Lai atrastu gadījuma lielumu un to mainīgo sadalījuma funkcijas, ir jāizpēta visas šīs zināšanu jomas pazīmes. Ir vairākas dažādas metodes attiecīgo vērtību atrašanai, tostarp mainīgā lieluma maiņa un momenta ģenerēšana. Sadalījums ir jēdziens, kura pamatā ir tādi elementi kā dispersija, variācijas. Tomēr tie raksturo tikai izkliedes amplitūdas pakāpi.
Svarīgākās nejaušo mainīgo funkcijas ir tās, kas ir saistītas un neatkarīgas un sadalītas vienādi. Piemēram, ja X1 ir nejauši izvēlēta indivīda svars no vīriešu populācijas, X2 ir citas personas svars, … un Xn ir vēl vienas personas svars no vīriešu populācijas, tad mums ir jāzina, kā notiek nejaušības funkcija. X tiek izplatīts. Šajā gadījumā tiek piemērota klasiskā teorēma, ko sauc par centrālo robežu teorēmu. Tas ļauj parādīt, ka lielam n funkcijai seko standarta sadalījums.
Viena nejauša lieluma funkcijas
Centrālā ierobežojuma teorēma ir paredzēta, lai tuvinātu aplūkojamās diskrētās vērtības, piemēram, binomiālu un Puasona. Gadījuma lielumu sadalījuma funkcijas tiek aplūkotas, pirmkārt, uz viena mainīgā vienkāršām vērtībām. Piemēram, ja X ir nepārtraukts gadījuma lielums, kam ir savs varbūtības sadalījums. Šajā gadījumā mēs pētām, kā atrast Y blīvuma funkciju, izmantojot divas dažādas pieejas, proti, sadalījuma funkcijas metodi un mainīgā lieluma izmaiņas. Pirmkārt, tiek ņemtas vērā tikai vērtības viens pret vienu. Pēc tam jums ir jāmaina mainīgā mainīšanas tehnika, lai atrastu tā varbūtību. Visbeidzot, mums ir jāapgūst, kā apgrieztā kumulatīvā sadalījuma funkcija var palīdzēt modelēt nejaušus skaitļus, kas atbilst noteiktiem secīgiem modeļiem.
Aplūkoto vērtību sadales metode
Lai noskaidrotu tā blīvumu, ir izmantojama nejauša lieluma varbūtības sadalījuma funkcijas metode. Izmantojot šo metodi, tiek aprēķināta kumulatīvā vērtība. Tad, to diferencējot, var iegūt varbūtības blīvumu. Tagad, kad mums ir izplatīšanas funkcijas metode, mēs varam apskatīt vēl dažus piemērus. Lai X ir nepārtraukts gadījuma lielums ar noteiktu varbūtības blīvumu.
Kāda ir x2 varbūtības blīvuma funkcija? Ja skatāties uz funkciju (augšējā un labajā pusē) y \u003d x2, vai to attēlojat diagrammā, varat atzīmēt, ka tas ir pieaugošs X un 0 <y<1. Tagad jums ir jāizmanto aplūkotā metode, lai atrastu Y. Pirmkārt, tiek atrasta kumulatīvā sadalījuma funkcija, jums tikai jādiferencē, lai iegūtu varbūtības blīvumu. To darot, mēs iegūstam: 0<y<1. Sadales metode ir veiksmīgi ieviesta, lai atrastu Y, kad Y ir X pieaugoša funkcija. Starp citu, f(y) integrējas 1 pār y.
Pēdējā piemērā liela uzmanība tika izmantota, lai indeksētu kumulatīvās funkcijas un varbūtības blīvumu ar X vai Y, lai norādītu, kuram gadījuma mainīgajam tie pieder. Piemēram, atrodot Y kumulatīvā sadalījuma funkciju, mēs saņēmām X. Ja jums ir jāatrod gadījuma lielums X un tā blīvums, tad jums tas vienkārši ir jādiferencē.
Mainīgo izmaiņu paņēmiens
Ļaujiet X būt nepārtrauktam gadījuma lielumam, ko nosaka sadalījuma funkcija ar kopsaucēju f (x). Šajā gadījumā, ja jūs ievietojat y vērtību X=v (Y), tad iegūstat x vērtību, piemēram, v (y). Tagad mums jāiegūst nepārtraukta gadījuma lieluma Y sadalījuma funkcija. Kur pirmā un otrā vienādība notiek no kumulatīvā Y definīcijas. Trešā vienādība ir spēkā, jo funkcijas daļa, kurai u (X) ≦ y ir taisnība arī, ka X ≦ v (Y). Un pēdējais tiek darīts, lai noteiktu varbūtību nepārtrauktā gadījuma lielumā X. Tagad mums ir jāņem FY (y) atvasinājums, Y kumulatīvā sadalījuma funkcija, lai iegūtu varbūtības blīvumu Y.
