Lai saprastu, kas ir funkcijas ekstremālie punkti, nemaz nav jāzina par pirmā un otrā atvasinājuma esamību un jāsaprot to fiziskā nozīme. Vispirms jums ir jāsaprot:
- funkcijas ekstrēma palielina vai, gluži otrādi, samazina funkcijas vērtību patvaļīgi mazā apkaimē;
- Ektrēmuma punktā nedrīkst būt funkcijas pārtraukums.
Un tagad tas pats, tikai vienkāršā valodā. Paskatieties uz lodīšu pildspalvas galu. Ja pildspalva ir novietota vertikāli, ar rakstāmgalu uz augšu, tad pats lodītes vidus būs galējais punkts – augstākais punkts. Šajā gadījumā mēs runājam par maksimumu. Tagad, ja pagriežat pildspalvu ar rakstāmgalu uz leju, tad lodītes vidū jau būs funkcijas minimums. Izmantojot šeit sniegto attēlu, varat iedomāties uzskaitītās manipulācijas ar kancelejas zīmuli. Tātad funkcijas galējības vienmēr ir kritiskie punkti: tās maksimumi vai minimumi. Blakus esošā diagrammas sadaļa var būt patvaļīgi asa vai gluda, taču tai ir jāpastāv abās pusēs, tikai šajā gadījumā punkts ir ekstremitāte. Ja diagramma atrodas tikai vienā pusē, šis punkts nebūs ekstrēms, pat ja tas atrodas vienā pusēir izpildīti ekstremālie nosacījumi. Tagad izpētīsim funkcijas galējības no zinātniskā viedokļa. Lai punktu uzskatītu par ekstrēmu, ir nepieciešams un pietiek, ka:
- pirmais atvasinājums bija vienāds ar nulli vai arī tajā punktā nepastāvēja;
- pirmais atvasinājums šajā brīdī mainīja savu zīmi.
Nosacījums tiek interpretēts nedaudz savādāk no augstākas kārtas atvasinājumu viedokļa: funkcijai, kas ir diferencējama punktā, pietiek ar to, ka ir nepāra kārtas atvasinājums, kas nav vienāds ar nulli, kamēr visi ir jāpastāv zemākas kārtas atvasinājumiem, un tiem jābūt vienādiem ar nulli. Šī ir vienkāršākā teorēmu interpretācija no augstākās matemātikas mācību grāmatām. Bet visparastākajiem cilvēkiem ir vērts izskaidrot šo punktu ar piemēru. Pamats ir parasta parabola. Nekavējoties veiciet rezervāciju, nulles punktā tai ir minimums. Mazliet matemātikas:
- pirmais atvasinājums (X2)|=2X, nulles punktam 2X=0;
- otrais atvasinājums (2X)|=2, nulles punktam 2=2.
Šī ir vienkārša nosacījumu ilustrācija, kas nosaka funkcijas ekstrēmus gan pirmās kārtas atvasinājumiem, gan augstākas kārtas atvasinājumiem. Mēs varam piebilst, ka otrais atvasinājums ir tikai tas pats nepāra kārtas atvasinājums, kas nav vienāds ar nulli, kas tika apspriests nedaudz augstāk. Runājot par divu mainīgo funkcijas galējībām, abiem argumentiem ir jāizpilda nosacījumi. Kadnotiek vispārināšana, tad tiek izmantoti daļējie atvasinājumi. Tas ir, ekstrēma klātbūtnei punktā ir nepieciešams, lai abi pirmās kārtas atvasinājumi būtu vienādi ar nulli vai vismaz viens no tiem nepastāv. Ekstrēma klātbūtnes pietiekamībai tiek pētīta izteiksme, kas ir starpība starp otrās kārtas atvasinājumu reizinājumu un funkcijas jauktā otrās kārtas atvasinājuma kvadrātu. Ja šī izteiksme ir lielāka par nulli, tad ir ekstrēmums, un, ja ir nulle, tad jautājums paliek atklāts, un ir nepieciešama papildu izpēte.
