Momentu vienādojums: spēka, impulsa un inerces momenti

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Ja ķermeņu lineāro kustību apraksta klasiskajā mehānikā, izmantojot Ņūtona likumus, tad mehānisko sistēmu kustības raksturlielumus pa riņķveida trajektorijām aprēķina, izmantojot īpašu izteiksmi, ko sauc par momentu vienādojumu. Par kādiem brīžiem mēs runājam un kāda ir šī vienādojuma nozīme? Šie un citi jautājumi ir atklāti rakstā.

Spēka brīdis

Ikviens labi apzinās Ņūtona spēku, kas, iedarbojoties uz ķermeni, noved pie tā paātrinājuma. Ja šāds spēks tiek pielikts objektam, kas ir fiksēts uz noteiktas rotācijas ass, tad šo raksturlielumu parasti sauc par spēka momentu. Spēka momenta vienādojumu var uzrakstīt šādi:

M¯=L¯F¯

Attēls, kas izskaidro šo izteiksmi, ir parādīts zemāk.

Šeit var redzēt, ka spēks F¯ ir vērsts uz vektoru L¯ leņķī Φ. Tiek pieņemts, ka pats vektors L¯ ir vērsts no rotācijas ass (norādīta ar bultiņu) uz pielietojuma punktu. F¯.

Iepriekš minētā formula ir divu vektoru reizinājums, tāpēc M¯ ir arī virziena. Kur tiks pagriezts spēka moments M¯? To var noteikt ar labās rokas likumu (četri pirksti ir vērsti pa trajektoriju no vektora L¯ gala līdz F¯ beigām, un kreisais īkšķis norāda M¯ virzienu).

Augšējā attēlā spēka momenta izteiksme skalārā formā būs šāda:

M=LFsin(Φ)

Ja paskatās vērīgi uz attēlu, var redzēt, ka Lsin(Φ)=d, tad mums ir formula:

M=dF

D vērtība ir svarīgs raksturlielums spēka momenta aprēķināšanā, jo tā atspoguļo sistēmai pielietotā F efektivitāti. Šo vērtību sauc par spēka sviru.

M fiziskā nozīme slēpjas spēka spējā pagriezt sistēmu. Ikviens var sajust šo spēju, atverot durvis aiz roktura, piespiežot tās pie eņģēm, vai mēģinot atskrūvēt uzgriezni ar īsu un garu atslēgu.

Sistēmas līdzsvars

Spēka momenta jēdziens ir ļoti noderīgs, apsverot tādas sistēmas līdzsvaru, uz kuru iedarbojas vairāki spēki un kurai ir ass vai griešanās punkts. Šādos gadījumos izmantojiet formulu:

∑_iM_i¯=0

Tas ir, sistēma būs līdzsvarā, ja visu tai pielikto spēku momentu summa ir nulle. Ņemiet vērā, ka šajā formulā ir vektora zīme pār momentu, tas ir, risinot, neaizmirstiet ņemt vērā šī zīmidaudzumus. Vispārpieņemtais noteikums ir tāds, ka darbības spēks, kas griež sistēmu pretēji pulksteņrādītāja virzienam, rada pozitīvu M_i¯.

Spilgts šāda veida problēmu piemērs ir problēmas ar Arhimēda sviru līdzsvaru.

Apgriezienu moments

Šī ir vēl viena svarīga apļveida kustības īpašība. Fizikā to raksturo kā impulsa un sviras reizinājumu. Impulsa vienādojums izskatās šādi:

T¯=r¯p¯

Šeit p¯ ir impulsa vektors, r¯ ir vektors, kas savieno rotējošo materiāla punktu ar asi.

Šo izteiksmi ilustrē zemāk esošais attēls.

Šeit ω ir leņķiskais ātrums, kas parādīsies tālāk momenta vienādojumā. Ņemiet vērā, ka vektora T¯ virzienu nosaka pēc tāda paša likuma kā M¯. Iepriekš redzamajā attēlā T¯ virzienā sakritīs ar leņķiskā ātruma vektoru ω¯.

T¯ fiziskā nozīme ir tāda pati kā p¯ raksturlielumiem lineāras kustības gadījumā, t.i., leņķiskais impulss raksturo rotācijas kustības apjomu (uzglabāto kinētisko enerģiju).

Inerces moments

Trešais svarīgais raksturlielums, bez kura nav iespējams formulēt rotējoša objekta kustības vienādojumu, ir inerces moments. Fizikā tas parādās materiāla punkta leņķiskā impulsa formulas matemātisko pārveidojumu rezultātā. Parādīsim, kā tas tiek darīts.

Iedomāsimies vērtībuT¯ šādi:

T¯=r¯mv¯, kur p¯=mv¯

Izmantojot attiecību starp leņķisko un lineāro ātrumu, mēs varam pārrakstīt šo izteiksmi šādi:

T¯=r¯mr¯ω¯, kur v¯=r¯ω¯

Uzrakstiet pēdējo izteiksmi šādi:

T¯=r²mω¯

Vērtība r²m ir inerces moments I tādam masas punktam m, kas veic apļveida kustību ap asi attālumā r no tā. Šis īpašais gadījums ļauj mums ieviest vispārēju inerces momenta vienādojumu patvaļīgas formas ķermenim:

I=∫_m (r²dm)

I ir piedevas lielums, kura nozīme slēpjas rotējošās sistēmas inercē. Jo lielāks es, jo grūtāk ir griezt ķermeni, un ir vajadzīgas ievērojamas pūles, lai to apturētu.

Momenta vienādojums

Esam apsvēruši trīs lielumus, kuru nosaukums sākas ar vārdu "mirklis". Tas tika darīts apzināti, jo tie visi ir savienoti vienā izteiksmē, ko sauc par 3 momentu vienādojumu. Paņemsim to ārā.

Apsveriet leņķiskā impulsa izteiksmi T¯:

T¯=Iω¯

Atrodiet, kā T¯ vērtība mainās laikā, mums ir:

dT¯/dt=Idω¯/dt

Ņemot vērā, ka leņķiskā ātruma atvasinājums ir vienāds ar lineārā ātruma atvasinājumu, kas dalīts ar r, un paplašinot I vērtību, mēs nonākam pie izteiksmes:

dT¯/dt=mr²1/rdv¯/dt=rma¯, kur a¯=dv¯/dt ir lineārais paātrinājums.

Ņemiet vērā, ka masas un paātrinājuma reizinājums nav nekas cits kā darbojošais ārējais spēks F¯. Rezultātā mēs iegūstam:

dT¯/dt=rF¯=M¯

Mēs nonācām pie interesanta secinājuma: leņķiskā impulsa izmaiņas ir vienādas ar iedarbojošā ārējā spēka momentu. Šo izteiksmi parasti raksta nedaudz atšķirīgā formā:

M¯=Iα¯, kur α¯=dω¯/dt - leņķiskais paātrinājums.

Šo vienādojumu sauc par momentu vienādojumu. Tas ļauj aprēķināt jebkuru rotējoša ķermeņa raksturlielumu, zinot sistēmas parametrus un ārējās ietekmes uz to lielumu.

Saglabāšanas likums T¯

Iepriekšējā rindkopā iegūtais secinājums norāda, ka, ja spēku ārējais moments ir vienāds ar nulli, tad leņķiskais impulss nemainīsies. Šajā gadījumā mēs rakstām izteiksmi:

T¯=konst. vai I₁ω₁¯=I₂ω_{2 ¯}

Šo formulu sauc par T¯ saglabāšanas likumu. Tas nozīmē, ka visas izmaiņas sistēmā nemaina kopējo leņķisko impulsu.

Šo faktu savu priekšnesumu laikā izmanto daiļslidotāji un balerīnas. To izmanto arī tad, ja ir nepieciešams pagriezt mākslīgo pavadoni, kas pārvietojas telpā ap savu asi.