Spriežot pēc pieprasījuma "Fermā teorēma - īss pierādījums" popularitātes, šī matemātiskā problēma patiešām interesē daudzus. Šo teorēmu 1637. gadā pirmo reizi noteica Pjērs de Fermā uz Aritmētikas kopijas malas, kur viņš apgalvoja, ka viņam ir pārāk liels risinājums, lai ietilptu malā.
Pirmais veiksmīgais pierādījums tika publicēts 1995. gadā - tas bija pilnīgs Endrjū Vilsa Fermā teorēmas pierādījums. Tas tika raksturots kā "satriecošs progress", un 2016. gadā Vilss saņēma Ābela balvu. Lai gan Fermā teorēmas pierādījums tika aprakstīts salīdzinoši īsi, tas pierādīja arī lielu daļu modularitātes teorēmas un pavēra jaunas pieejas daudzām citām problēmām un efektīvām metodēm modularitātes pacelšanai. Šie sasniegumi ir virzījuši matemātiku 100 gadus uz priekšu. Fermā mazās teorēmas pierādījums šodien navir kaut kas neparasts.
Neatrisinātā problēma stimulēja algebrisko skaitļu teorijas attīstību 19. gadsimtā un modularitātes teorēmas pierādījuma meklējumus 20. gadsimtā. Šī ir viena no ievērojamākajām teorēmām matemātikas vēsturē, un līdz pilnīgam Fermā pēdējās teorēmas dalījuma pierādījumam tā bija Ginesa rekordu grāmatā kā "visgrūtākā matemātiskā problēma", kuras viena no iezīmēm ir tajā ir vislielākais neveiksmīgo pierādījumu skaits.
Vēstures fons
Pitagora vienādojumam x2 + y2=z2 ir bezgalīgs skaits pozitīvu veselu skaitļu atrisinājumi x, y un z. Šie risinājumi ir pazīstami kā Pitagora trīsvienības. Ap 1637. gadu Fermā uz grāmatas malas rakstīja, ka vispārīgākajam vienādojumam a + b =cnav atrisinājumi naturālajos skaitļos, ja n ir vesels skaitlis, kas lielāks par 2. Lai gan pats Fermā apgalvoja, ka viņam ir problēmas risinājums, viņš neatstāja nekādu informāciju par tā pierādījumu. Fermā teorēmas elementārais pierādījums, ko apgalvoja tās radītājs, drīzāk bija viņa lepns izgudrojums. Lielā franču matemātiķa grāmata tika atklāta 30 gadus pēc viņa nāves. Šis vienādojums, ko sauc par Fermā pēdējo teorēmu, matemātikā palika neatrisināts trīsarpus gadsimtus.
Teorēma galu galā kļuva par vienu no ievērojamākajām neatrisinātajām matemātikas problēmām. Mēģinājumi to pierādīt izraisīja ievērojamu skaitļu teorijas attīstību un līdz ar toLaika gaitā Fermā pēdējā teorēma kļuva pazīstama kā neatrisināta matemātikas problēma.
Īsa pierādījumu vēsture
Ja n=4, kā to pierādīja pats Fermā, pietiek, lai pierādītu teorēmu indeksiem n, kas ir pirmskaitļi. Nākamo divu gadsimtu laikā (1637-1839) minējums tika pierādīts tikai attiecībā uz pirmskaitļiem 3, 5 un 7, lai gan Sofija Žermena atjaunināja un pierādīja pieeju, kas attiecās uz visu pirmskaitļu klasi. 19. gadsimta vidū Ernsts Kummers to paplašināja un pierādīja teorēmu visiem regulārajiem pirmskaitļiem, saskaņā ar kuriem neregulārie pirmskaitļi tika analizēti atsevišķi. Pamatojoties uz Kummera darbu un izmantojot sarežģītus datorpētījumus, citi matemātiķi varēja paplašināt teorēmas risinājumu ar mērķi aptvert visus galvenos eksponentus līdz četriem miljoniem, taču pierādījums visiem eksponentiem joprojām nebija pieejams (tas nozīmē, ka matemātiķi parasti teorēmas atrisinājumu uzskata par neiespējamu, ārkārtīgi sarežģītu vai nesasniedzamu ar pašreizējām zināšanām).
