Svarīgs jēdziens matemātikā ir funkcija. Ar tās palīdzību jūs varat vizualizēt daudzus dabā notiekošos procesus, atspoguļot attiecības starp noteiktiem lielumiem, izmantojot formulas, tabulas un attēlus grafikā. Piemērs ir šķidruma slāņa spiediena atkarība uz ķermeni no iegremdēšanas dziļuma, paātrinājuma - no noteikta spēka iedarbības uz objektu, temperatūras paaugstināšanās - no pārraidītās enerģijas un daudziem citiem procesiem. Funkcijas izpēte ietver grafika konstruēšanu, tā īpašību, apjoma un vērtību, pieauguma un samazinājuma intervālu noskaidrošanu. Svarīgs punkts šajā procesā ir galējo punktu atrašana. Par to, kā to izdarīt pareizi, un saruna turpināsies.
Par pašu koncepciju konkrētā piemērā
Medicīnā funkciju grafika uzzīmēšana var pastāstīt par slimības gaitu pacienta organismā, vizuāli atspoguļojot viņa stāvokli. Pieņemsim, ka laiks dienās ir attēlots pa OX asi, bet cilvēka ķermeņa temperatūra ir attēlota pa OY asi. Attēlā skaidri parādīts, kā šis rādītājs strauji pieaug, untad tas nokrīt. Tāpat ir viegli pamanīt atsevišķus punktus, kas atspoguļo brīžus, kad funkcija, iepriekš palielinājusies, sāk samazināties un otrādi. Tie ir galējie punkti, tas ir, kritiskās vērtības (maksimālā un minimālā) šajā pacienta temperatūras gadījumā, pēc kurām notiek izmaiņas viņa stāvoklī.
Slīpuma leņķis
Pēc attēla ir viegli noteikt, kā mainās funkcijas atvasinājums. Ja grafika taisnās līnijas laika gaitā iet uz augšu, tad tas ir pozitīvs. Un jo stāvāki tie ir, jo lielāka ir atvasinājuma vērtība, palielinoties slīpuma leņķim. Samazinājuma periodos šī vērtība iegūst negatīvas vērtības, ekstremālos punktos pārvēršoties par nulli, un pēdējā gadījumā atvasinājuma grafiks tiek uzzīmēts paralēli OX asij.
Jebkurš cits process ir jāapstrādā tāpat. Bet vislabākais šajā jēdzienā var pastāstīt par dažādu ķermeņu kustību, kas skaidri parādīta diagrammās.
Kustība
Pieņemsim, ka kāds objekts kustas taisnā līnijā, vienmērīgi iegūstot ātrumu. Šajā periodā ķermeņa koordinātu izmaiņas grafiski attēlo noteiktu līkni, ko matemātiķis nosauktu par parabolas atzaru. Tajā pašā laikā funkcija nepārtraukti palielinās, jo koordinātu indikatori mainās ātrāk un ātrāk ar katru sekundi. Ātruma grafiks parāda atvasinājuma uzvedību, kura vērtība arī palielinās. Tas nozīmē, ka kustībai nav kritisku punktu.
Tas būtu turpinājies bezgalīgi. Bet, ja ķermenis pēkšņi nolemj piebremzēt, apstājieties un sāciet kustēties citāvirziens? Šajā gadījumā koordinātu rādītāji sāks samazināties. Un funkcija nodos kritisko vērtību un pāries no pieaugošas uz samazināšanos.
Šajā piemērā atkal var saprast, ka funkciju grafika ekstrēmi punkti parādās brīžos, kad tas vairs nav vienmuļš.
Atvasinājuma fiziskā nozīme
Iepriekš aprakstītais skaidri parādīja, ka atvasinājums būtībā ir funkcijas izmaiņu ātrums. Šis precizējums satur tā fizisko nozīmi. Ekstrēmi punkti ir diagrammas kritiskās zonas. Tos iespējams noskaidrot un atklāt, aprēķinot atvasinājuma vērtību, kas izrādās vienāda ar nulli.
Ir vēl viena zīme, kas ir pietiekams nosacījums ekstrēmam. Atvasinājums šādās locījuma vietās maina zīmi: no "+" uz "-" maksimuma apgabalā un no "-" uz "+" minimuma apgabalā.
