti arī citi praktiski eksperimenti, kas sniedz atbildes pēc citām metodēm. Piemēram, lai atrastu pirmās nejaušās galapunkta metodes risinājumu, apgabala centrā varat pievienot skaitītāju. Un ļaujiet divu neatkarīgu rotāciju rezultātiem izcelt akorda pēdējās vietas. Lai nonāktu pie trešās metodes risinājuma, apli var pārklāt, piemēram, ar melasi un kā vidējo akordu atzīmēt pirmo punktu, uz kura nolaižas muša. Vairāki kontemplatori ir izveidojuši pētījumus, lai izdarītu dažādus secinājumus, un ir apstiprinājuši rezultātus empīriski.
Jaunākie notikumi
Savā 2007. gada rakstā "Bertranda paradokss un vienaldzības princips" Nikolass Šakels apgalvo, ka vairāk nekā gadsimtu vēlāk problēma joprojām nav atrisināta. Viņa turpina atspēkot vienaldzības principu. Turklāt savā 2013. gada rakstā "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical" Darels R. Robotoms parāda, ka visiem ierosinātajiem nolēmumiem nav nekāda sakara ar viņa paša jautājumu. Tātad izrādījās, ka paradoksu būs daudz grūtāk atrisināt, nekā tika uzskatīts iepriekš.
Šekels uzsver, ka līdz šim daudzi zinātnieki un no zinātnes tālu cilvēki ir mēģinājuši atrisināt Bertrāna paradoksu. To joprojām var pārvarēt, izmantojot divas dažādas pieejas.
Tās, kurās tika apsvērta atšķirība starp neekvivalentiem uzdevumiem, un tiem, kuros problēma vienmēr tika uzskatīta par pareizu. Šakels savās grāmatās citē LuisuMarinoffs (kā tipisks diferenciācijas stratēģijas eksponents) un Edvīns Džeinss (kā pārdomātas teorijas autors).
Tomēr savā nesenajā darbā Solving a Complex Problem, Diederiks Aerts un Massimiliano Sassoli de Bianchi uzskata, ka, lai atrisinātu Bertrāna paradoksu, telpas ir jāmeklē jauktā stratēģijā. Pēc šo autoru domām, pirmais solis ir novērst problēmu, skaidri norādot nejauši izvēlētās vienības būtību. Un tikai pēc tam, kad tas ir izdarīts, jebkuru problēmu var uzskatīt par pareizu. Tā domā Džeina.
Tātad, lai to atrisinātu, var izmantot maksimālās nezināšanas principu. Šim nolūkam, un tā kā problēma nenorāda, kā būtu jāizvēlas akords, princips tiek piemērots nevis dažādu iespēju līmenī, bet gan daudz dziļākā līmenī.
Daļu atlase
Šī problēmas daļa prasa aprēķināt metavidējo vērtību visos iespējamos veidos, ko autori sauc par universālo vidējo. Lai to risinātu, viņi izmanto diskretizācijas metodi. Iedvesmojoties no tā, kas tiek darīts, definējot varbūtības likumu Vīnera procesos. Viņu rezultāts atbilst Džeinasa skaitliskajam secinājumam, lai gan viņu labi izvirzītā problēma atšķiras no sākotnējā autora problēmas.
Ekonomikā un tirdzniecībā Bertrāna paradokss, kas nosaukts tā radītāja Džozefa Bertrāna vārdā, apraksta situāciju, kurā divi spēlētāji (firmas) sasniedz Neša līdzsvaru. Kad abas firmas nosaka cenu, kas vienāda ar robežizmaksām(MS).
Bertranda paradokss balstās uz priekšnoteikumu. Tas ir saistīts ar faktu, ka tādos modeļos kā Cournot konkurence uzņēmumu skaita pieaugums ir saistīts ar cenu konverģenci ar robežizmaksām. Šajos alternatīvajos modeļos Bertrāna paradokss ir oligopols, kurā ietilpst neliels skaits uzņēmumu, kas gūst pozitīvu peļņu, iekasējot cenas, kas pārsniedz pašizmaksu.
Sākumā ir vērts pieņemt, ka divi uzņēmumi A un B pārdod viendabīgu produktu, un katram no tiem ir vienādas ražošanas un izplatīšanas izmaksas. No tā izriet, ka pircēji izvēlas preci, pamatojoties tikai uz cenu. Tas nozīmē, ka pieprasījums ir bezgalīgi elastīgs cenu ziņā. Ne A, ne B nenoteiks augstāku cenu par pārējiem, jo tas izraisītu visa Bertrāna paradoksa sabrukumu. Viens no tirgus dalībniekiem piekāpsies savam konkurentam. Ja viņi noteiks vienādu cenu, uzņēmumi sadalīs peļņu.
No otras puses, ja kāds uzņēmums kaut nedaudz pazeminās savu cenu, tas iegūs visu tirgu un ievērojami lielāku atdevi. Tā kā A un B to zina, viņi katrs mēģinās atkāpties no konkurenta, līdz produkts tiks pārdots ar nulles ekonomisko peļņu.