Šimuras un Tanijamas darbs
1955. gadā japāņu matemātiķiem Goro Šimura un Jutaka Tanijama radās aizdomas, ka pastāv saikne starp eliptiskām līknēm un moduļu formām, divām ļoti atšķirīgām matemātikas nozarēm. Tolaik pazīstams kā Taniyama-Shimura-Weyl minējums un (galu galā) kā modularitātes teorēma, tā pastāvēja pati par sevi, bez acīmredzamas saistības ar Fermā pēdējo teorēmu. Tā pati par sevi tika plaši uzskatīta par svarīgu matemātisko teorēmu, taču tika uzskatīts, ka to (tāpat kā Fermā teorēmu) nav iespējams pierādīt. Pie tāTajā pašā laikā Fermā pēdējās teorēmas pierādīšana (dalot un pielietojot sarežģītas matemātiskās formulas) tika veikta tikai pusgadsimtu vēlāk.
1984. gadā Gerhards Frejs pamanīja acīmredzamu saistību starp šīm divām iepriekš nesaistītajām un neatrisinātajām problēmām. Pilnīgu apstiprinājumu tam, ka abas teorēmas ir cieši saistītas, 1986. gadā publicēja Kens Ribets, kurš balstījās uz daļēju Žana Pjēra Serras pierādījumu, kurš pierādīja visu, izņemot vienu daļu, kas pazīstama kā "epsilona hipotēze". Vienkārši sakot, šie Freja, Serras un Ribes darbi parādīja, ka, ja modularitātes teorēmu varētu pierādīt, vismaz puslīdz eliptisku līkņu klasei, tad agrāk vai vēlāk tiks atklāts arī Fermā pēdējās teorēmas pierādījums. Jebkuru risinājumu, kas var būt pretrunā ar Fermā pēdējo teorēmu, var izmantot arī, lai pretrunā modularitātes teorēmai. Tāpēc, ja modularitātes teorēma izrādījās patiesa, tad pēc definīcijas nevar būt risinājums, kas būtu pretrunā ar Fermā pēdējo teorēmu, kas nozīmē, ka to vajadzēja pierādīt drīz.
Lai gan abas teorēmas bija smagas matemātikas problēmas, kuras uzskatīja par neatrisināmām, abu japāņu darbs bija pirmais ierosinājums, kā Fermā pēdējo teorēmu varētu paplašināt un pierādīt visiem skaitļiem, ne tikai dažiem. Pētniekiem, kuri izvēlējās pētījuma tēmu, svarīgs bija fakts, ka atšķirībā no Fermā pēdējās teorēmas modularitātes teorēma bija galvenā aktīvā pētniecības joma, kuraitika izstrādātas liecības, nevis tikai vēsturiskas dīvainības, tāpēc viņas darbam pavadītais laiks varētu būt attaisnojams no profesionālā viedokļa. Tomēr vispārēja vienprātība bija tāda, ka Taniyama-Shimura minējuma atrisināšana izrādījās nepiemērota.
Saimniecības pēdējā teorēma: Vilsa pierādījums
Uzzinot, ka Rībeta ir pierādījusi Freija teorijas pareizumu, angļu matemātiķis Endrjū Vilss, kurš kopš bērnības ir interesējies par Fermā pēdējo teorēmu un kuram ir pieredze darbā ar eliptiskām līknēm un blakus esošajiem domēniem, nolēma mēģināt pierādīt Taniyama-Shimura. Minējums kā veids, kā pierādīt Fermā pēdējo teorēmu. 1993. gadā, sešus gadus pēc sava mērķa izziņošanas, slepus strādājot pie teorēmas risināšanas problēmas, Vilsam izdevās pierādīt saistītu minējumu, kas savukārt palīdzētu viņam pierādīt Fermā pēdējo teorēmu. Vilsa dokumentam bija milzīgs apjoms un apjoms.