Kustība gravitācijas ietekmē
Iedomāsimies citu situāciju. Bērni, spēlējot bumbu, meta to tā, ka tā sāka kustēties leņķī pret horizontu. Sākotnējā brīdī šī objekta ātrums bija vislielākais, taču gravitācijas ietekmē tas sāka samazināties un ar katru sekundi par to pašu vērtību, kas vienāds ar aptuveni 9,8 m/s2. Šī ir paātrinājuma vērtība, kas notiek zemes gravitācijas ietekmē brīvā kritiena laikā. Uz Mēness tas būtu apmēram sešas reizes mazāks.
Grafiks, kas apraksta ķermeņa kustību, ir parabola ar zariem,uz leju. Kā atrast ekstremālos punktus? Šajā gadījumā šī ir funkcijas virsotne, kur ķermeņa (bumbiņas) ātrums iegūst nulles vērtību. Funkcijas atvasinājums kļūst par nulli. Šajā gadījumā virziens un līdz ar to arī ātruma vērtība mainās uz pretējo. Ķermenis ar katru sekundi lido uz leju arvien ātrāk un ātrāk un paātrina tikpat daudz - 9,8 m/s2.
Otrais atvasinājums
Iepriekšējā gadījumā ātruma moduļa grafiks ir uzzīmēts kā taisna līnija. Šī līnija vispirms ir vērsta uz leju, jo šī daudzuma vērtība pastāvīgi samazinās. Sasniedzot nulli vienā no laika punktiem, šīs vērtības rādītāji sāk pieaugt, un ātruma moduļa grafiskā attēlojuma virziens krasi mainās. Līnija tagad ir vērsta uz augšu.
Ātrumam, kas ir koordinātas laika atvasinājums, ir arī kritisks punkts. Šajā reģionā funkcija, sākotnēji samazinoties, sāk palielināties. Šī ir funkcijas atvasinājuma galējā punkta vieta. Šajā gadījumā pieskares slīpums kļūst par nulli. Un paātrinājums, kas ir otrais koordinātas atvasinājums attiecībā pret laiku, maina zīmi no “-” uz “+”. Un kustība no vienmērīgi lēnas kļūst vienmērīgi paātrināta.
Paātrinājuma diagramma
Tagad apsveriet četrus attēlus. Katrs no tiem parāda tāda fiziskā lieluma kā paātrinājuma izmaiņu grafiku laika gaitā. "A" gadījumā tā vērtība paliek pozitīva un nemainīga. Tas nozīmē, ka ķermeņa ātrums, tāpat kā tā koordināte, nepārtraukti palielinās. Jaiedomājieties, ka objekts šādā veidā pārvietosies bezgalīgi ilgu laiku, funkcija, kas atspoguļo koordinātas atkarību no laika, izrādīsies nepārtraukti pieaugoša. No tā izriet, ka tai nav kritisku reģionu. Atvasinājuma grafikā nav arī ekstrēmu punktu, tas ir, lineāri mainīga ātruma.
Tas pats attiecas uz gadījumu "B" ar pozitīvu un pastāvīgi pieaugošu paātrinājumu. Tiesa, koordinātu un ātruma diagrammas šeit būs nedaudz sarežģītākas.
Kad paātrinājums mēdz būt līdz nullei
Apskatot attēlu "B", var redzēt pavisam citu attēlu, kas raksturo ķermeņa kustību. Tā ātrums tiks grafiski attēlots kā parabola ar zariem, kas vērsti uz leju. Ja turpināsim paātrinājuma izmaiņu aprakstošo līniju, līdz tā krustojas ar OX asi, un tālāk, tad varam iedomāties, ka līdz šai kritiskajai vērtībai, kur paātrinājums izrādās vienāds ar nulli, objekta ātrums palielināsies. arvien lēnāk. Koordinātu funkcijas atvasinājuma galējais punkts būs tieši parabolas augšpusē, pēc kura ķermenis radikāli mainīs kustības raksturu un sāks kustēties otrā virzienā.
Pēdējā gadījumā "G" kustības raksturu nevar precīzi noteikt. Šeit mēs zinām tikai to, ka kādu aplūkojamo periodu nav paātrinājuma. Tas nozīmē, ka objekts var palikt vietā vai kustība notiek ar nemainīgu ātrumu.