Vispārināšana samazināšanas funkcijai
Ļaujiet X būt nepārtrauktam gadījuma mainīgajam ar kopējo f (x), kas definēts kā c1<x<c2. Un lai Y=u (X) ir X dilstoša funkcija ar apgrieztu X=v (Y). Tā kā funkcija ir nepārtraukta un samazinās, pastāv apgrieztā funkcija X=v (Y).
Lai risinātu šo problēmu, varat apkopot kvantitatīvos datus un izmantot empīrisko kumulatīvā sadalījuma funkciju. Izmantojot šo informāciju un piesaistot to, jums ir jāapvieno līdzekļu paraugi, standarta novirzes, multivides dati un tā tālāk.
Līdzīgi pat diezgan vienkāršam varbūtības modelim var būt ļoti daudz rezultātu. Piemēram, ja jūs apmetat monētu 332 reizes. Tad flips iegūto rezultātu skaits ir lielāks nekā google (10100) – skaitlis, bet ne mazāk kā 100 kvintiljonus reižu lielāks par elementārdaļiņām zināmajā Visumā. Neinteresē analīze, kas sniedz atbildi uz visiem iespējamiem rezultātiem. Būtu vajadzīgs vienkāršāks jēdziens, piemēram, galvu skaits vai garākais astes gājiens. Lai koncentrētos uz interesējošiem jautājumiem, tiek pieņemts konkrēts rezultāts. Definīcija šajā gadījumā ir šāda: nejaušs mainīgais ir reāla funkcija ar varbūtības telpu.
Jauša lieluma diapazonu S dažreiz sauc par stāvokļa telpu. Tādējādi, ja X ir attiecīgā vērtība, tad N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc utt. Pēdējais no tiem, noapaļojot X līdz tuvākajam veselajam skaitlim, tiek saukts par grīdas funkciju.
Izplatīšanas funkcijas
Kad ir noteikta interesējošā sadalījuma funkcija nejaušam mainīgajam x, parasti rodas jautājums: "Kāda ir iespēja, ka X ietilpst kādā B vērtību apakškopā?". Piemēram, B={nepāra skaitļi}, B={lielāks par 1} vai B={starp 2 un 7}, lai norādītu rezultātus, kuriem ir X, vērtībanejaušs mainīgais apakškopā A. Tādējādi iepriekš minētajā piemērā notikumus varat aprakstīt šādi.
{X ir nepāra skaitlis}, {X ir lielāks par 1}={X> 1}, {X ir no 2 līdz 7}={2 <X <7}, lai atbilstu trim iepriekš minētajām opcijām apakškopai B. Daudzas nejaušu lielumu īpašības nav saistītas ar konkrētu X. Drīzāk tās ir atkarīgas no tā, kā X piešķir savas vērtības. Tas noved pie definīcijas, kas izklausās šādi: gadījuma lieluma x sadalījuma funkcija ir kumulatīva un tiek noteikta ar kvantitatīviem novērojumiem.
Nejauši mainīgie un sadalījuma funkcijas
Tādējādi jūs varat aprēķināt varbūtību, ka gadījuma lieluma x sadalījuma funkcija ņems vērtības intervālā, atņemot. Padomājiet par galapunktu iekļaušanu vai izslēgšanu.
Mēs nosauksim gadījuma lielumu par diskrētu, ja tam ir ierobežota vai saskaitāmi bezgalīga stāvokļa telpa. Tādējādi X ir galviņu skaits trijos neatkarīgos neobjektīvas monētas metienos, kas palielinās ar varbūtību p. Mums jāatrod diskrēta gadījuma lieluma FX kumulatīvā sadalījuma funkcija X. Lai X ir maksimumu skaits trīs kāršu kolekcijā. Tad Y=X3, izmantojot FX. FX sākas ar 0, beidzas ar 1 un nesamazinās, palielinoties x vērtībām. Diskrētā gadījuma lieluma X kumulatīvā FX sadalījuma funkcija ir nemainīga, izņemot lēcienus. Lēcot FX ir nepārtraukts. Pierādiet apgalvojumu par pareizusadalījuma funkcijas nepārtrauktība no varbūtības īpašības ir iespējama, izmantojot definīciju. Tas izklausās šādi: nemainīgam nejaušam mainīgajam ir kumulatīvs FX, kas ir diferencējams.
