Funkciju un to grafiku izpēte ir tēma, kurai vidusskolas mācību programmas ietvaros tiek pievērsta īpaša uzmanība. Matemātikas eksāmena profila līmenī ir iekļauti daži matemātiskās analīzes pamati – diferenciācija. Dažiem skolēniem ir problēmas ar šo tēmu, jo viņi sajauc funkcijas un atvasinājuma grafikus, kā arī aizmirst algoritmus. Šajā rakstā tiks apskatīti galvenie uzdevumu veidi un to risināšana.
Kāda ir funkcijas vērtība?
Matemātiskā funkcija ir īpašs vienādojums. Tas nosaka attiecības starp skaitļiem. Funkcija ir atkarīga no argumenta vērtības.
Funkcijas vērtību aprēķina pēc dotās formulas. Lai to izdarītu, aizstājiet x vietā jebkuru argumentu, kas atbilst derīgo vērtību diapazonam šajā formulā, un veiciet nepieciešamās matemātiskās darbības. Kas?
Kā atrast funkcijas mazāko vērtību,izmantojot grafikas funkciju?
Funkcijas atkarības no argumenta grafisko attēlojumu sauc par funkcijas grafiku. Tā ir veidota uz plaknes ar noteiktu vienības segmentu, kur mainīgā vai argumenta vērtība ir attēlota pa horizontālo abscisu asi, bet atbilstošā funkcijas vērtība pa vertikālo ordinātu asi.
Jo lielāka argumenta vērtība, jo vairāk tas atrodas diagrammā pa labi. Un jo lielāka ir pašas funkcijas vērtība, jo augstāks ir punkts.
Ko tas saka? Funkcijas mazākā vērtība būs punkts, kas grafikā atrodas viszemākajā. Lai to atrastu diagrammas segmentā, jums ir nepieciešams:
1) Atrodiet un atzīmējiet šī segmenta galus.
2) Vizuāli nosakiet, kurš punkts šajā segmentā atrodas viszemāk.
3) Atbildot uz to, pierakstiet tā skaitlisko vērtību, ko var noteikt, projicējot punktu uz y ass.
Atvasinātās diagrammas ekstremālie punkti. Kur meklēt?
Tomēr, risinot uzdevumus, dažreiz grafs tiek dots nevis no funkcijas, bet gan no tās atvasinājuma. Lai nejauši nepieļautu stulbu kļūdu, labāk rūpīgi izlasīt nosacījumus, jo tas ir atkarīgs no tā, kur jāmeklē ekstremālie punkti.
Tātad, atvasinājums ir funkcijas momentānais pieauguma ātrums. Saskaņā ar ģeometrisko definīciju atvasinājums atbilst pieskares slīpumam, kas tiek tieši novilkta uz doto punktu.
Ir zināms, ka galējos punktos tangensa ir paralēla Vērša asij. Tas nozīmē, ka tā slīpums ir 0.
No tā var secināt, ka galējos punktos atvasinājums atrodas uz x ass vai pazūd. Bet turklāt šajos punktos funkcija maina virzienu. Tas ir, pēc pieauguma perioda tas sāk samazināties, un atvasinājums attiecīgi mainās no pozitīva uz negatīvu. Vai otrādi.
Ja atvasinājums kļūst negatīvs no pozitīva, tas ir maksimālais punkts. Ja no negatīva kļūst pozitīvs - minimālais punkts.
Svarīgi: ja uzdevumā ir jānorāda minimālais vai maksimālais punkts, atbildē uz abscisu asi ir jāuzraksta atbilstošā vērtība. Bet, ja ir jāatrod funkcijas vērtība, tad vispirms funkcijā jāaizvieto atbilstošā argumenta vērtība un tā jāaprēķina.
Kā atrast ekstremālos punktus, izmantojot atvasinājumu?
Apskatītie piemēri galvenokārt attiecas uz eksāmena 7. uzdevumu, kas ietver darbu ar atvasinājuma vai antiatvasinājuma grafiku. Bet USE 12. uzdevums - atrast segmenta funkcijas mazāko vērtību (dažreiz lielāko) - tiek veikts bez rasējumiem un prasa matemātiskās analīzes pamatiemaņas.
Lai to veiktu, jums ir jāspēj atrast ekstremālos punktus, izmantojot atvasinājumu. To atrašanas algoritms ir šāds:
- Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
- Iestatiet uz nulli.
- Atrodiet vienādojuma saknes.
- Pārbaudiet, vai iegūtie punkti ir galējības vai lēciena punkti.
Lai to izdarītu, uzzīmējiet diagrammu un tālākiegūtie intervāli nosaka atvasinājuma zīmes, segmentiem piederošos skaitļus aizstājot atvasinājumā. Ja, risinot vienādojumu, jūs ieguvāt dubultreizības saknes, tie ir lēciena punkti.