Salīdzinošās pārskatīšanas laikā viņa sākotnējā darba vienā daļā tika atklāts trūkums, un, lai kopīgi atrisinātu teorēmu, bija nepieciešams vēl viens gads sadarbībā ar Ričardu Teiloru. Rezultātā Vilsa galīgais Fermā pēdējās teorēmas pierādījums nebija ilgi jāgaida. 1995. gadā tas tika publicēts daudz mazākā mērogā nekā iepriekšējais Vilsa matemātiskais darbs, ilustrējot, ka viņš nav kļūdījies savos iepriekšējos secinājumos par teorēmas pierādīšanas iespēju. Vilsa sasniegums tika plaši reklamēts populārajā presē un popularizēts grāmatās un televīzijas programmās. Atlikušās Taniyama-Shimura-Weil minējuma daļas, kas tagad ir pierādītas unpazīstami kā modularitātes teorēma, pēc tam tos pierādīja citi matemātiķi, kas balstījās uz Vilsa darbu laikā no 1996. līdz 2001. gadam. Par sasniegumiem Vilss ir pagodināts un saņēmis daudzas balvas, tostarp 2016. gada Ābela balvu.
Vilsa pierādījums Fermā pēdējai teorēmai ir īpašs eliptisku līkņu modularitātes teorēmas risināšanas gadījums. Tomēr šis ir slavenākais tik liela mēroga matemātiskas darbības gadījums. Līdz ar Ribes teorēmas atrisināšanu britu matemātiķis ieguva arī Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu. Mūsdienu matemātiķi gandrīz vispārēji uzskatīja Fermā pēdējo teorēmu un modularitātes teorēmu par nepierādāmu, taču Endrjū Vilss spēja pierādīt zinātniskajai pasaulei, ka pat eksperti var kļūdīties.
Wyles pirmo reizi paziņoja par savu atklājumu trešdien, 1993. gada 23. jūnijā Kembridžas lekcijā ar nosaukumu "Modulārās formas, eliptiskās līknes un Galuā attēlojumi". Tomēr 1993. gada septembrī tika konstatēts, ka viņa aprēķinos ir kļūda. Gadu vēlāk, 1994. gada 19. septembrī, tajā, ko viņš sauca par "savas darba dzīves vissvarīgāko brīdi", Vilzs paklupa uz atklāsmi, kas ļāva viņam noteikt problēmas risinājumu tiktāl, ka tas varētu apmierināt matemātiskos. kopiena.
Darba apraksts
Fermā teorēmas pierādījums, ko izstrādājis Endrjū Vilzs, izmanto daudzas metodes no algebriskās ģeometrijas un skaitļu teorijas, un tam ir daudz atzaru.matemātikas jomas. Viņš izmanto arī mūsdienu algebriskās ģeometrijas standarta konstrukcijas, piemēram, shēmu kategoriju un Ivasavas teoriju, kā arī citas 20. gadsimta metodes, kas nebija pieejamas Pjēram de Fermā.
Divi raksti, kas satur pierādījumus, ir 129 lappuses gari un tika rakstīti septiņu gadu laikā. Džons Koutss raksturoja šo atklājumu kā vienu no lielākajiem skaitļu teorijas sasniegumiem, un Džons Konvejs to nosauca par lielāko 20. gadsimta matemātisko sasniegumu. Villss, lai pierādītu Fermā pēdējo teorēmu, pierādot modularitātes teorēmu īpašam gadījumam, kad tiek veidotas dalītas eliptiskas līknes, izstrādāja spēcīgas metodes modularitātes pacelšanai un atklāja jaunas pieejas daudzām citām problēmām. Par Fermā pēdējās teorēmas atrisināšanu viņš tika iecelts par bruņinieku un saņēma citus apbalvojumus. Kad kļuva zināms, ka Villss ir ieguvis Ābela balvu, Norvēģijas Zinātņu akadēmija viņa sasniegumu raksturoja kā "apburošu un elementāru Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu".
