Matemātika nav garlaicīga zinātne, kā dažkārt šķiet. Tajā ir daudz interesanta, lai gan dažreiz nesaprotama tiem, kas to nevēlas saprast. Šodien mēs runāsim par vienu no visizplatītākajām un vienkāršākajām matemātikas tēmām, vai drīzāk par tās apgabalu, kas atrodas uz algebras un ģeometrijas robežas. Parunāsim par līnijām un to vienādojumiem. Šķiet, ka šī ir garlaicīga skolas tēma, kas nesola neko interesantu un jaunu. Tomēr tas tā nav, un šajā rakstā mēs centīsimies jums pierādīt savu viedokli. Pirms pāriet uz interesantāko un aprakstot taisnes vienādojumu caur diviem punktiem, mēs pievērsīsimies visu šo mērījumu vēsturei un pēc tam uzzināsim, kāpēc tas viss bija vajadzīgs un kāpēc tagad tālāk norādīto formulu zināšanas nebūs arī sāp.
Vēsture
Pat senatnē matemātiķiem patika ģeometriskas konstrukcijas un visa veida grafiki. Šodien ir grūti pateikt, kurš pirmais izdomāja taisnes vienādojumu caur diviem punktiem. Bet var pieņemt, ka šī persona bija Eiklīds -sengrieķu zinātnieks un filozofs. Tas bija viņš, kurš savā traktātā "Sākums" radīja nākotnes Eiklīda ģeometrijas pamatu. Tagad šī matemātikas sadaļa tiek uzskatīta par pasaules ģeometriskā attēlojuma pamatu un tiek mācīta skolā. Bet ir vērts teikt, ka Eiklīda ģeometrija mūsu trīsdimensiju dimensijā darbojas tikai makro līmenī. Ja ņemam vērā kosmosu, tad ar tās palīdzību ne vienmēr ir iespējams iedomāties visas tur notiekošās parādības.
Pēc Eiklida bija citi zinātnieki. Un viņi pilnveidoja un saprata to, ko viņš atklāja un uzrakstīja. Galu galā izrādījās stabils ģeometrijas laukums, kurā viss joprojām ir nesatricināms. Un tūkstošiem gadu ir pierādīts, ka taisnes vienādojumu caur diviem punktiem ir ļoti viegli un vienkārši sastādīt. Bet pirms sākam skaidrot, kā to izdarīt, apspriedīsim kādu teoriju.
Teorija
Taisne ir abos virzienos bezgalīgs segments, ko var sadalīt bezgalīgā daudzumā jebkura garuma segmentos. Lai attēlotu taisnu līniju, visbiežāk izmanto grafikus. Turklāt grafiki var būt gan divdimensiju, gan trīsdimensiju koordinātu sistēmās. Un tie ir būvēti pēc tiem piederošo punktu koordinātām. Galu galā, ja mēs ņemam vērā taisnu līniju, mēs varam redzēt, ka tā sastāv no bezgalīgi daudz punktu.
Tomēr ir kaut kas, kurā taisne ļoti atšķiras no cita veida līnijām. Šis ir viņas vienādojums. Kopumā tas ir ļoti vienkārši, atšķirībā no, teiksim, apļa vienādojuma. Protams, katrs no mums to piedzīvoja skolā. Bettomēr pierakstīsim tā vispārīgo formu: y=kx+b. Nākamajā sadaļā mēs detalizēti analizēsim, ko nozīmē katrs no šiem burtiem un kā atrisināt šo vienkāršo vienādojumu taisnei, kas iet cauri diviem punktiem.
Līnijas vienādojums
Vienādība, kas tika parādīta iepriekš, ir mums vajadzīgais taisnās līnijas vienādojums. Ir vērts paskaidrot, kas šeit ir domāts. Kā jūs varētu uzminēt, y un x ir katra līnijas punkta koordinātas. Kopumā šis vienādojums pastāv tikai tāpēc, ka katrs jebkuras taisnes punkts mēdz būt saistībā ar citiem punktiem, un tāpēc pastāv likums, kas saista vienu koordinātu ar otru. Šis likums nosaka, kā izskatās taisnes vienādojums caur diviem dotiem punktiem.
