Šteinera teorēma vai paralēlo asu teorēma inerces momenta aprēķināšanai

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Rotācijas kustības matemātiskajā aprakstā ir svarīgi zināt sistēmas inerces momentu ap asi. Vispārīgā gadījumā šī daudzuma atrašanas procedūra ietver integrācijas procesa ieviešanu. Tā sauktā Šteinera teorēma atvieglo aprēķināšanu. Apskatīsim to sīkāk rakstā.

Kas ir inerces moments?

Pirms dot Šteinera teorēmas formulējumu, ir jāizskata pati inerces momenta jēdziens. Pieņemsim, ka ir kāds noteiktas masas un patvaļīgas formas ķermenis. Šis ķermenis var būt vai nu materiāls punkts, vai jebkurš divdimensiju vai trīsdimensiju objekts (stienis, cilindrs, bumba utt.). Ja attiecīgais objekts veic apļveida kustību ap kādu asi ar nemainīgu leņķisko paātrinājumu α, tad var uzrakstīt šādu vienādojumu:

M=Iα

Šeit vērtība M apzīmē kopējo spēku momentu, kas piešķir paātrinājumu α visai sistēmai. Tiek saukts proporcionalitātes koeficients starp tiem - Iinerces moments. Šo fizisko daudzumu aprēķina, izmantojot šādu vispārīgo formulu:

I=∫_m (r²dm)

Šeit r ir attālums starp elementu ar masu dm un rotācijas asi. Šī izteiksme nozīmē, ka ir jāatrod attālumu kvadrātā r² un elementārās masas dm reizinājumu summa. Tas nozīmē, ka inerces moments nav tīra ķermeņa īpašība, kas to atšķir no lineārās inerces. Tas ir atkarīgs no masas sadalījuma pa visu rotējošo objektu, kā arī no attāluma līdz asij un no ķermeņa orientācijas attiecībā pret to. Piemēram, stienim būs atšķirīgs I, ja tas tiks pagriezts ap masas centru un ap galu.

Inerces moments un Šteinera teorēma

Slavenais Šveices matemātiķis Jakobs Šteiners pierādīja teorēmu par paralēlām asīm un inerces momentu, kas tagad nes viņa vārdu. Šī teorēma postulē, ka inerces moments absolūti jebkuram stingram patvaļīgas ģeometrijas ķermenim attiecībā pret kādu rotācijas asi ir vienāds ar inerces momenta summu ap asi, kas šķērso ķermeņa masas centru un ir paralēla pirmajai., un ķermeņa masas reizinājums ar attāluma kvadrātu starp šīm asīm. Matemātiski šis formulējums ir uzrakstīts šādi:

I_Z=I_O + ml²

I_Z un I_O - inerces momenti ap Z asi un tai paralēlo O asi, kas iet garām caur ķermeņa masas centru, l - attālums starp līnijām Z un O.

Teorēma ļauj, zinot I_O vērtību, aprēķinātjebkurā citā brīdī I_Z ap asi, kas ir paralēla O.

Teorēmas pierādījums

Šteinera teorēmas formulu var viegli iegūt pats. Lai to izdarītu, apsveriet patvaļīgu ķermeni xy plaknē. Ļaujiet koordinātu sākumam iet caur šī ķermeņa masas centru. Aprēķināsim inerces momentu I_O, kas iet caur sākuma punktu perpendikulāri xy plaknei. Tā kā attālumu līdz jebkuram ķermeņa punktam izsaka ar formulu r=√ (x² + y²), tad mēs iegūstam integrāli:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Tagad virzīsim asi paralēli pa x asi par attālumu l, piemēram, pozitīvā virzienā, tad aprēķins jaunajai inerces momenta asij izskatīsies šādi:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Izvērsiet pilno kvadrātu iekavās un sadaliet integrandus, iegūstam:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Pirmais no šiem terminiem ir vērtība I_O, trešais termins pēc integrācijas dod terminu l²m, un šeit otrais termins ir nulle. Norādītā integrāļa nulles noteikšana ir saistīta ar to, ka tā tiek ņemta no x un masas elementu reizinājuma dm, kasvidējais dod nulli, jo masas centrs atrodas sākuma punktā. Rezultātā tiek iegūta Šteinera teorēmas formula.

Aplūkoto gadījumu plaknē var vispārināt līdz trīsdimensiju ķermenim.

Šteinera formulas pārbaude uz stieņa piemēra

Sniegsim vienkāršu piemēru, lai parādītu, kā lietot iepriekš minēto teorēmu.

Ir zināms, ka stieņam ar garumu L un masu m inerces moments I_O(ass iet caur masas centru) ir vienāds ar m L² /12, un moments I_Z (ass iet caur stieņa galu) ir vienāds ar mL 2^{/3. Pārbaudīsim šos datus, izmantojot Šteinera teorēmu. Tā kā attālums starp abām asīm ir L/2, tad mēs iegūstam momentu I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Tas ir, mēs pārbaudījām Steinera formulu un saņēmām tādu pašu vērtību I_Z kā avotā.

Līdzīgus aprēķinus var veikt arī citiem korpusiem (cilindru, lodīšu, disku), iegūstot nepieciešamos inerces momentus un neveicot integrāciju.

Inerces moments un perpendikulāras asis

Aplūkotā teorēma attiecas uz paralēlām asīm. Informācijas pilnīgumam ir lietderīgi sniegt arī teorēmu perpendikulārām asīm. Tas ir formulēts šādi: patvaļīgas formas plakanam objektam inerces moments ap tam perpendikulāru asi būs vienāds ar divu inerces momentu summu par diviem savstarpēji perpendikulāriem un guļus.asu objekta plaknē, visām trim asis iet caur vienu un to pašu punktu. Matemātiski tas ir uzrakstīts šādi:

I_z=I_x + I_y

Šeit z, x, y ir trīs savstarpēji perpendikulāras rotācijas asis.

Būtiskā atšķirība starp šo teorēmu un Šteinera teorēmu ir tāda, ka tā ir piemērojama tikai plakaniem (divdimensiju) cietiem objektiem. Tomēr praksē tas tiek plaši izmantots, garīgi sagriežot ķermeni atsevišķos slāņos, un pēc tam pievienojot iegūtos inerces momentus.