Algebrā pastāv divu veidu vienādību jēdziens – identitātes un vienādojumi. Identitātes ir tādas vienlīdzības, kas ir iespējamas jebkurām tajās iekļauto burtu vērtībām. Vienādojumi ir arī vienādojumi, taču tie ir iespējami tikai noteiktām tajos ietverto burtu vērtībām.
Burti parasti ir nevienlīdzīgi uzdevuma ziņā. Tas nozīmē, ka daži no tiem var iegūt jebkuras atļautās vērtības, ko sauc par koeficientiem (vai parametriem), bet citi - tos sauc par nezināmajiem - iegūst vērtības, kas jāatrod risinājuma procesā. Parasti vienādojumos nezināmi lielumi tiek apzīmēti ar burtiem, pēdējie latīņu alfabēta burti (x.y.z utt.) vai ar tiem pašiem burtiem, bet ar indeksu (x1, x 2 utt.), un zināmie koeficienti ir norādīti ar tā paša alfabēta pirmajiem burtiem.
Pamatojoties uz nezināmo skaitu, tiek izdalīti vienādojumi ar vienu, diviem un vairākiem nezināmajiem. Tādējādi visas nezināmo vērtības, kurām atrisināmais vienādojums pārvēršas par identitāti, sauc par vienādojumu atrisinājumiem. Vienādojumu var uzskatīt par atrisinātu, ja ir atrasti visi tā atrisinājumi vai tiek pierādīts, ka tam nav neviena. Uzdevums "atrisināt vienādojumu" praksē ir izplatīts un nozīmē, ka jāatrod vienādojuma sakne.
Definīcija: vienādojuma saknes ir tās nezināmo vērtības no pieļaujamo vērtību diapazona, pie kurām atrisināmais vienādojums kļūst par identitāti.
Absolūti visu vienādojumu risināšanas algoritms ir vienāds, un tā nozīme ir reducēt šo izteiksmi uz vienkāršāku formu, izmantojot matemātiskas transformācijas. Vienādojumus, kuriem ir vienādas saknes, algebrā sauc par ekvivalentiem.
Vienkāršākais piemērs: 7x-49=0, vienādojuma sakne x=7;x-7=0, tāpat sakne x=7, tāpēc vienādojumi ir līdzvērtīgi. (Īpašos gadījumos līdzvērtīgiem vienādojumiem var nebūt sakņu.)
Ja vienādojuma sakne ir arī sakne citam, vienkāršākam vienādojumam, kas iegūts no sākotnējā vienādojuma ar transformācijām, tad pēdējo sauc par iepriekšējā vienādojuma sekām.
Ja viens no diviem vienādojumiem ir otra sekas, tad tos uzskata par līdzvērtīgiem. Tos sauc arī par līdzvērtīgiem. Iepriekš redzamais piemērs to ilustrē.
Pat visvienkāršāko vienādojumu risināšana praksē bieži vien ir sarežģīta. Risinājuma rezultātā jūs varat iegūt vienu vienādojuma sakni, divas vai vairākas, pat bezgalīgu skaitu - tas ir atkarīgs no vienādojumu veida. Ir arī tādas, kurām nav sakņu, tās sauc par neizšķiramām.
Piemēri:
1) 15x -20=10; x=2. Šī ir vienīgā vienādojuma sakne.
2) 7x - y=0. Vienādojumam ir bezgalīgs sakņu skaits, jo katram mainīgajam var būt neskaitāmi daudz sakņuvērtību skaits.
3) x2=- 16. Skaitlis, kas pacelts līdz otrajai pakāpei, vienmēr dod pozitīvu rezultātu, tāpēc nav iespējams atrast vienādojuma sakni.. Šis ir viens no iepriekš minētajiem neatrisināmajiem vienādojumiem.
Atrisinājuma pareizību pārbauda, burtu vietā aizstājot atrastās saknes un atrisinot iegūto piemēru. Ja identitāte ir spēkā, risinājums ir pareizs.
