Ķermeņu rotācija ir viens no svarīgākajiem mehāniskās kustības veidiem tehnoloģijā un dabā. Atšķirībā no lineārās kustības, to raksturo savs kinemātisko raksturlielumu kopums. Viens no tiem ir leņķiskais paātrinājums. Mēs raksturojam šo vērtību rakstā.
Rotācijas kustība
Pirms runāt par leņķisko paātrinājumu, aprakstīsim kustības veidu, uz kuru tas attiecas. Mēs runājam par rotāciju, kas ir ķermeņu kustība pa apļveida ceļiem. Lai rotācija notiktu, ir jāievēro noteikti nosacījumi:
- ass vai griešanās punkta klātbūtne;
- centripetāla spēka klātbūtne, kas noturētu ķermeni apļveida orbītā.
Šāda veida kustību piemēri ir dažādas atrakcijas, piemēram, karuselis. Inženierzinātnēs rotācija izpaužas riteņu un vārpstu kustībā. Dabā spilgtākais šāda veida kustības piemērs ir planētu rotācija ap savu asi un ap Sauli. Centrpetālā spēka lomu šajos piemēros spēlē starpatomiskās mijiedarbības spēki cietās vielās un gravitācijas spēks.mijiedarbība.
Rotācijas kinemātiskās īpašības
Šie raksturlielumi ietver trīs lielumus: leņķiskais paātrinājums, leņķiskais ātrums un griešanās leņķis. Mēs tos apzīmēsim ar grieķu simboliem attiecīgi α, ω un θ.
Tā kā ķermenis pārvietojas pa apli, ir ērti aprēķināt leņķi θ, kuru tas pagriezīs noteiktā laikā. Šo leņķi izsaka radiānos (reti grādos). Tā kā aplim ir 2 × pi radiāni, mēs varam uzrakstīt vienādojumu, kas attiecas uz θ ar pagrieziena loka garumu L:
L=θ × r
Kur r ir rotācijas rādiuss. Šo formulu ir viegli iegūt, ja atceraties atbilstošo apkārtmēra izteiksmi.
Leņķiskais ātrums ω, tāpat kā tā lineārais ekvivalents, raksturo griešanās ātrumu ap asi, tas ir, to nosaka pēc šādas izteiksmes:
ω¯=d θ / d t
Daudzums ω¯ ir vektora vērtība. Tas ir vērsts pa rotācijas asi. Tās mērvienība ir radiāni sekundē (rad/s).
Visbeidzot, leņķiskais paātrinājums ir fizikāls raksturlielums, kas nosaka ω¯ vērtības izmaiņu ātrumu, kas ir matemātiski uzrakstīts šādi:
α¯=d ω¯/ d t
Vektors α¯ ir vērsts uz ātruma vektora ω¯ maiņu. Tālāk tiks teikts, ka leņķiskais paātrinājums ir vērsts uz spēka momenta vektoru. Šo vērtību mēra radiānos.kvadrātsekunde (rad/s2).
Spēka un paātrinājuma moments
Ja atceramies Ņūtona likumu, kas savieno spēku un lineāro paātrinājumu vienā vienādībā, tad, pārnesot šo likumu uz rotācijas gadījumu, varam uzrakstīt šādu izteiksmi:
M¯=I × α¯
Šeit M¯ ir spēka moments, kas ir reizinājums spēkam, kuram ir tendence griezt sistēmu, reizināts ar sviru – attālumu no spēka pielikšanas punkta līdz asij. Vērtība I ir analoga ķermeņa masai un tiek saukta par inerces momentu. Rakstīto formulu sauc par momentu vienādojumu. No tā leņķisko paātrinājumu var aprēķināt šādi:
α¯=M¯/ I
Tā kā I ir skalārs, α¯ vienmēr ir vērsta uz spēka momentu M¯. M¯ virzienu nosaka labās rokas noteikums vai karkasa noteikums. Vektori M¯ un α¯ ir perpendikulāri rotācijas plaknei. Jo lielāks ir ķermeņa inerces moments, jo mazāka ir leņķiskā paātrinājuma vērtība, ko fiksētais moments M¯ var radīt sistēmai.
Kinemātiskie vienādojumi
Lai saprastu leņķiskā paātrinājuma nozīmīgo lomu griešanās kustības raksturošanā, pierakstīsim formulas, kas savieno iepriekš pētītos kinemātiskos lielumus.
Vienmērīgi paātrinātas rotācijas gadījumā ir spēkā šādas matemātiskās attiecības:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
Pirmā formula parāda, ka leņķiskaisātrums palielināsies laikā saskaņā ar lineāru likumu. Otrā izteiksme ļauj aprēķināt leņķi, par kādu ķermenis pagriezīsies zināmā laikā t. Funkcijas θ(t) grafiks ir parabola. Abos gadījumos leņķiskais paātrinājums ir nemainīgs.
Ja mēs izmantojam raksta sākumā doto attiecību formulu starp L un θ, mēs varam iegūt α izteiksmi lineārā paātrinājuma izteiksmē a:
α=a / r
Ja α ir nemainīgs, tad, palielinoties attālumam no rotācijas ass r, lineārais paātrinājums a proporcionāli palielināsies. Tāpēc rotācijai tiek izmantoti leņķiskie raksturlielumi, atšķirībā no lineārajiem, tie nemainās, palielinoties vai samazinoties r.
Problēmas piemērs
Metāla vārpsta, griežoties ar frekvenci 2000 apgriezienu sekundē, sāka palēnināties un pilnībā apstājās pēc 1 minūtes. Jāaprēķina ar kādu leņķisko paātrinājumu notika vārpstas palēninājuma process. Jums vajadzētu arī aprēķināt apgriezienu skaitu, ko vārpsta veica pirms apstāšanās.
Rotācijas palēnināšanas procesu apraksta ar šādu izteiksmi:
ω=ω0- α × t
Sākotnējais leņķiskais ātrums ω0 tiek noteikts pēc griešanās frekvences f šādi:
ω0=2 × pi × f
Tā kā mēs zinām palēninājuma laiku, mēs iegūstam paātrinājuma vērtību α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Šis skaitlis ir jāuzņem ar mīnusa zīmi,jo mēs runājam par sistēmas palēnināšanu, nevis tās paātrināšanu.
Lai noteiktu apgriezienu skaitu, ko vārpsta veiks bremzēšanas laikā, izmantojiet izteiksmi:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376 806 rad.
Iegūto griešanās leņķa θ vērtību radiānos vienkārši pārvērš vārpstas veikto apgriezienu skaitā, pirms tā pilnībā apstājas, izmantojot vienkāršu dalīšanu ar 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60 001 pagrieziens.
Tādējādi mēs saņēmām visas atbildes uz problēmas jautājumiem: α=-209, 33 rad/s2, n=60 001 apgriezieni.
