Lai noteiktu plakņu paralēlismu un perpendikularitāti, kā arī aprēķinātu attālumus starp šiem ģeometriskiem objektiem, ir ērti izmantot viena vai cita veida skaitliskās funkcijas. Kādām problēmām ir ērti izmantot plaknes vienādojumu segmentos? Šajā rakstā mēs apskatīsim, kas tas ir un kā to izmantot praktiskos uzdevumos.
Kas ir vienādojums līniju segmentos?
Plakni 3D telpā var definēt vairākos veidos. Šajā rakstā daži no tiem tiks sniegti, risinot dažāda veida problēmas. Šeit mēs sniedzam detalizētu vienādojuma aprakstu plaknes segmentos. Parasti tam ir šāda forma:
x/p + y/q + z/r=1.
Kur simboli p, q, r apzīmē noteiktus skaitļus. Šo vienādojumu var viegli pārvērst vispārējā izteiksmē un citos plaknes skaitlisko funkciju veidos.
Vienādojuma ierakstīšanas segmentos ērtība slēpjas faktā, ka tajā ir skaidras koordinātas plaknes krustojumam ar perpendikulārām koordinātu asīm. Uz x assattiecībā pret izcelsmi plakne nogriež segmentu, kura garums ir p, uz y ass - vienāds ar q, uz z - ar garumu r.
Ja vienādojumā nav iekļauts kāds no trim mainīgajiem, tad tas nozīmē, ka plakne neiet cauri attiecīgajai asi (matemātiķi saka, ka tā krustojas bezgalībā).
Tālāk ir dažas problēmas, kurās mēs parādīsim, kā strādāt ar šo vienādojumu.
Vispārīga un vienādojumu segmentu komunikācija
Ir zināms, ka plakne ir dota ar šādu vienādību:
2x - 3y + z - 6=0.
Ir nepieciešams pierakstīt šo plaknes vispārīgo vienādojumu segmentos.
Kad rodas līdzīga problēma, jums jāievēro šāda tehnika: mēs pārnesam brīvo termiņu uz vienlīdzības labo pusi. Tad mēs sadalām visu vienādojumu ar šo vārdu, mēģinot to izteikt iepriekšējā punktā norādītajā formā. Mums ir:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Mēs esam ieguvuši segmentos plaknes vienādojumu, kas sākotnēji dots vispārīgā formā. Ir pamanāms, ka plakne nogriež segmentus ar garumu 3, 2 un 6 attiecīgi x, y un z asīm. Y ass krusto plakni negatīvo koordinātu apgabalā.
Sastādot vienādojumu segmentos, ir svarīgi, lai pirms visiem mainīgajiem būtu zīme "+". Tikai šajā gadījumā skaitlis, ar kuru šis mainīgais ir dalīts, parādīs koordinātu nogriezto asi uz ass.
Normāls vektors un punkts plaknē
Ir zināms, ka kādai plaknei ir virziena vektors (3; 0; -1). Ir arī zināms, ka tas iet caur punktu (1; 1; 1). Šai plaknei ierakstiet vienādojumu segmentos.
Lai atrisinātu šo problēmu, vispirms ir jāizmanto šī divdimensiju ģeometriskā objekta vispārējā forma. Vispārējā forma ir rakstīta šādi:
Ax + By + Cz + D=0.
Pirmie trīs koeficienti šeit ir virzošā vektora koordinātas, kas norādītas uzdevuma priekšrakstā, tas ir:
A=3;
B=0;
C=-1.
Atliek atrast brīvo terminu D. To var noteikt pēc šādas formulas:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Kur koordinātu vērtības ar indeksu 1 atbilst plaknei piederoša punkta koordinātām. Mēs aizstājam to vērtības no problēmas stāvokļa, iegūstam:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Tagad varat uzrakstīt pilnu vienādojumu:
3x - z - 2=0.
Paņēmiens šīs izteiksmes pārvēršanai vienādojumā plaknes segmentos jau ir parādīts iepriekš. Lietojiet to:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Atbilde uz problēmu ir saņemta. Ņemiet vērā, ka šī plakne krusto tikai x un z asis. Attiecībā uz y tas ir paralēls.
Divas taisnas līnijas, kas nosaka plakni
No telpiskās ģeometrijas kursa katrs students zina, ka divas patvaļīgas līnijas unikāli definē plaknitrīsdimensiju telpa. Atrisināsim līdzīgu problēmu.
Ir zināmi divi līniju vienādojumi:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Ir nepieciešams pierakstīt plaknes vienādojumu segmentos, ejot caur šīm taisnēm.
Tā kā abām taisnēm jāatrodas plaknē, tas nozīmē, ka to vektoriem (vadītājiem) jābūt perpendikulāriem plaknes vektoram (vadlīnijai). Tajā pašā laikā ir zināms, ka patvaļīgu divu virzītu segmentu vektora reizinājums dod rezultātu trešā koordinātu veidā, kas ir perpendikulārs diviem sākotnējiem. Ņemot vērā šo īpašību, mēs iegūstam vektora koordinātas, kas ir normālas vēlamajai plaknei:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Tā kā to var reizināt ar patvaļīgu skaitli, tas veido jaunu virzītu segmentu paralēli sākotnējam, iegūto koordinātu zīmi varam aizstāt ar pretējo (reizināt ar -1), iegūstam:
(1; 2; 1).
Mēs zinām virziena vektoru. Atliek ņemt patvaļīgu vienas taisnes punktu un sastādīt vispārīgo plaknes vienādojumu:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Pārvēršot šo vienādību izteiksmē segmentos, mēs iegūstam:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Tādējādi plakne krusto visas trīs asis koordinātu sistēmas pozitīvajā apgabalā.
Trīs punkti un lidmašīna
Tāpat kā divas taisnas līnijas, trīs punkti unikāli nosaka plakni trīsdimensiju telpā. Attiecīgo vienādojumu rakstām segmentos, ja ir zināmas šādas plaknē esošo punktu koordinātes:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Darīsim šādi: aprēķināsim koordinātas diviem patvaļīgiem vektoriem, kas savieno šos punktus, pēc tam atrodam vektoru n¯, kas ir normāls plaknei, aprēķinot atrasto virzīto segmentu reizinājumu. Mēs iegūstam:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Ņemiet par piemēru punktu P, izveidojiet plaknes vienādojumu:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 vai z=0.
Ieguvām vienkāršu izteiksmi, kas atbilst xy plaknei dotajā taisnstūra koordinātu sistēmā. To nevar rakstīt segmentos, jo x un y asis pieder plaknei, un uz z ass nogrieztā segmenta garums ir nulle (punkts (0; 0; 0) pieder plaknei).
