Viena no ģeometrijas aksiomām nosaka, ka caur jebkuriem diviem punktiem ir iespējams novilkt vienu taisni. Šī aksioma liecina, ka pastāv unikāla skaitliskā izteiksme, kas unikāli apraksta norādīto viendimensijas ģeometrisko objektu. Apsveriet rakstā jautājumu par to, kā uzrakstīt vienādojumu taisnei, kas iet caur diviem punktiem.
Kas ir punkts un līnija?
Pirms apsvērt jautājumu par vienādojuma taisnes konstruēšanu telpā un plaknē, kas iet caur dažādu punktu pāri, jādefinē norādītie ģeometriskie objekti.
Punktu unikāli nosaka koordinātu kopa noteiktā koordinātu asu sistēmā. Papildus tiem punktam vairs nav raksturlielumu. Viņa ir nulles dimensijas objekts.
Runājot par taisnu līniju, katrs cilvēks iedomājas līniju, kas attēlota uz b altas papīra lapas. Tajā pašā laikā ir iespējams sniegt precīzu ģeometrisku definīcijušo objektu. Taisne ir tādu punktu kopums, kuriem katra no tiem savienojums ar visiem pārējiem iedos paralēlu vektoru kopu.
Šo definīciju izmanto, iestatot taisnas līnijas vektora vienādojumu, kas tiks apspriests tālāk.
Tā kā jebkuru līniju var atzīmēt ar patvaļīga garuma segmentu, tiek uzskatīts, ka tā ir viendimensijas ģeometrisks objekts.
Ciparu vektora funkcija
Vienādojumu caur diviem šķērsojošas taisnes punktiem var uzrakstīt dažādās formās. Trīsdimensiju un divdimensiju telpās galvenā un intuitīvi saprotamā skaitliskā izteiksme ir vektors.
Pieņemsim, ka ir kāds virzīts segments u¯(a; b; c). 3D telpā vektors u¯ var sākties jebkurā punktā, tāpēc tā koordinātas nosaka bezgalīgu paralēlu vektoru kopu. Tomēr, ja mēs izvēlamies konkrētu punktu P(x0; y0; z0) un ievietojam to kā vektora u¯ sākumu, tad, reizinot šo vektoru ar patvaļīgu reālo skaitli λ, var iegūt visus vienas taisnes punktus telpā. Tas nozīmē, ka vektora vienādojums tiks uzrakstīts šādi:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Acīmredzot plaknē skaitliskā funkcija ir šāda:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Šā veida vienādojuma priekšrocības salīdzinājumā ar citiem (segmentos, kanoniski,vispārīgā forma) slēpjas faktā, ka tajā ir skaidri norādītas virziena vektora koordinātas. Pēdējo bieži izmanto, lai noteiktu, vai taisnes ir paralēlas vai perpendikulāras.
Vispārīgi segmentos un kanoniskā funkcija taisnai līnijai divdimensiju telpā
Risinot uzdevumus, dažkārt ir jāuzraksta vienādojums taisnei, kas iet cauri diviem punktiem noteiktā, konkrētā formā. Tāpēc ir jānorāda citi veidi, kā norādīt šo ģeometrisko objektu divdimensiju telpā (vienkāršības labad mēs apsvērsim gadījumu uz plaknes).
Sāksim ar vispārīgu vienādojumu. Tam ir šāda forma:
Ax + By + C=0
Parasti plaknē taisnes vienādojums tiek uzrakstīts šādā formā, tikai y ir skaidri definēts caur x.
Tagad pārveidojiet iepriekš minēto izteiksmi šādi:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Šo izteiksmi sauc par vienādojumu segmentos, jo katra mainīgā saucējs parāda, cik ilgi līnijas segments nogriežas uz atbilstošās koordinātu ass attiecībā pret sākuma punktu (0; 0).
Atliek minēt kanoniskā vienādojuma piemēru. Lai to izdarītu, mēs skaidri ierakstām vektoru vienādību:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Izteiksim parametru λ no šejienes un pielīdzināsim iegūtās vienādības:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Pēdējo vienādojumu sauc par vienādojumu kanoniskā vai simetriskā formā.
Katru no tiem var pārveidot par vektoru un otrādi.
Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem punktiem: kompilācijas paņēmiens
Atpakaļ pie raksta jautājuma. Pieņemsim, ka telpā ir divi punkti:
M(x1; y1; z1) un N(x 2; y2; z2)
Caur tiem iet vienīgā taisne, kuras vienādojumu ir ļoti viegli sastādīt vektora formā. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām virzītā segmenta MN¯ koordinātas, mums ir:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Nav grūti uzminēt, ka šis vektors būs ceļvedis taisnei, kuras vienādojums jāiegūst. Zinot, ka tas iet cauri arī M un N, vektora izteiksmei varat izmantot jebkuras no tām koordinātas. Tad vēlamais vienādojums iegūst šādu formu:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Gadījumam divdimensiju telpā mēs iegūstam līdzīgu vienādību bez mainīgā z līdzdalības.
Tiklīdz ir uzrakstīta līnijas vektoru vienādība, to var pārtulkot jebkurā citā formā, kas nepieciešama problēmas jautājumam.
Uzdevums:uzrakstiet vispārīgu vienādojumu
Ir zināms, ka taisne iet caur punktiem ar koordinātām (-1; 4) un (3; 2). Ir nepieciešams izveidot taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur tiem, vispārīgā formā, izsakot y ar x.
Lai atrisinātu problēmu, mēs vispirms ierakstām vienādojumu vektora formā. Vektora (vadošās) koordinātas ir:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Tad taisnes vienādojuma vektora forma ir šāda:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Atliek to uzrakstīt vispārīgā formā formā y(x). Mēs skaidri pārrakstām šo vienādību, izsakām parametru λ un izslēdzam to no vienādojuma:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
No iegūtā kanoniskā vienādojuma mēs izsakām y un nonākam pie atbildes uz problēmas jautājumu:
y=-0,5x + 3,5
Šīs vienādības derīgumu var pārbaudīt, aizstājot problēmas izklāstā norādīto punktu koordinātes.
Problēma: taisna līnija, kas iet caur segmenta centru
Tagad atrisināsim vienu interesantu problēmu. Pieņemsim, ka ir doti divi punkti M(2; 1) un N(5; 0). Ir zināms, ka taisne iet caur segmenta viduspunktu, kas savieno punktus un ir tai perpendikulāra. Uzrakstiet vienādojumu taisnai līnijai, kas iet caur segmenta vidu vektora formā.
Vēlamo skaitlisko izteiksmi var izveidot, aprēķinot šī centra koordinātu un nosakot virziena vektoru, kassegments veido leņķi 90o.
Segmenta viduspunkts ir:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Tagad aprēķināsim vektora MN¯ koordinātas:
MN¯=N - M=(3; -1)
Tā kā virziena vektors vēlamajai līnijai ir perpendikulārs MN¯, to skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli. Tas ļauj aprēķināt stūrēšanas vektora nezināmās koordinātas (a; b):
a3 - b=0=>
b=3a
Tagad uzrakstiet vektora vienādojumu:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Šeit mēs esam aizstājuši produktu aλ ar jaunu parametru β.
Tādējādi esam izveidojuši taisnes vienādojumu, kas iet caur segmenta centru.
