Lidmašīna kosmosā. Lidmašīnu izvietojums kosmosā

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Plakne ir ģeometrisks objekts, kura īpašības tiek izmantotas, veidojot punktu un līniju projekcijas, kā arī aprēķinot attālumus un divšķautņu leņķus starp trīsdimensiju figūru elementiem. Šajā rakstā aplūkosim, kādus vienādojumus var izmantot, lai izpētītu plakņu atrašanās vietu telpā.

Lidmašīnas definīcija

Katrs intuitīvi iedomājas, kāds objekts tiks apspriests. No ģeometriskā viedokļa plakne ir punktu kopums, starp kuriem jebkuram vektoram jābūt perpendikulāram kādam vektoram. Piemēram, ja telpā ir m dažādi punkti, tad no tiem var izveidot m(m-1) / 2 dažādus vektorus, savienojot punktus pa pāriem. Ja visi vektori ir perpendikulāri kādam vienam virzienam, tad pietiek ar nosacījumu, ka visi punkti m pieder vienai plaknei.

Vispārējais vienādojums

Telpiskajā ģeometrijā plakne tiek aprakstīta, izmantojot vienādojumus, kas parasti satur trīs nezināmas koordinātas, kas atbilst x, y un z asīm. Uziegūstam vispārīgo vienādojumu plaknes koordinātēs telpā, pieņemsim, ka ir vektors n¯(A; B; C) un punkts M(x₀; y₀; z_{0). Izmantojot šos divus objektus, plakni var unikāli definēt.}

Patiesi, pieņemsim, ka ir kāds otrs punkts P(x; y; z), kura koordinātas nav zināmas. Saskaņā ar iepriekš sniegto definīciju vektoram MP¯ jābūt perpendikulāram n¯, tas ir, to skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli. Tad mēs varam uzrakstīt šādu izteiksmi:

(n¯MP¯)=0 vai

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Atverot iekavas un ieviešot jaunu koeficientu D, iegūstam izteiksmi:

Ax + By + Cz + D=0, kur D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Šo izteiksmi sauc par plaknes vispārīgo vienādojumu. Ir svarīgi atcerēties, ka koeficienti x, y un z priekšā veido vektora n¯(A; B; C) koordinātas, kas ir perpendikulāras plaknei. Tas sakrīt ar parasto un ir lidmašīnas ceļvedis. Lai noteiktu vispārējo vienādojumu, nav svarīgi, kur šis vektors ir vērsts. Tas ir, plaknes, kas veidotas uz vektoriem n¯ un -n¯, būs vienādas.

Iepriekš redzamajā attēlā ir parādīta plakne, tai normāls vektors un plaknei perpendikulāra līnija.

Segmenti, kas nogriezti ar plakni uz asīm un atbilstošais vienādojums

Vispārējais vienādojums ļauj izmantot vienkāršas matemātiskas darbības, lai noteiktu, inkādos punktos plakne krustos koordinātu asis. Šo informāciju ir svarīgi zināt, lai būtu priekšstats par plaknes stāvokli telpā, kā arī attēlojot to zīmējumos.

Lai noteiktu nosauktos krustošanās punktus, tiek izmantots vienādojums segmentos. To sauc par to, ka tajā ir skaidri ietvertas plaknes nogriezto segmentu garuma vērtības uz koordinātu asīm, skaitot no punkta (0; 0; 0). Iegūsim šo vienādojumu.

Uzrakstiet plaknes vispārīgo izteiksmi šādi:

Ax + By + Cz=-D

Kreiso un labo daļu var dalīt ar -D, nepārkāpjot vienlīdzību. Mums ir:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 vai

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Noformējiet katra termina saucējus ar jaunu simbolu, iegūstam:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C, tad

x/p + y/q + z/r=1

Šis ir vienādojums, kas minēts iepriekš segmentos. No tā izriet, ka katra vārda saucēja vērtība norāda krustojuma koordinātu ar atbilstošo plaknes asi. Piemēram, tas krusto y asi punktā (0; q; 0). To ir viegli saprast, ja vienādojumā aizstājat nulles x un z koordinātas.

Ņemiet vērā: ja segmentos vienādojumā nav mainīgā, tas nozīmē, ka plakne nekrustojas ar atbilstošo asi. Piemēram, ņemot vērā izteiksmi:

x/p + y/q=1

Tas nozīmē, ka plakne nogriezīs segmentus p un q attiecīgi uz x un y asīm, taču tā būs paralēla z asij.

Secinājums par lidmašīnas uzvedību, kaddažu mainīgo neesamība viņas vienādojumā attiecas arī uz vispārīga tipa izteiksmi, kā parādīts attēlā zemāk.

Vektoru parametru vienādojums

Ir trešā veida vienādojums, kas ļauj aprakstīt plakni telpā. To sauc par parametru vektoru, jo to nosaka divi vektori, kas atrodas plaknē, un divi parametri, kas var iegūt patvaļīgas neatkarīgas vērtības. Parādīsim, kā var iegūt šo vienādojumu.