Lai parādītu, kā tas var notikt, mēs varam sniegt piemēru: mērķis ar vienības rādiusu. Jādomā. šautra ir vienmērīgi sadalīta pa norādīto laukumu. Dažiem λ> 0. Tādējādi nepārtrauktu gadījuma lielumu sadalījuma funkcijas palielinās vienmērīgi. FX ir sadalījuma funkcijas īpašības.
Vīrietis gaida autobusa pieturā, līdz pienāk autobuss. Pats nolēmis, ka atteiksies, kad gaidīšanas laiks sasniegs 20 minūtes. Šeit jāatrod kumulatīvā sadalījuma funkcija T. Laiks, kad cilvēks vēl atradīsies autoostā vai neizbrauks. Neskatoties uz to, ka kumulatīvā sadalījuma funkcija ir definēta katram nejaušam mainīgajam. Tomēr diezgan bieži tiks izmantoti citi raksturlielumi: diskrēta lieluma masa un gadījuma lieluma sadalījuma blīvuma funkcija. Parasti vērtība tiek izvadīta, izmantojot vienu no šīm divām vērtībām.
Masu funkcijas
Šīs vērtības tiek ņemtas vērā ar šādām īpašībām, kurām ir vispārīgs (masas) raksturs. Pirmais ir balstīts uz faktu, ka varbūtības nav negatīvas. Otrais izriet no novērojuma, ka kopa visiem x=2S, X stāvokļa telpa, veido X varbūtības brīvības nodalījumu. Piemērs: neobjektīvas monētas mešana, kuras rezultāti ir neatkarīgi. Jūs varat turpināt darītnoteiktas darbības, līdz saņemat galvu. Ar X apzīmē gadījuma lielumu, kas norāda astes skaitu pirmās galvas priekšā. Un p apzīmē varbūtību jebkurā konkrētā darbībā.
Tātad, masas varbūtības funkcijai ir šādas raksturīgās pazīmes. Tā kā termini veido skaitlisku secību, X tiek saukts par ģeometrisku gadījuma mainīgo. Ģeometriskā shēma c, cr, cr2,.,,, crn ir summa. Tāpēc sn ierobežojums ir n 1. Šajā gadījumā robeža ir bezgalīga summa.
Iepriekš minētā masas funkcija veido ģeometrisku secību ar attiecību. Tāpēc naturālie skaitļi a un b. Vērtību atšķirība sadalījuma funkcijā ir vienāda ar masas funkcijas vērtību.
Apskatāmajām blīvuma vērtībām ir definīcija: X ir nejaušs mainīgais, kura FX sadalījumam ir atvasinājums. FX, kas atbilst Z xFX (x)=fX (t) dt-1, sauc par varbūtības blīvuma funkciju. Un X sauc par nepārtrauktu gadījuma lielumu. Aprēķinu pamatteorēmā blīvuma funkcija ir sadalījuma atvasinājums. Varat aprēķināt varbūtības, aprēķinot noteiktus integrāļus.
Tā kā dati tiek vākti no vairākiem novērojumiem, eksperimentālo procedūru modelēšanai vienlaikus ir jāņem vērā vairāk nekā viens gadījuma mainīgais. Tāpēc šo vērtību kopa un to kopīgais sadalījums diviem mainīgajiem X1 un X2 nozīmē notikumu skatīšanu. Diskrētajiem gadījuma lielumiem ir definētas kopīgas varbūtiskās masas funkcijas. Nepārtrauktajiem tiek uzskatīti fX1, X2, kurlocītavas varbūtības blīvums ir izpildīts.
Neatkarīgi nejauši mainīgie
Divi nejaušie mainīgie X1 un X2 ir neatkarīgi, ja kādi divi ar tiem saistītie notikumi ir vienādi. Vārdu sakot, varbūtība, ka divi notikumi {X1 2 B1} un {X2 2 B2} notiks vienlaicīgi, y, ir vienāda ar iepriekš minēto mainīgo reizinājumu, ka katrs no tiem notiek atsevišķi. Neatkarīgiem diskrētiem gadījuma lielumiem ir kopīga varbūtības masas funkcija, kas ir ierobežojošā jonu tilpuma reizinājums. Nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem, kas ir neatkarīgi, kopīgā varbūtības blīvuma funkcija ir robežblīvuma vērtību reizinājums. Visbeidzot, mēs aplūkojam n neatkarīgus novērojumus x1, x2,.,,, xn, kas rodas no nezināmas blīvuma vai masas funkcijas f. Piemēram, nezināms parametrs eksponenciālā gadījuma mainīgā funkcijās, kas apraksta autobusa gaidīšanas laiku.