Kā tas bija
Viens no cilvēkiem, kas pārskatīja Vilsa oriģinālo manuskriptu ar teorēmas risinājumu, bija Niks Kats. Pārskatīšanas laikā viņš britam uzdeva vairākus precizējošus jautājumus, kas lika Vilsam atzīt, ka viņa darbā nepārprotami ir nepilnības. Vienā kritiskā pierādījuma daļā tika pieļauta kļūda, kas sniedza aplēsi noteiktai grupai: Eilera sistēma, ko izmantoja Kolyvagin un Flach metodes paplašināšanai, bija nepilnīga. Tomēr kļūda nepadarīja viņa darbu bezjēdzīgu - katrs Villsa darbs bija ļoti nozīmīgs un novatorisks pats par sevi, tāpat kā daudzi citi.izstrādnes un metodes, ko viņš radīja sava darba gaitā un kas skāra tikai vienu manuskripta daļu. Tomēr šim oriģinālajam darbam, kas publicēts 1993. gadā, īsti nebija Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu.
Vailss pavadīja gandrīz gadu, mēģinot no jauna atklāt teorēmas risinājumu, vispirms vienatnē un pēc tam sadarbībā ar savu bijušo studentu Ričardu Teiloru, taču šķita, ka viss bija veltīgi. Līdz 1993. gada beigām izplatījās baumas, ka Vilsa pierādījumi testēšanā ir bijuši neveiksmīgi, taču nebija zināms, cik nopietna bija šī neveiksme. Matemātiķi sāka izdarīt spiedienu uz Vilsu, lai viņš atklātu viņa darba detaļas neatkarīgi no tā, vai tas ir paveikts vai nē, lai plašāka matemātiķu kopiena varētu izpētīt un izmantot visu, ko viņš spēja sasniegt. Tā vietā, lai ātri labotu savu kļūdu, Vilzs Fermā pēdējās teorēmas pierādīšanā atklāja tikai papildu sarežģītus aspektus un beidzot saprata, cik tas bija grūti.
Wyles norāda, ka 1994. gada 19. septembra rītā viņš bija uz padoties un padoties robežas un gandrīz samierinājies ar neveiksmi. Viņš bija gatavs publicēt savus nepabeigtos darbus, lai citi varētu to balstīt un atrast, kur viņš kļūdījies. Angļu matemātiķis nolēma dot sev pēdējo iespēju un pēdējo reizi analizēja teorēmu, lai mēģinātu saprast galvenos iemeslus, kāpēc viņa pieeja nedarbojās, kad pēkšņi saprata, ka Kolyvagin-Flac pieeja nedarbosies, kamēr viņšiekļaus arī Ivasavas teoriju pierādīšanas procesā, padarot to par labu.
6. oktobrī Villss lūdza trīs kolēģiem (tostarp F altinam) pārskatīt viņa jauno darbu, un 1994. gada 24. oktobrī viņš iesniedza divus manuskriptus - "Modulārās eliptiskās līknes un Fermā pēdējā teorēma" un "Teorētiskās īpašības dažu Heke algebru gredzens", otro Villss rakstīja kopā ar Teilori un pierādīja, ka ir izpildīti noteikti nosacījumi, lai attaisnotu izlaboto soli galvenajā rakstā.
Šie divi raksti tika pārskatīti un visbeidzot publicēti kā pilna teksta izdevums 1995. gada maijā Annals of Mathematics. Endrjū jaunie aprēķini tika plaši analizēti un galu galā pieņemti zinātnieku aprindās. Šajos rakstos tika izveidota modularitātes teorēma puslīdzināmām eliptiskām līknēm - pēdējais solis ceļā uz Fermā pēdējās teorēmas pierādīšanu, 358 gadus pēc tās izveides.
Lielās problēmas vēsture
Šīs teorēmas atrisināšana daudzus gadsimtus tika uzskatīta par lielāko matemātikas problēmu. 1816. un 1850. gadā Francijas Zinātņu akadēmija piedāvāja balvu par Fermā pēdējās teorēmas vispārīgu pierādījumu. 1857. gadā akadēmija Kummeram par ideālo skaitļu izpēti piešķīra 3000 franku un zelta medaļu, lai gan viņš uz balvu nepretendēja. Vēl vienu balvu viņam piedāvāja 1883. gadā Briseles akadēmija.