Koordinātu pievienošanas uzdevums
Pārisimies pie uzdevumiem, kas bieži sastopami algebras apguvē skolā un tiek piedāvātisagatavošanās eksāmenam. Zemāk esošajā attēlā parādīts funkcijas grafiks. Ir jāaprēķina ekstremālo punktu summa.
Darīsim to y asij, nosakot koordinātas kritiskajiem apgabaliem, kur tiek novērotas funkcijas raksturlielumu izmaiņas. Vienkārši sakot, mēs atrodam vērtības gar x asi lieces punktiem un pēc tam turpinām pievienot iegūtos vārdus. Saskaņā ar grafiku ir acīmredzams, ka tiem ir šādas vērtības: -8; -7; -5; -3; -2; viens; 3. Tas ir -21, kas ir atbilde.
Optimāls risinājums
Nav nepieciešams skaidrot, cik liela nozīme praktisko uzdevumu veikšanā var būt optimālā risinājuma izvēlei. Galu galā ir daudz veidu, kā sasniegt mērķi, un labākā izeja, kā likums, ir tikai viena. Tas ir ārkārtīgi nepieciešams, piemēram, projektējot kuģus, kosmosa kuģus un lidmašīnas, arhitektūras struktūras, lai atrastu šo cilvēka radīto objektu optimālo formu.
Transportlīdzekļu ātrums lielā mērā ir atkarīgs no kompetentas pretestības samazināšanas, kas rodas, pārvietojoties pa ūdeni un gaisu, no pārslodzes, kas rodas gravitācijas spēku un daudzu citu rādītāju ietekmē. Kuģim jūrā ir vajadzīgas tādas īpašības kā stabilitāte vētras laikā, upes kuģim svarīga ir minimālā iegrime. Aprēķinot optimālo dizainu, grafikā esošie ekstremālie punkti var vizuāli sniegt priekšstatu par labāko risinājumu sarežģītai problēmai. Šāda veida uzdevumi bieži irtiek risināti ekonomikā, ekonomikas jomās, daudzās citās dzīves situācijās.
No senvēstures
Ārkārtas problēmas nodarbināja pat senos gudros. Grieķu zinātnieki ar matemātisko aprēķinu palīdzību veiksmīgi atklāja laukumu un tilpumu noslēpumu. Viņi bija pirmie, kas saprata, ka dažādu figūru plaknē ar vienādu perimetru aplim vienmēr ir lielākais laukums. Līdzīgi bumba ir apveltīta ar maksimālo tilpumu starp citiem objektiem telpā ar tādu pašu virsmas laukumu. Šādu problēmu risināšanai nodevās tādas slavenas personības kā Arhimēds, Eiklīds, Aristotelis, Apollonijs. Ļoti labi ekstrēmu punktu atrašana izdevās Heronam, kurš, ķēries pie aprēķiniem, uzbūvēja ģeniālas ierīces. To skaitā bija automātiskās mašīnas, kas pārvietojas ar tvaiku, sūkņi un turbīnas, kas darbojas pēc tāda paša principa.
Kartāgas celtniecība
Ir leģenda, kuras sižeta pamatā ir vienas no ekstrēmo problēmu risināšana. Biznesa pieejas rezultāts, ko demonstrēja feniķiešu princese, kas vērsās pēc palīdzības pie gudrajiem, bija Kartāgas celtniecība. Šīs senās un slavenās pilsētas zemes gabalu Dido (tāds bija valdnieka vārds) uzdāvināja vienas Āfrikas cilšu vadonis. Piešķīruma platība viņam sākumā nešķita ļoti liela, jo saskaņā ar līgumu tā bija jāpārklāj ar vērša ādu. Bet princese lika saviem karavīriem to sagriezt plānās sloksnēs un izgatavot no tām jostu. Tas izrādījās tik garš, ka aptvēra vietni,kur ietilpst visa pilsēta.
