Funkcija un tās pazīmju izpēte ir viena no galvenajām mūsdienu matemātikas nodaļām. Jebkuras funkcijas galvenā sastāvdaļa ir grafiki, kas attēlo ne tikai tās īpašības, bet arī šīs funkcijas atvasinājuma parametrus. Apskatīsim šo sarežģīto tēmu. Tātad, kāds ir labākais veids, kā atrast funkcijas maksimālo un minimālo punktu?
Funkcija: definīcija
Jebkuru mainīgo, kas kaut kādā veidā ir atkarīgs no citas vērtības vērtībām, var saukt par funkciju. Piemēram, funkcija f(x2) ir kvadrātveida un nosaka vērtības visai kopai x. Pieņemsim, ka x=9, tad mūsu funkcijas vērtība būs vienāda ar 92=81.
Funkcijām ir daudz dažādu veidu: loģiskās, vektoru, logaritmiskās, trigonometriskās, skaitliskās un citas. Viņu pētījumos iesaistījās tādi izcili prāti kā Lakruā, Lagranžs, Leibnics un Bernulli. Viņu raksti kalpo kā balsts mūsdienu funkciju izpētes veidos. Pirms minimālo punktu noteikšanas ir ļoti svarīgi saprast pašas funkcijas un tās atvasinājuma nozīmi.
Atvasinājums un tā loma
Visas funkcijas ir ieslēgtasatkarībā no to mainīgajām vērtībām, kas nozīmē, ka tās var mainīt savu vērtību jebkurā laikā. Diagrammā tas tiks attēlots kā līkne, kas vai nu lejup, vai pieaug pa y asi (šī ir visa "y" skaitļu kopa gar diagrammas vertikāli). Un tāpēc funkcijas maksimuma un minimuma punkta definīcija ir saistīta ar šīm "svārstībām". Paskaidrosim, kas ir šīs attiecības.
Jebkuras funkcijas atvasinājums tiek uzzīmēts grafikā, lai izpētītu tās galvenos raksturlielumus un aprēķinātu, cik ātri funkcija mainās (ti, maina tās vērtību atkarībā no mainīgā "x"). Brīdī, kad funkcija palielinās, palielināsies arī tās atvasinājuma grafiks, bet jebkurā sekundē funkcija var sākt samazināties, un tad atvasinājuma grafiks samazināsies. Tos punktus, kuros atvasinājums iet no mīnusa uz plusu, sauc par minimālajiem punktiem. Lai zinātu, kā atrast minimālos punktus, jums vajadzētu labāk izprast atvasinājuma jēdzienu.
Kā aprēķināt atvasinājumu?
Funkcijas atvasinājuma definēšana un aprēķināšana ietver vairākus diferenciālrēķina jēdzienus. Kopumā pašu atvasinājuma definīciju var izteikt šādi: šī ir vērtība, kas parāda funkcijas izmaiņu ātrumu.
Matemātiskais veids, kā to noteikt, daudziem skolēniem šķiet sarežģīts, taču patiesībā viss ir daudz vienkāršāk. Vajag tikai sekotstandarta plāns jebkuras funkcijas atvasinājuma atrašanai. Tālāk ir aprakstīts, kā var atrast funkcijas minimālo punktu, nepiemērojot diferenciācijas noteikumus un neiegaumējot atvasinājumu tabulu.
- Varat aprēķināt funkcijas atvasinājumu, izmantojot grafiku. Lai to izdarītu, jums ir jāattēlo pati funkcija, pēc tam paņemiet uz tās vienu punktu (punkts A attēlā) Novelciet līniju vertikāli uz leju līdz abscisu asij (punkts x0) un punktā A uzzīmējiet pieskares funkcijas grafikam. Abscisu ass un tangenss veido leņķi a. Lai aprēķinātu funkcijas pieauguma vērtību, jāaprēķina šī leņķa tangensa a.
- Izrādās, ka pieskares leņķim starp pieskari un x ass virzienu ir funkcijas atvasinājums nelielā laukumā ar punktu A. Šo metodi uzskata par ģeometrisku atvasinājuma noteikšanas veidu..
