Pat skolā katrs no mums mācījās vienādojumus un, protams, arī vienādojumu sistēmas. Bet ne daudzi cilvēki zina, ka ir vairāki veidi, kā tos atrisināt. Šodien mēs detalizēti analizēsim visas metodes, kā atrisināt lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu, kas sastāv no vairāk nekā divām vienādībām.
Vēsture
Mūsdienās ir zināms, ka vienādojumu un to sistēmu risināšanas māksla radusies senajā Babilonijā un Ēģiptē. Tomēr vienlīdzības to parastajā formā parādījās pēc vienādības zīmes "=" parādīšanās, ko 1556. gadā ieviesa angļu matemātiķis Record. Starp citu, šī zīme tika izvēlēta iemesla dēļ: tas nozīmē divus paralēlus vienādus segmentus. Patiešām, nav labāka vienlīdzības piemēra.
Mūsdienu nezināmo un grādu zīmju burtu apzīmējumu pamatlicējs ir franču matemātiķis Fransuā Viet. Tomēr viņa apzīmējumi būtiski atšķīrās no mūsdienu. Piemēram, nezināma skaitļa kvadrātu viņš apzīmēja ar burtu Q (lat. "quadratus"), bet kubu - ar burtu C (lat. "cubus"). Tagad šie apzīmējumi šķiet neērti, bet tadtas bija saprotamākais veids, kā rakstīt lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas.
Tomēr toreizējo risināšanas metožu trūkums bija tas, ka matemātiķi uzskatīja tikai pozitīvas saknes. Varbūt tas ir saistīts ar faktu, ka negatīvajām vērtībām nebija praktiskas nozīmes. Tā vai citādi itāļu matemātiķi Nikolo Tartaglija, Džerolamo Kardano un Rafaels Bombelli bija pirmie, kas 16. gadsimtā apsvēra negatīvās saknes. Un mūsdienu izskats, galvenā kvadrātvienādojumu risināšanas metode (izmantojot diskriminantu) tika izveidota tikai 17. gadsimtā, pateicoties Dekarta un Ņūtona darbam.
18. gadsimta vidū Šveices matemātiķis Gabriels Krāmers atrada jaunu veidu, kā atvieglot lineāro vienādojumu sistēmu risināšanu. Šī metode vēlāk tika nosaukta viņa vārdā, un mēs to izmantojam līdz šai dienai. Bet par Krāmera metodi runāsim nedaudz vēlāk, bet pagaidām atsevišķi no sistēmas apspriedīsim lineāros vienādojumus un metodes to risināšanai.
Lineārie vienādojumi
Lineārie vienādojumi ir vienkāršākie vienādības ar mainīgo(iem). Tos klasificē kā algebriskos. Lineāros vienādojumus vispārīgā formā raksta šādi: 2+…a x =b. Mums būs nepieciešams to attēlojums šajā formā, kompilējot sistēmas un matricas tālāk.
Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas
Šī termina definīcija ir šāda: tas ir vienādojumu kopums, kam ir kopīgi nezināmie un kopīgs risinājums. Parasti skolā visu izšķīra sistēmasar diviem vai pat trim vienādojumiem. Bet ir sistēmas ar četrām vai vairākām sastāvdaļām. Vispirms izdomāsim, kā tos pierakstīt, lai vēlāk būtu ērti tos atrisināt. Pirmkārt, lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas izskatīsies labāk, ja visi mainīgie ir uzrakstīti kā x ar atbilstošu indeksu: 1, 2, 3 utt. Otrkārt, visi vienādojumi ir jāsamazina līdz kanoniskajai formai: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Pēc visām šīm darbībām mēs varam sākt runāt par to, kā atrast risinājumu lineāro vienādojumu sistēmām. Tam ļoti noderēs matricas.
Matrices
Matrica ir tabula, kas sastāv no rindām un kolonnām, un tās elementi atrodas to krustpunktā. Tās var būt noteiktas vērtības vai mainīgie. Visbiežāk, lai apzīmētu elementus, zem tiem tiek ievietoti apakšindeksi (piemēram, a11 vai a23). Pirmais rādītājs apzīmē rindas numuru, bet otrais – kolonnas numuru. Matricās, kā arī jebkurā citā matemātiskā elementā varat veikt dažādas darbības. Tātad jūs varat:
1) Atņemiet un pievienojiet tāda paša izmēra tabulas.
2) Reiziniet matricu ar kādu skaitli vai vektoru.
3) Transponēšana: pārvērtiet matricas rindas kolonnās un kolonnas rindās.
4) Reiziniet matricas, ja vienas no tām rindu skaits ir vienāds ar otras kolonnu skaitu.
Visus šos paņēmienus apspriedīsim sīkāk, jo tie mums noderēs turpmāk. Matricu atņemšana un pievienošana ir ļoti vienkārša. Tātadtā kā mēs ņemam vienāda izmēra matricas, tad katrs vienas tabulas elements atbilst katram citas tabulas elementam. Tādējādi mēs pievienojam (atņemam) šos divus elementus (svarīgi, lai tie savās matricās būtu vienās vietās). Reizinot matricu ar skaitli vai vektoru, jums vienkārši jāreizina katrs matricas elements ar šo skaitli (vai vektoru). Transponēšana ir ļoti interesants process. Reizēm ir ļoti interesanti to redzēt dzīvē, piemēram, mainot planšetdatora vai tālruņa orientāciju. Ikonas uz darbvirsmas ir matrica, un, mainot pozīciju, tā tiek transponēta un kļūst platāka, bet samazinās augstums.