Pēdējais darbs ir parādījis, ka Bertrāna jauktās stratēģijas paradoksā var būt papildu līdzsvars ar pozitīvu ekonomisko peļņu, ja monopola summa ir bezgalīga. Galīgās peļņas gadījumā tika parādīts, ka pozitīvs pieaugums cenu konkurences apstākļos nav iespējams jauktos līdzsvaros un pat vispārīgākā gadījumāsaistītās sistēmas.
Patiesībā Bertrāna paradokss ekonomikā ir reti sastopams praksē, jo reālie produkti gandrīz vienmēr tiek atšķirti citā veidā, nevis cena (piemēram, pārmaksājot par etiķeti). Uzņēmumiem ir ierobežojumi to spējai ražot un izplatīt. Tāpēc diviem uzņēmumiem reti ir vienādas izmaksas.
Bertranda rezultāts ir paradoksāls, jo, ja uzņēmumu skaits palielinās no viena līdz diviem, cena no monopolstāvokļa pazeminās līdz konkurētspējīgai un paliek tādā pašā līmenī kā uzņēmumu skaits, kas pēc tam palielinās. Tas nav īsti reāli, jo patiesībā tirgos, kuros ir maz uzņēmumu ar ietekmi tirgū, ir tendence noteikt cenas, kas pārsniedz robežizmaksas. Empīriskā analīze liecina, ka lielākā daļa nozaru ar diviem konkurentiem rada pozitīvu peļņu.
Mūsdienu pasaulē zinātnieki mēģina rast risinājumus paradoksam, kas vairāk atbilst Kurno konkurences modelim. Ja divi uzņēmumi tirgū gūst pozitīvu peļņu, kas ir kaut kur starp perfektas konkurences un monopola līmeni.
Daži iemesli, kāpēc Bertrāna paradokss nav tieši saistīts ar ekonomiku:
- Kapacitātes ierobežojumi. Dažreiz uzņēmumiem nav pietiekamas jaudas, lai apmierinātu visu pieprasījumu. Šo jautājumu vispirms izvirzīja Frensiss Edžvorts, un tā rezultātā tika izveidots Bertrāna-Edžvorta modelis.
- Veselas cenas. Cenas, kas pārsniedz MC, ir izslēgtas, jo viens uzņēmums nejauši var pazemināt citu uzņēmumu.neliels daudzums. Ja cenas ir diskrētas (piemēram, tām ir jāņem veseli skaitļi), tad vienai firmai ir jāsamazina otras firmas vismaz par vienu rubli. Tas nozīmē, ka mazās valūtas vērtība ir virs MC. Ja cita firma nosaka tai augstāku cenu, cita firma var to pazemināt un ieņemt visu tirgu, Bertrāna paradokss tieši tajā ir. Tas viņai nekādu peļņu nenesīs. Šis uzņēmums dod priekšroku pārdošanas apjomiem 50/50 ar citu uzņēmumu un saņems tikai pozitīvus ieņēmumus.
- Produktu diferencēšana. Ja dažādu firmu produkti atšķiras viens no otra, tad patērētāji var pilnībā nepāriet uz produktiem ar zemāku cenu.
- Dinamiska konkurence. Atkārtota mijiedarbība vai atkārtota cenu konkurence var novest pie vērtības līdzsvara.
- Vairāk preču par lielāku summu. Tas izriet no atkārtotas mijiedarbības. Ja kāds uzņēmums noteiks savu cenu nedaudz augstāku, tas vienalga iegūs aptuveni tādu pašu pirkumu skaitu, bet lielāku peļņu par vienu preci. Tāpēc otrs uzņēmums palielinās savu uzcenojumu utt (Tikai atkārtojumos, pretējā gadījumā dinamika iet uz otru pusi).
Oligopols
Ja divi uzņēmumi var vienoties par cenu, to ilgtermiņa interesēs ir ievērot vienošanos: ieņēmumi no vērtības samazināšanas ir mazāk nekā divas reizes lielāki par ieņēmumiem no līguma izpildes un ilgst tikai līdz brīdim, kad otrs uzņēmums samazina savu cenu. pašu cenas.
Teorijavarbūtības (tāpat kā pārējā matemātika) patiesībā ir nesens izgudrojums. Un attīstība nav bijusi gluda. Pirmos mēģinājumus formalizēt varbūtības aprēķinu veica marķīzs de Laplass, kurš ierosināja definēt šo jēdzienu kā attiecību starp notikumu skaitu, kas noveda pie rezultāta.
Tam, protams, ir jēga tikai tad, ja visu iespējamo notikumu skaits ir ierobežots. Un turklāt visi notikumi ir vienlīdz iespējami.
Tādējādi tolaik šķita, ka šiem jēdzieniem nebija stabila pamata. Mēģinājumi paplašināt definīciju, iekļaujot tajā bezgalīgi daudzu notikumu gadījumu, ir radījuši vēl lielākas grūtības. Bertrāna paradokss ir viens no šādiem atklājumiem, kas matemātiķiem ir licis piesardzīgi pret visu varbūtības jēdzienu.