Pieņemsim, ka ir daži zināmi vektori u ¯(a₁; b₁; c₁) un v¯(a₂; b₂; c₂). Ja tie nav paralēli, tos var izmantot, lai iestatītu noteiktu plakni, fiksējot viena no šiem vektoriem sākumu zināmā punktā M(x₀; y₀; z_{0). Ja patvaļīgu vektoru MP¯ var attēlot kā lineāru vektoru u¯ un v¯ kombināciju, tas nozīmē, ka punkts P(x; y; z) pieder tai pašai plaknei ar u¯, v¯. Tādējādi mēs varam uzrakstīt vienādību:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Vai arī rakstot šo vienādību koordinātu izteiksmē, mēs iegūstam:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Parādītā vienādība ir plaknes parametrisks vektora vienādojums. ATvektoru telpu plaknē u¯ un v¯ sauc par ģeneratoriem.

Tālāk, risinot uzdevumu, tiks parādīts, kā šo vienādojumu var reducēt līdz vispārīgai plaknei.

Leņķis starp plaknēm telpā

Intuitīvi, plaknes 3D telpā var krustoties vai nē. Pirmajā gadījumā ir interesanti atrast leņķi starp tiem. Šī leņķa aprēķins ir grūtāks nekā leņķis starp līnijām, jo mēs runājam par divšķautņu ģeometrisku objektu. Taču palīgā nāk jau pieminētais lidvektors lidmašīnai.

Ir ģeometriski noteikts, ka divšķautņu leņķis starp divām krustojošām plaknēm ir tieši vienāds ar leņķi starp to virzošajiem vektoriem. Apzīmēsim šos vektorus kā n₁¯(a₁; b₁; c_{1) un n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2 _{). Leņķa kosinusu starp tiem nosaka no skalārā reizinājuma. Tas ir, pašu leņķi telpā starp plaknēm var aprēķināt pēc formulas:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Šeit modulis saucējā tiek izmantots, lai atmestu neasā leņķa vērtību (starp krustojošām plaknēm tas vienmēr ir mazāks vai vienāds ar 90o).

Koordinātu formā šo izteiksmi var pārrakstīt šādi:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Plaknes perpendikulāras un paralēlas

Ja plaknes krustojas un to veidotais diedrālais leņķis ir 90o, tad tās būs perpendikulāras. Šādu plakņu piemērs ir taisnstūra prizma vai kubs. Šīs figūras veido sešas plaknes. Katrā nosaukto figūru virsotnē ir trīs plaknes, kas ir perpendikulāras viena otrai.

Lai noskaidrotu, vai aplūkotās plaknes ir perpendikulāras, pietiek ar to normālvektoru skalāro reizinājumu. Pietiekams nosacījums perpendikularitātei plakņu telpā ir šī reizinājuma nulles vērtība.

Paralēli sauc par plaknēm, kas nekrustojas. Dažkārt arī saka, ka paralēlas plaknes krustojas bezgalībā. Paralēlitātes nosacījums plakņu telpā sakrīt ar šo nosacījumu virziena vektoriem n₁¯ un n_{2¯. Varat to pārbaudīt divos veidos:}

Aprēķiniet diedrālā leņķa kosinusu (cos(φ)), izmantojot skalāro reizinājumu. Ja plaknes ir paralēlas, tad vērtība būs 1.

Mēģiniet attēlot vienu vektoru caur citu, reizinot ar kādu skaitli, t.i., n₁¯=kn_{2¯. Ja to var izdarīt, tad atbilstošās plaknes irparalēli.}

Attēlā parādītas divas paralēlas plaknes.

Tagad dosim piemērus divu interesantu uzdevumu risināšanai, izmantojot iegūtās matemātiskās zināšanas.

Kā iegūt vispārīgu formu no vektora vienādojuma?

Šī ir plaknes parametru vektora izteiksme. Lai būtu vieglāk izprast darbību gaitu un izmantotos matemātiskos trikus, apsveriet konkrētu piemēru:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Izvērsiet šo izteiksmi un izsakiet nezināmos parametrus:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Tad:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x-1)/2 + 3(y-2 + (x-1)/2)

Atverot iekavas pēdējā izteiksmē, mēs iegūstam:

z=2x-2 + 3y - 6 vai

2x + 3y - z - 8=0

Esam ieguvuši vispārīgo vienādojuma formu uzdevumā norādītajai plaknei vektora formā

Kā uzbūvēt plakni caur trim punktiem?

Ir iespējams novilkt vienu plakni cauri trim punktiem, ja šie punkti nepieder pie kādas atsevišķas taisnes. Šīs problēmas risināšanas algoritms sastāv no šādas darbību secības:

atrodiet divu vektoru koordinātas, savienojot pa pāriem zināmos punktus;
aprēķiniet to šķērsreizinājumu un iegūstiet plaknei normālu vektoru;
uzrakstiet vispārīgo vienādojumu, izmantojot atrasto vektoru unkāds no trim punktiem.

Ņemsim konkrētu piemēru. Piešķirtie punkti: