Fizikā problēmu izskatīšana ar rotējošiem ķermeņiem vai sistēmām, kas atrodas līdzsvarā, tiek veikta, izmantojot jēdzienu "spēka moments". Šajā rakstā tiks apskatīta spēka momenta formula, kā arī tās izmantošana šāda veida problēmu risināšanai.
Spēka moments fizikā
Kā minēts ievadā, šajā rakstā galvenā uzmanība tiks pievērsta sistēmām, kuras var griezties ap asi vai ap punktu. Apsveriet šāda modeļa piemēru, kas parādīts zemāk esošajā attēlā.
Mēs redzam, ka pelēkā svira ir fiksēta uz rotācijas ass. Sviras galā ir melns kādas masas kubs, uz kuru iedarbojas spēks (sarkanā bultiņa). Ir intuitīvi skaidrs, ka šī spēka rezultāts būs sviras griešanās ap asi pretēji pulksteņrādītāja virzienam.
Spēka moments ir lielums fizikā, kas ir vienāds ar rādiusa vektorreizinājumu, kas savieno griešanās asi un spēka pielikšanas punktu (zaļš vektors attēlā), un ārējo spēku pati par sevi. Tas ir, ir uzrakstīta formula spēka momentam ap asišādi:
M¯=r¯F¯
Šī produkta rezultāts ir vektors M¯. Tās virziens tiek noteikts, pamatojoties uz zināšanām par reizinātāju vektoriem, tas ir, r¯ un F¯. Saskaņā ar krustreizinājuma definīciju M¯ jābūt perpendikulārai plaknei, ko veido vektori r¯ un F¯, un jāvirza saskaņā ar labās rokas likumu (ja četri labās rokas pirksti ir novietoti gar pirmo reizināto vektoru otrās beigās, tad īkšķis norāda, kur ir vērsts vēlamais vektors). Attēlā var redzēt, kur ir vērsts vektors M¯ (zilā bultiņa).
Skalārais apzīmējums M¯
Attēlā iepriekšējā rindkopā spēks (sarkanā bultiņa) iedarbojas uz sviru 90o leņķī. Vispārīgā gadījumā to var pielietot absolūti jebkurā leņķī. Apsveriet tālāk redzamo attēlu.
Šeit redzams, ka spēks F jau iedarbojas uz sviru L noteiktā leņķī Φ. Šai sistēmai spēka momenta formula attiecībā pret punktu (norādīta ar bultiņu) skalārā formā būs šāda:
M=LFsin(Φ)
No izteiksmes izriet, ka spēka M moments būs jo lielāks, jo tuvāk spēka F darbības virziens ir leņķim 90o attiecībā pret L. Un otrādi, ja F darbojas gar L, tad sin(0)=0 un spēks nerada nevienu momentu (M=0).
Apskatot spēka momentu skalārā formā, bieži tiek lietots jēdziens "spēka svira". Šī vērtība ir attālums starp asi (punktsrotācija) un vektors F. Piemērojot šo definīciju iepriekš redzamajam attēlam, varam teikt, ka d=Lsin(Φ) ir spēka svira (vienādība izriet no trigonometriskās funkcijas "sinuss" definīcijas). Izmantojot spēka sviru, momenta M formulu var pārrakstīt šādi:
M=dF
M
fiziskā nozīme
Aplūkotais fiziskais lielums nosaka ārējā spēka F spēju iedarboties uz sistēmu ar rotācijas efektu. Lai ķermenis nonāktu rotācijas kustībā, tas jāinformē par kādu brīdi M.
Spilgts šī procesa piemērs ir telpas durvju atvēršana vai aizvēršana. Turot rokturi, cilvēks pieliek pūles un pagriež durvis uz eņģēm. Ikviens var to izdarīt. Ja mēģināt atvērt durvis, iedarbojoties uz tām netālu no eņģēm, jums būs jāpieliek lielas pūles, lai tās pārvietotu.
Cits piemērs ir uzgriežņa atskrūvēšana ar uzgriežņu atslēgu. Jo īsāks ir šis taustiņš, jo grūtāk ir izpildīt uzdevumu.
Norādītās pazīmes ir demonstrētas ar spēka momenta formulu pār plecu, kas tika dota iepriekšējā punktā. Ja M tiek uzskatīts par nemainīgu vērtību, tad, jo mazāks d, jo lielāks F ir jāpiemēro, lai izveidotu doto spēka momentu.
Sistēmā vairāki darbojošie spēki
Iepriekš tika aplūkoti gadījumi, kad uz sistēmu, kas spēj griezties, iedarbojas tikai viens spēks F, bet ja ir vairāki šādi spēki? Patiešām, šī situācija ir biežāka, jo uz sistēmu var iedarboties spēkidažāda rakstura (gravitācijas, elektriskās, berzes, mehāniskās un citas). Visos šajos gadījumos iegūto spēka momentu M¯ var iegūt, izmantojot visu momentu vektoru summu Mi¯, t.i.:
M¯=∑i(Mi¯), kur i ir stipruma skaitlis Fi
No momentu aditivitātes īpašības izriet svarīgs secinājums, ko sauc par Varinjona teorēmu, kas nosaukta 17. gadsimta beigu - 18. gadsimta sākuma matemātiķa - francūža Pjēra Varinjona vārdā. Tas skan: "Visu spēku momentu summu, kas iedarbojas uz aplūkojamo sistēmu, var attēlot kā viena spēka momentu, kas ir vienāds ar visu pārējo summu un tiek piemērots noteiktam punktam." Matemātiski teorēmu var uzrakstīt šādi:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Šo svarīgo teorēmu praksē bieži izmanto, lai atrisinātu uzdevumus par ķermeņu rotāciju un līdzsvaru.
Vai spēka moments darbojas?
Analizējot iepriekš minētās formulas skalārā vai vektora formā, varam secināt, ka M vērtība ir zināms darbs. Patiešām, tā izmērs ir Nm, kas SI atbilst džoulam (J). Faktiski spēka moments nav darbs, bet tikai daudzums, kas to spēj. Lai tas notiktu, sistēmā ir nepieciešama apļveida kustība un ilgstoša darbība M. Tāpēc spēka momenta darba formulu raksta šādi:
A=Mθ
BŠajā izteiksmē θ ir leņķis, caur kuru tika veikts pagriešana ar spēka momentu M. Rezultātā darba vienību var uzrakstīt kā Nmrad vai Jrad. Piemēram, vērtība 60 Jrad norāda, ka, pagriežot par 1 radiānu (apmēram 1/3 no apļa), spēks F, kas rada brīdi, kad M veica 60 džoulu darbu. Šo formulu bieži izmanto, risinot problēmas sistēmās, kurās darbojas berzes spēki, kā parādīts tālāk.
Spēka moments un impulsa moments
Kā parādīts, momenta M ietekme uz sistēmu izraisa rotācijas kustības parādīšanos tajā. Pēdējo raksturo daudzums, ko sauc par "impulsu". To var aprēķināt, izmantojot formulu:
L=Iω
Šeit I ir inerces moments (vērtība, kurai rotācijā ir tāda pati loma kā masai ķermeņa lineārajā kustībā), ω ir leņķiskais ātrums, tas ir saistīts ar lineāro ātrumu pēc formulas ω=v/r.
Abi momenti (impulss un spēks) ir saistīti viens ar otru ar šādu izteiksmi:
M=Iα, kur α=dω / dt ir leņķiskais paātrinājums.
Dodīsim vēl vienu formulu, kas ir svarīga uzdevumu risināšanai spēku momentu darbam. Izmantojot šo formulu, jūs varat aprēķināt rotējoša ķermeņa kinētisko enerģiju. Viņa izskatās šādi:
Ek=1/2Iω2
Tālāk mēs piedāvājam divas problēmas ar risinājumiem, kur parādīsim, kā izmantot aplūkotās fiziskās formulas.
Vairāku ķermeņu līdzsvars
Pirmais uzdevums ir saistīts ar sistēmas līdzsvaru, kurā darbojas vairāki spēki. UzZemāk redzamajā attēlā parādīta sistēma, uz kuru iedarbojas trīs spēki. Jāaprēķina, kādā masā objekts ir jāpiekar no šīs sviras un kurā brīdī tas jādara, lai šī sistēma būtu līdzsvarā.
No uzdevuma nosacījumiem var saprast, ka tās risināšanai jāizmanto Varinjona teorēma. Uz pirmo problēmas daļu var atbildēt uzreiz, jo no sviras pakarināmā priekšmeta svars būs:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
Šeit esošās zīmes ir izvēlētas, ņemot vērā, ka spēks, kas griež sviru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, rada negatīvu momentu.
Punkta d pozīcija, kur šis svars ir jāpakar, tiek aprēķināta pēc formulas:
M1 - M2 + M3=dP=720–510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Ņemiet vērā, ka, izmantojot gravitācijas momenta formulu, mēs aprēķinājām trīs spēku radītās vērtības ekvivalento vērtību M. Lai sistēma būtu līdzsvarā, korpuss, kas sver 35 N, ir jāpiekar 4. punktā 714 m no ass sviras otrā pusē.
Diska pārvietošanas problēma
Sekojošā uzdevuma risinājums ir balstīts uz berzes spēka momenta un apgriezienu ķermeņa kinētiskās enerģijas formulas izmantošanu. Uzdevums: Dots disks ar rādiusu r=0,3 metri, kas griežas ar ātrumu ω=1 rad/s. Jāaprēķina, cik tālu tas var nobraukt pa virsmu, ja rites berzes koeficients ir Μ=0,001.
Šo problēmu ir visvieglāk atrisināt, ja izmantojat enerģijas nezūdamības likumu. Mums ir diska sākotnējā kinētiskā enerģija. Kad tas sāk ripot, visa šī enerģija tiek tērēta virsmas sildīšanai berzes spēka ietekmē. Pielīdzinot abus lielumus, mēs iegūstam izteiksmi:
Iω2/2=ΜN/rrθ
Pirmā formulas daļa ir diska kinētiskā enerģija. Otrā daļa ir berzes spēka momenta darbs F=ΜN/r, kas pielikts diska malai (M=Fr).
Ņemot vērā, ka N=mg un I=1/2mr2, mēs aprēķinām θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Tā kā 2pi radiāni atbilst garumam 2pir, tad mēs iegūstam, ka nepieciešamais attālums, ko disks veiks, ir:
s=θr=2,293580,3=0,688 m jeb aptuveni 69 cm
Ņemiet vērā, ka diska masa neietekmē šo rezultātu.