Aprēķinu pirmsākumi
Un tagad pāriesim no seniem laikiem uz vēlāku laikmetu. Interesanti, ka 17. gadsimtā Kepleru izprast matemātiskās analīzes pamatus pamudināja tikšanās ar vīna pārdevēju. Tirgotājs tik labi pārzināja savu profesiju, ka varēja viegli noteikt dzēriena tilpumu mucā, vienkārši nolaižot tajā dzelzs žņaugu. Pārdomājot šādu ziņkāri, slavenajam zinātniekam izdevās atrisināt šo dilemmu sev. Izrādās, ka to laiku prasmīgie mucinieki iemanījās izgatavot traukus tā, lai noteiktā augstumā un stiprinājuma gredzenu apkārtmēra rādiusā tiem būtu maksimālā ietilpība.
Tas Kepleram bija iemesls turpmākām pārdomām. Pie optimālā risinājuma Bočari nonāca ilgi meklējot, kļūdoties un jauniem mēģinājumiem, nododot savu pieredzi no paaudzes paaudzē. Bet Keplers vēlējās paātrināt procesu un iemācīties to izdarīt īsā laikā, izmantojot matemātiskos aprēķinus. Visi viņa sasniegumi, ko pārtvēra kolēģi, pārvērtās par tagad zināmajām Fermā un Ņūtona - Leibnica teorēmām.
Maksimālā laukuma problēma
Iedomāsimies, ka mums ir stieple, kuras garums ir 50 cm. Kā no tā izveidot taisnstūri ar lielāko laukumu?
Sākot lēmumu, jāvadās no vienkāršām un zināmām patiesībām. Skaidrs, ka mūsu figūras perimetrs būs 50 cm. Tā arī sastāv no divreiz gariem abām pusēm. Tas nozīmē, ka, apzīmējot vienu no tiem ar "X", otru var izteikt kā (25 - X).
No šejienes mēs saņemamlaukums, kas vienāds ar X (25 - X). Šo izteiksmi var attēlot kā funkciju, kas iegūst daudzas vērtības. Uzdevuma risināšanai nepieciešams atrast to maksimumu, kas nozīmē, ka ir jānoskaidro ekstremālie punkti.
Lai to izdarītu, mēs atrodam pirmo atvasinājumu un pielīdzinām to nullei. Rezultāts ir vienkāršs vienādojums: 25 - 2X=0.
No tā mēs uzzinām, ka viena no malām X=12, 5.
Tāpēc cits: 25 – 12, 5=12, 5.
Izrādās, ka problēmas risinājums būs kvadrāts ar malu 12,5 cm.
Kā atrast maksimālo ātrumu
Apskatīsim vēl vienu piemēru. Iedomājieties, ka ir ķermenis, kura taisnvirziena kustību apraksta vienādojums S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, kur attālums nobrauktais ir izteikts metros, un laiks ir sekundēs. Ir nepieciešams atrast maksimālo ātrumu. Kā to izdarīt? Lejupielādētie atrodiet ātrumu, tas ir, pirmo atvasinājumu.
Iegūstam vienādojumu: V=- 3t2 + 18t – 24. Tagad, lai atrisinātu uzdevumu, atkal jāatrod galējības punkti. Tas jādara tāpat kā iepriekšējā uzdevumā. Atrodiet pirmo ātruma atvasinājumu un pielīdziniet to nullei.
Iegūstam: - 6t + 18=0. Tādējādi t=3 s. Tas ir laiks, kad ķermeņa ātrums iegūst kritisku vērtību. Iegūtos datus aizstājam ātruma vienādojumā un iegūstam: V=3 m/s.
Bet kā saprast, ka tas ir tieši maksimālais ātrums, jo funkcijas kritiskie punkti var būt tās maksimālās vai minimālās vērtības? Lai pārbaudītu, jums jāatrod sekundeātruma atvasinājums. To izsaka kā skaitli 6 ar mīnusa zīmi. Tas nozīmē, ka atrastais punkts ir maksimālais. Un otrā atvasinājuma pozitīvas vērtības gadījumā būtu minimums. Tātad atrastais risinājums izrādījās pareizs.
Piemērā dotie uzdevumi ir tikai daļa no tiem, kurus var atrisināt, spējot atrast funkcijas galējos punktus. Patiesībā ir daudz vairāk. Un šādas zināšanas paver cilvēka civilizācijai neierobežotas iespējas.