Kāpēc tieši divi punkti? Tas viss ir tāpēc, ka minimālais punktu skaits, kas nepieciešams, lai izveidotu taisnu līniju divdimensiju telpā, ir divi. Ja ņemam trīsdimensiju telpu, tad punktu skaits, kas nepieciešams vienas taisnes izveidošanai, arī būs vienāds ar diviem, jo trīs punkti jau veido plakni.
Ir arī teorēma, kas pierāda, ka caur jebkuriem diviem punktiem ir iespējams novilkt vienu taisni. Šo faktu var pārbaudīt praksē, savienojot divus nejaušus diagrammas punktus ar lineālu.
Tagad apskatīsim konkrētu piemēru un parādīsim, kā atrisināt šo bēdīgi slaveno taisnes vienādojumu, kas iet caur diviem dotiem punktiem.
Piemērs
Apsveriet divus punktuskas jums nepieciešams, lai izveidotu taisnu līniju. Iestatīsim to koordinātas, piemēram, M1(2;1) un M2(3;2). Kā mēs zinām no skolas kursa, pirmā koordināte ir vērtība gar OX asi, bet otrā ir vērtība gar OY asi. Iepriekš tika dots taisnes vienādojums caur diviem punktiem, un, lai mēs varētu noskaidrot trūkstošos parametrus k un b, mums ir jāsastāda divu vienādojumu sistēma. Faktiski tas sastāvēs no diviem vienādojumiem, no kuriem katrs saturēs mūsu divas nezināmās konstantes:
1=2k+b
2=3k+b
Tagad svarīgākais paliek: atrisināt šo sistēmu. Tas tiek darīts pavisam vienkārši. Vispirms izteiksim b no pirmā vienādojuma: b=1-2k. Tagad mums ir jāaizstāj iegūtā vienādība ar otro vienādojumu. Tas tiek darīts, aizstājot b ar vienādību, ko mēs saņēmām:
2=3k+1-2k
1=k;
Tagad, kad mēs zinām, kāda ir koeficienta k vērtība, ir pienācis laiks noskaidrot nākamās konstantes - b vērtību. Tas ir padarīts vēl vienkāršāk. Tā kā mēs zinām b atkarību no k, mēs varam aizstāt pēdējā vērtību ar pirmo vienādojumu un uzzināt nezināmo vērtību:
b=1-21=-1.
Zinot abus koeficientus, tagad mēs varam tos aizstāt ar oriģinālo vispārējo vienādojumu taisnei caur diviem punktiem. Tādējādi mūsu piemēram mēs iegūstam šādu vienādojumu: y=x-1. Šī ir vēlamā vienlīdzība, kas mums bija jāiegūst.
Pirms pāriet pie secinājuma, apspriedīsim šīs matemātikas sadaļas pielietojumu ikdienas dzīvē.
Pieteikums
Tādējādi taisnas līnijas vienādojums caur diviem punktiem netiek piemērots. Bet tas nenozīmē, ka mums tas nav vajadzīgs. Fizikā un matemātikāļoti aktīvi tiek izmantoti līniju vienādojumi un no tiem izrietošās īpašības. Jūs to pat nepamanīsit, bet matemātika ir mums visapkārt. Un pat tādas šķietami nenozīmīgas tēmas kā taisnas līnijas vienādojums caur diviem punktiem izrādās ļoti noderīgas un ļoti bieži pielietojamas fundamentālā līmenī. Ja no pirmā acu uzmetiena šķiet, ka tas nekur nevar noderēt, tad jūs maldāties. Matemātika attīsta loģisko domāšanu, kas nekad nebūs lieka.
Secinājums
Tagad, kad esam izdomājuši, kā no diviem dotajiem punktiem novilkt līnijas, mums ir viegli atbildēt uz jebkuru ar to saistīto jautājumu. Piemēram, ja skolotājs jums saka: "Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur diviem punktiem", tad jums nebūs grūti to izdarīt. Mēs ceram, ka šis raksts jums noderēja.