Funkciju izpētes metodes
Skolas matemātikas programmā funkcijas minimālo punktu iespējams atrast divos veidos. Mēs jau esam analizējuši pirmo metodi, izmantojot grafiku, bet kā noteikt atvasinājuma skaitlisko vērtību? Lai to izdarītu, jums būs jāapgūst vairākas formulas, kas apraksta atvasinājuma īpašības un palīdz pārveidot mainīgos, piemēram, "x" skaitļos. Šī metode ir universāla, tāpēc to var izmantot gandrīz visu veidu funkcijām (gan ģeometriskām, gan logaritmiskām).
- Funkcija ir jāpielīdzina atvasinātajai funkcijai un pēc tam jāvienkāršo izteiksme, izmantojot noteikumusdiferenciācija.
- dalīt ar nulli).
- Pēc tam funkcijas sākotnējā forma ir jāpārvērš vienkāršā vienādojumā, pielīdzinot visu izteiksmi nullei. Piemēram, ja funkcija izskatījās šādi: f(x)=2x3+38x, tad saskaņā ar diferenciācijas noteikumiem tās atvasinājums ir vienāds ar f'(x)=3x 2 +1. Pēc tam mēs pārveidojam šo izteiksmi par vienādojumu ar šādu formu: 3x2+1=0.
- Pēc vienādojuma atrisināšanas un punktu "x" atrašanas tie jāuzzīmē uz x ass un jānosaka, vai atvasinājums šajos apgabalos starp atzīmētajiem punktiem ir pozitīvs vai negatīvs. Pēc apzīmējuma kļūs skaidrs, kurā brīdī funkcija sāk samazināties, tas ir, maina zīmi no mīnusa uz pretējo. Tādā veidā jūs varat atrast gan minimālo, gan maksimālo punktu skaitu.
Diferencēšanas noteikumi
Visvienkāršākā funkcijas un tās atvasinājuma apguves daļa ir diferenciācijas noteikumu pārzināšana. Tikai ar to palīdzību ir iespējams pārveidot apgrūtinošas izteiksmes un lielas sarežģītas funkcijas. Iepazīsimies ar tām, to ir diezgan daudz, taču tās visas ir ļoti vienkāršas gan pakāpju, gan logaritmisko funkciju regulāro īpašību dēļ.
- Jebkuras konstantes atvasinājums ir nulle (f(x)=0). Tas nozīmē, ka atvasinājumam f(x)=x5+ x - 160 būs šāda forma: f' (x)=5x4+1.
- Divu terminu summas atvasinājums: (f+w)'=f'w + fw'.
- Logaritmiskās funkcijas atvasinājums: (logad)'=d/ln ad. Šī formula attiecas uz visu veidu logaritmiem.
- Grāda atvasinājums: (x)'=nxn-1. Piemēram, (9x2)'=92x=18x.
- Sinusoidālās funkcijas atvasinājums: (sin a)'=cos a. Ja leņķa a grēks ir 0,5, tad tā atvasinājums ir √3/2.
Ekstrēmi punkti
Mēs jau esam izdomājuši, kā atrast minimālos punktus, tomēr pastāv funkcijas maksimālo punktu jēdziens. Ja minimums apzīmē tos punktus, kuros funkcija pāriet no mīnusa uz plusu, tad maksimālie punkti ir tie punkti uz x ass, kuros funkcijas atvasinājums mainās no plus uz pretējo - mīnus.
Maksimālos punktus var atrast, izmantojot iepriekš aprakstīto metodi, tikai jāņem vērā, ka tie apzīmē tos apgabalus, kuros funkcija sāk samazināties, tas ir, atvasinājums būs mazāks par nulli.
Matemātikā ir pieņemts abus jēdzienus vispārināt, aizstājot tos ar frāzi "ekstrēmuma punkti". Kad uzdevums prasa noteikt šos punktus, tas nozīmē, ka ir jāaprēķina šīs funkcijas atvasinājums un jāatrod minimālais un maksimālais punkts.