Wolfskell balva
1908. gadā vācu rūpnieks un matemātiķis amatieris Pols Volfskels novēlēja 100 000 zelta marku (tam laikam liela summa)Getingenes Zinātņu akadēmija, lai šī nauda kļūtu par balvu par pilnīgu Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu. 1908. gada 27. jūnijā Akadēmija publicēja deviņus apbalvošanas noteikumus. Cita starpā šie noteikumi paredzēja, ka pierādījums jāpublicē recenzējamā žurnālā. Balvu bija paredzēts piešķirt tikai divus gadus pēc publicēšanas. Konkursam bija jābeidzas 2007. gada 13. septembrī - aptuveni gadsimtu pēc tā sākuma. 1997. gada 27. jūnijā Vilss saņēma Volfšela naudas balvu un pēc tam vēl 50 000 dolāru. 2016. gada martā viņš saņēma 600 000 eiro no Norvēģijas valdības kā daļu no Ābela balvas par "apbrīnojamu pierādījumu Fermā pēdējai teorēmai, izmantojot modularitātes pieņēmumu par puslīdzināmām eliptiskām līknēm, atklājot jaunu ēru skaitļu teorijā". Tas bija pazemīgā angļa pasaules triumfs.
Pirms Vilsa pierādījuma Fermā teorēma, kā minēts iepriekš, gadsimtiem ilgi tika uzskatīta par absolūti neatrisināmu. Volfskela komitejai dažādos laikos tika iesniegti tūkstošiem nepareizu pierādījumu, kuru apjoms bija aptuveni 10 pēdas (3 metri) korespondences. Tikai pirmajā balvas pastāvēšanas gadā (1907-1908) tika iesniegts 621 pieteikums, kas pretendē uz teorēmas atrisināšanu, lai gan līdz 20. gadsimta 70. gadiem to skaits bija samazinājies līdz aptuveni 3-4 pieteikumiem mēnesī. Saskaņā ar Volfšela recenzenta F. Šlihtinga teikto, lielākā daļa pierādījumu balstījās uz skolās mācītām elementārām metodēm un bieži tika pasniegti kā "cilvēki ar tehnisku pieredzi, bet neveiksmīgu karjeru". Pēc matemātikas vēsturnieka Hovarda Avesa domām, pēdējaisFermā teorēma ir uzstādījusi sava veida rekordu – šī ir teorēma ar lielāko nepareizo pierādījumu skaitu.
Saimniecības laurus plūca japāņi
Kā minēts iepriekš, ap 1955. gadu japāņu matemātiķi Goro Šimura un Jutaka Tanija atklāja iespējamu saikni starp divām šķietami pilnīgi atšķirīgām matemātikas nozarēm – eliptiskām līknēm un moduļu formām. Rezultātā iegūtā modularitātes teorēma (toreiz pazīstama kā Taniyama-Shimura minējums) nosaka, ka katra eliptiskā līkne ir modulāra, kas nozīmē, ka to var saistīt ar unikālu moduļu formu.
Sākotnēji šī teorija tika noraidīta kā maz ticama vai ļoti spekulatīva, taču tā tika uztverta nopietnāk, kad skaitļu teorētiķis Andrē Veils atrada pierādījumus, kas apstiprina japāņu secinājumus. Rezultātā hipotēzi bieži dēvē par Taniyama-Shimura-Weil hipotēzi. Viņa kļuva par daļu no Langlands programmas, kas ir saraksts ar svarīgām hipotēzēm, kuras nākotnē jāpierāda.
Pat pēc nopietnas pārbaudes mūsdienu matemātiķi minējumu ir atzinuši par ārkārtīgi sarežģītu vai, iespējams, nepieejamu pierādījumu. Tagad šī konkrētā teorēma gaida savu Endrjū Vilsu, kurš ar savu risinājumu varētu pārsteigt visu pasauli.
Fermata teorēma: Perelmana pierādījums
Neskatoties uz populāro mītu, krievu matemātiķim Grigorijam Perelmanam, neskatoties uz savu ģenialitāti, nav nekāda sakara ar Fermā teorēmu. Kas tomēr nekādā veidā to nemazina.daudzus ieguldījumus zinātnieku aprindās.