Pielietojot teorēmas, nosakiet, kuri punkti ir minimālie un kuri ir maksimālie
Aprēķiniet funkcijas mazāko vērtību, izmantojot atvasinājumu
Tomēr, veicot visas šīs darbības, mēs atradīsim minimālā un maksimālā punkta vērtības gar x asi. Bet kā segmentā atrast funkcijas mazāko vērtību?
Kas jādara, lai atrastu skaitli, kas atbilst funkcijai konkrētajā punktā? Argumenta vērtība ir jāaizstāj ar šo formulu.
Minimālās un maksimālās vērtības atbilst segmenta funkcijas mazākajai un lielākajai vērtībai. Tātad, lai atrastu funkcijas vērtību, ir jāaprēķina funkcija, izmantojot iegūtās x vērtības.
Svarīgi! Ja uzdevumā ir jānorāda minimālais vai maksimālais punkts, atbildot uz x ass ir jāuzraksta atbilstošā vērtība. Bet, ja jāatrod funkcijas vērtība, tad vispirms funkcijā jāaizvieto atbilstošā argumenta vērtība un jāveic vajadzīgās matemātiskās darbības.
Kas man jādara, ja šajā segmentā nav zemāko punktu?
Bet kā atrast mazāko funkcijas vērtību segmentā, kurā nav ekstrēmu punktu?
Tas nozīmē, ka funkcija monotoni samazinās vai palielinās. Pēc tam funkcijā jāaizstāj šī segmenta galējo punktu vērtība. Ir divi veidi.
1) Aprēķinotatvasinājums un intervāli, kuros tas ir pozitīvs vai negatīvs, lai secinātu, vai funkcija noteiktā segmentā samazinās vai palielinās.
Saskaņā ar tiem funkcijā aizstājiet lielāku vai mazāku argumenta vērtību.
2) Vienkārši aizvietojiet abus punktus funkcijā un salīdziniet iegūtās funkcijas vērtības.
Kādos uzdevumos atvasinājuma atrašana nav obligāta
Parasti USE uzdevumos jums joprojām ir jāatrod atvasinājums. Ir tikai daži izņēmumi.
1) Parabola.
Parabolas virsotne tiek atrasta pēc formulas.
Ja < 0, tad parabolas zari ir vērsti uz leju. Un tā maksimums ir maksimālais punkts.
Ja > 0, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu, virsotne ir minimālais punkts.
Aprēķinot parabolas virsotnes punktu, tā vērtība jāievieto funkcijā un jāaprēķina atbilstošā funkcijas vērtība.
2) Funkcija y=tg x. Vai y=ctg x.
Šīs funkcijas monotoni pieaug. Tāpēc, jo lielāka ir argumenta vērtība, jo lielāka ir pašas funkcijas vērtība. Tālāk mēs apskatīsim, kā ar piemēriem atrast segmenta funkcijas lielāko un mazāko vērtību.
Galvenie uzdevumu veidi
Uzdevums: lielākā vai mazākā funkcijas vērtība. Piemērs diagrammā.
Attēlā redzat funkcijas f (x) atvasinājuma grafiku intervālā [-6; 6]. Kurā posma punktā [-3; 3] f(x) ņem mazāko vērtību?
Tātad, iesākumam, jums vajadzētu atlasīt norādīto segmentu. Uz tā funkcija vienreiz iegūst nulles vērtību un maina savu zīmi - tas ir galējais punkts. Tā kā atvasinājums no negatīva kļūst pozitīvs, tas nozīmē, ka tas ir funkcijas minimālais punkts. Šis punkts atbilst argumenta 2 vērtībai.
Atbilde: 2.
Turpiniet skatīt piemērus. Uzdevums: atrast segmenta funkcijas lielāko un mazāko vērtību.
Atrodiet funkcijas y=(x - 8) mazāko vērtību ex-7 intervālā [6; 8].
1. Ņemiet kompleksās funkcijas atvasinājumu.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Pielīdziniet iegūto atvasinājumu nullei un atrisiniet vienādojumu.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0 vai ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, bez saknēm
3. Aizstāj funkcijā galējo punktu vērtību, kā arī iegūtās vienādojuma saknes.
y (6)=(6–8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7–8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8–8) e8-7=0e1=0
Atbilde: -1.
Tātad, šajā rakstā tika apskatīta galvenā teorija par to, kā segmentā atrast mazāko funkcijas vērtību, kas nepieciešama sekmīgai USE uzdevumu risināšanai specializētajā matemātikā. Arī matemātikas elementianalīzi izmanto, risinot uzdevumus no eksāmena C daļas, taču acīmredzot tie pārstāv citu sarežģītības pakāpi, un to risinājumu algoritmus ir grūti iekļaut viena materiāla ietvaros.
