Spēja strādāt ar skaitliskām izteiksmēm, kas satur kvadrātsakni, ir nepieciešama, lai veiksmīgi atrisinātu vairākas OGE un USE problēmas. Šajos eksāmenos parasti pietiek ar pamatzināšanu par to, kas ir sakņu ekstrakcija un kā tā tiek veikta praksē.
Definīcija
Cipara X n-tā sakne ir skaitlis x, kuram ir patiesa vienādība: xn =X.
Izteiksmes vērtības atrašana ar sakni nozīmē x, kas dota X un n.
Kvadrātsakne vai, kas ir vienāda, otrā sakne no X - skaitļa x, kuram ir izpildīta vienādība: x2 =X.
Apzīmējums: ∛Х. Šeit 3 ir saknes pakāpe, X ir saknes izteiksme. Zīmi “√” bieži sauc par radikālu.
Ja skaitlis virs saknes nenorāda pakāpi, tad noklusējuma vērtība ir pakāpe 2.
Skolas kursā par pāra grādiem negatīvās saknes un radikālas izpausmes parasti netiek ņemtas vērā. Piemēram, nav√-2, un izteiksmei √4 pareizā atbilde ir 2, neskatoties uz to, ka (-2)2 arī ir vienāds ar 4.
Sakņu racionalitāte un iracionalitāte
Vienkāršākais iespējamais uzdevums ar sakni ir atrast izteiksmes vērtību vai pārbaudīt tās racionalitāti.
Piemēram, aprēķiniet vērtības √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5, jo 52 =25;
- ∛8=2, jo 23 =8;
- ∛ - 125=-5 kopš (-5)3 =-125.
Atbildes dotajos piemēros ir racionāli skaitļi.
Strādājot ar izteiksmēm, kas nesatur burtiskas konstantes un mainīgos, ieteicams vienmēr veikt šādu pārbaudi, izmantojot apgriezto darbību, paaugstinot līdz dabiskajam pakāpēm. Skaitļa x atrašana n-tajā pakāpē ir līdzvērtīga x n faktoru reizinājuma aprēķināšanai.
Ir daudz izteiksmju ar sakni, kuras vērtība ir iracionāla, tas ir, rakstīta kā bezgalīga neperiodiska daļa.
Pēc definīcijas racionālie skaitļi ir tie, kurus var izteikt kā kopīgu daļskaitli, un iracionālie ir visi pārējie reālie skaitļi.
Tie ietver √24, √0, 1, √101.
Ja uzdevumu grāmatā teikts: atrodiet izteiksmes vērtību ar sakni 2, 3, 5, 6, 7 utt., tas ir, no tiem naturālajiem skaitļiem, kas nav ietverti kvadrātu tabulā, tad pareizā atbilde ir √ var būt 2 (ja nav norādīts citādi).
Novērtēšana
Problēmas aratklāta atbilde, ja nav iespējams atrast izteiksmes vērtību ar sakni un ierakstīt to kā racionālu skaitli, rezultāts jāatstāj kā radikāls.
Dažus uzdevumus var būt nepieciešams novērtēt. Piemēram, salīdziniet 6 un √37. Risinājumam ir nepieciešams abus skaitļus sadalīt kvadrātā un salīdzināt rezultātus. No diviem skaitļiem tas, kura kvadrāts ir lielāks, ir lielāks. Šis noteikums darbojas visiem pozitīvajiem skaitļiem:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- nozīmē √37 > 6.
Tādā pašā veidā tiek risināti uzdevumi, kuros vairāki skaitļi jāsakārto augošā vai dilstošā secībā.
Piemērs: sakārtojiet 5, √6, √48, √√64 augošā secībā.
Pēc kvadrātēšanas mums ir: 25, 6, 48, √64. Varētu visus skaitļus vēlreiz kvadrātā salīdzināt ar √64, bet tas ir vienāds ar racionālo skaitli 8. 6 < 8 < 25 < 48, tātad risinājums ir: 48.
Izteiksmes vienkāršošana
Gadās, ka nav iespējams atrast izteiksmes vērtību ar sakni, tāpēc tā ir jāvienkāršo. To palīdz izmantot šī formula:
√ab=√a√b.
Divu skaitļu reizinājuma sakne ir vienāda ar to sakņu reizinājumu. Šai darbībai būs nepieciešama arī iespēja faktorizēt skaitli.
Sākotnējā posmā, lai paātrinātu darbu, ieteicams pa rokai turēt pirmskaitļu un kvadrātu tabulu. Šīs tabulas ar biežiizmantošana nākotnē tiks atcerēta.
Piemēram, √242 ir neracionāls skaitlis, varat to pārvērst šādi:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Parasti rezultāts tiek rakstīts kā 11√2 (lasi: vienpadsmit saknes no divām).
Ja ir grūti uzreiz saprast, kuros divos faktoros skaitlis ir jāsadala, lai no viena no tiem varētu iegūt dabisko sakni, varat izmantot pilnu sadalīšanu pirmfaktoros. Ja viens un tas pats pirmskaitlis izvērsumā parādās divas reizes, tas tiek izņemts no saknes zīmes. Ja ir daudz faktoru, sakni var iegūt vairākās darbībās.
Piemērs: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Skaitlis 2 izvērsumā parādās 2 reizes (faktiski vairāk nekā divas reizes, bet mūs joprojām interesē pirmie divi gadījumi, kad izvērsumā).
Mēs to izņemam no zem saknes zīmes:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Atkārtojiet to pašu darbību:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5).
Pārējā radikālajā izteiksmē 2 un 3 notiek vienreiz, tāpēc atliek izņemt koeficientu 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√ (2 × 3);
un veiciet aritmētiskās darbības:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Tātad, mēs iegūstam √2400=20√6.
Ja uzdevumā nav skaidri norādīts: "atrast izteiksmes vērtību ar kvadrātsakni", tad izvēle,kādā formā atstāt atbildi (vai izvilkt sakni no zem radikāļa), paliek skolēna ziņā, un tas var būt atkarīgs no risināmās problēmas.
Sākumā augstas prasības tiek izvirzītas uzdevumu noformēšanai, aprēķiniem, arī mutiski vai rakstiski, neizmantojot tehniskos līdzekļus.
Tikai labi pārzinot noteikumus darbam ar neracionālām skaitliskām izteiksmēm, ir jēga pāriet uz sarežģītākām burtiskām izteiksmēm un iracionālu vienādojumu risināšanu un izteiksmes iespējamo vērtību diapazona aprēķināšanu saskaņā ar radikāls.
Ar šāda veida problēmām studenti sastopas vienotajā valsts eksāmenā matemātikā, kā arī specializēto augstskolu pirmajā kursā, apgūstot matemātisko analīzi un ar to saistītās disciplīnas.