Paskatīsimies vēlreiz uz tādu procesu kā matricas reizināšana. Lai gan mums tas nebūs noderīgi, tomēr noderēs to zināt. Divas matricas var reizināt tikai tad, ja kolonnu skaits vienā tabulā ir vienāds ar rindu skaitu otrā tabulā. Tagad ņemsim vienas matricas rindas elementus un citas attiecīgās kolonnas elementus. Mēs tos reizinām vienu ar otru un pēc tam pievienojam (tas ir, piemēram, elementu a11 un a12 reizinājums ar b 12un b22 būs vienāds ar: a11b12 + a 12 b22). Tādējādi tiek iegūts viens tabulas elements, un tas tiek aizpildīts tālāk ar līdzīgu metodi.
Tagad mēs varam sākt aplūkot, kā tiek atrisināta lineāro vienādojumu sistēma.
Gausa metode
Šī tēma sāk iet garām pat skolā. Mēs labi zinām jēdzienu "divu lineāro vienādojumu sistēma" un zinām, kā tos atrisināt. Bet ko tad, ja vienādojumu skaits ir lielāks par diviem? Gausa metode mums palīdzēs šajā jautājumā.
Protams, šo metodi ir ērti izmantot, ja no sistēmas veidojat matricu. Bet jūs to nevarat pārveidot un atrisināt tīrākajā veidā.
Kā šī metode atrisina lineāro Gausa vienādojumu sistēmu? Starp citu, lai gan šī metode ir nosaukta viņa vārdā, tā tika atklāta senos laikos. Gauss ierosina sekojošo: veikt darbības ar vienādojumiem, lai galu galā reducētu visu kopu līdz pakāpju formai. Tas ir, ir nepieciešams, lai no augšas uz leju (ja pareizi novietots) no pirmā vienādojuma līdz pēdējam samazinātos viens nezināmais. Citiem vārdiem sakot, mums ir jāpārliecinās, ka mēs iegūstam, teiksim, trīs vienādojumus: pirmajā - trīs nezināmie, otrajā - divi, trešajā - viens. Pēc tam no pēdējā vienādojuma atrodam pirmo nezināmo, aizstājam tā vērtību ar otro vai pirmo vienādojumu un pēc tam atrodam atlikušos divus mainīgos.
Cramer metode
Lai apgūtu šo metodi, ir ļoti svarīgi apgūt matricu saskaitīšanas un atņemšanas prasmes, kā arī jāprot atrast noteicošos faktorus. Tāpēc, ja jūs to visu darāt slikti vai nezināt, kā vispār, jums būs jāmācās un jāpraktizē.
Kāda ir šīs metodes būtība un kā to izveidot tā, lai iegūtu lineāru Krāmera vienādojumu sistēmu? Viss ir ļoti vienkārši. Mums ir jākonstruē matrica no lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas skaitliskiem (gandrīz vienmēr) koeficientiem. Lai to izdarītu, vienkārši paņemiet ciparus nezināmo priekšā un sakārtojiet tostabulu tādā secībā, kādā tie ierakstīti sistēmā. Ja pirms skaitļa ir zīme "-", mēs pierakstām negatīvu koeficientu. Tātad, mēs esam sastādījuši pirmo matricu no nezināmo koeficientiem, neskaitot skaitļus aiz vienādības zīmēm (protams, vienādojums ir jāsamazina līdz kanoniskajai formai, kad labajā pusē ir tikai skaitlis, bet visi nezināmie ar koeficienti pa kreisi). Pēc tam jums ir jāizveido vēl vairākas matricas - viena katram mainīgajam. Lai to izdarītu, mēs pēc kārtas katru kolonnu aizstājam ar koeficientiem pirmajā matricā ar skaitļu kolonnu pēc vienādības zīmes. Tādējādi mēs iegūstam vairākas matricas un pēc tam atrodam to determinantus.
Pēc tam, kad esam atraduši noteicošos faktorus, lieta ir maza. Mums ir sākotnējā matrica, un ir vairākas iegūtas matricas, kas atbilst dažādiem mainīgajiem. Lai iegūtu sistēmas risinājumus, iegūtās tabulas determinantu sadalām ar sākotnējās tabulas determinantu. Iegūtais skaitlis ir viena mainīgā vērtība. Tāpat mēs atrodam visus nezināmos.
Citas metodes
Ir vēl vairākas metodes, kā iegūt lineāro vienādojumu sistēmu risinājumu. Piemēram, tā sauktā Gausa-Jordaņa metode, kas tiek izmantota kvadrātvienādojumu sistēmas atrisinājumu atrašanai un ir saistīta arī ar matricu izmantošanu. Ir arī Jacobi metode lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risināšanai. To ir visvieglāk pielāgot datoram, un to izmanto skaitļošanā.
Sarežģīti gadījumi
Sarežģītība parasti rodas, ja vienādojumu skaits ir mazāks par mainīgo skaitu. Tad mēs varam droši teikt, ka vai nu sistēma ir nekonsekventa (tas ir, tai nav sakņu), vai arī tās risinājumu skaits sliecas uz bezgalību. Ja mums ir otrais gadījums, tad jāpieraksta lineāro vienādojumu sistēmas vispārīgais risinājums. Tajā būs vismaz viens mainīgais.
Secinājums
Šeit mēs nonākam pie beigām. Rezumējot: mēs esam analizējuši, kas ir sistēma un matrica, mēs esam iemācījušies atrast vispārīgu risinājumu lineāro vienādojumu sistēmai. Turklāt tika izskatīti citi varianti. Noskaidrojām, kā tiek atrisināta lineāro vienādojumu sistēma: Gausa metode un Krāmera metode. Mēs runājām par sarežģītiem gadījumiem un citiem risinājumiem.
Patiesībā šī tēma ir daudz plašāka, un, ja vēlaties to labāk izprast, iesakām izlasīt vairāk specializētās literatūras.