Nejaušo lielumu imitācija
Šīs teorētiskās jomas galvenais mērķis ir nodrošināt rīkus, kas nepieciešami, lai izstrādātu secinājumu procedūras, kuru pamatā ir pareizi statistikas zinātnes principi. Tādējādi viens ļoti svarīgs programmatūras izmantošanas gadījums ir spēja ģenerēt pseidodatus, lai atdarinātu faktisko informāciju. Tas ļauj pārbaudīt un uzlabot analīzes metodes pirms to izmantošanas reālās datubāzēs. Tas ir nepieciešams, lai izpētītu datu īpašībasmodelēšana. Daudzām bieži lietotām nejaušo mainīgo saimēm R nodrošina komandas to ģenerēšanai. Citos gadījumos būs nepieciešamas neatkarīgu nejaušu mainīgo secības modelēšanas metodes, kurām ir kopīgs sadalījums.
Diskrēti gadījuma mainīgie un komandu shēma. Komanda paraugs tiek izmantota, lai izveidotu vienkāršus un stratificētus izlases paraugus. Rezultātā, ja tiek ievadīta secība x, izlase (x, 40) atlasa 40 ierakstus no x tā, lai visām 40. izmēra izvēlēm būtu vienāda iespējamība. Tiek izmantota noklusējuma komanda R ienesei bez aizstāšanas. Var izmantot arī diskrētu nejaušu mainīgo modelēšanai. Lai to izdarītu, vektorā x ir jānodrošina stāvokļa telpa un masas funkcija f. Izsaukums aizstāt=TRUE norāda, ka iztveršana notiek ar aizstāšanu. Pēc tam, lai iegūtu n neatkarīgu gadījuma lielumu izlasi, kuriem ir kopīga masas funkcija f, tiek izmantota izlase (x, n, aizstāt=TRUE, prob=f).
Noteikts, ka 1 ir mazākā attēlotā vērtība un 4 ir lielākā no visām. Ja komanda prob=f ir izlaista, paraugs vienmērīgi ņems paraugu no vērtībām vektorā x. Varat pārbaudīt simulāciju pret masas funkciju, kas ģenerēja datus, aplūkojot dubultās vienādības zīmi==. Un pārrēķinot novērojumus, kas ņem visas iespējamās x vērtības. Jūs varat izveidot galdu. Atkārtojiet to 1000 un salīdziniet simulāciju ar atbilstošo masas funkciju.
Varbūtības transformācijas ilustrācija
Pirmkārtsimulēt gadījuma lielumu u1, u2, viendabīgo sadalījuma funkcijas.,,, un intervālā [0, 1]. Apmēram 10% skaitļu ir jābūt robežās [0, 3, 0, 4]. Tas atbilst 10% simulāciju intervālā [0, 28, 0, 38] nejaušam mainīgajam ar parādītu FX sadalījuma funkciju. Tāpat aptuveni 10% nejaušo skaitļu jāatrodas intervālā [0, 7, 0, 8]. Tas atbilst 10% simulācijām nejaušā lieluma intervālā [0, 96, 1, 51] ar sadalījuma funkciju FX. Šīs vērtības uz x ass var iegūt, ņemot apgriezto vērtību no FX. Ja X ir nepārtraukts gadījuma lielums ar blīvumu fX pozitīvs visā savā jomā, tad sadalījuma funkcija stingri palielinās. Šajā gadījumā FX ir apgrieztā FX-1 funkcija, kas pazīstama kā kvantiles funkcija. FX (x) u tikai tad, ja x FX-1 (u). Varbūtības transformācija izriet no nejaušā lieluma U=FX (X) analīzes.
FX diapazons ir no 0 līdz 1. Tas nevar būt mazāks par 0 vai lielāks par 1. Vērtībām u no 0 līdz 1. Ja U var simulēt, tad ir jābūt nejaušam mainīgajam ar FX sadalījumu. simulēts, izmantojot kvantilu funkciju. Paņemiet atvasinājumu, lai redzētu, ka blīvums u mainās 1 robežās. Tā kā nejaušajam mainīgajam U ir nemainīgs blīvums tā iespējamo vērtību intervālā, to sauc par vienmērīgu intervālā [0, 1]. Tas ir modelēts R ar komandu runif. Identitāti sauc par varbūtības transformāciju. Kā tas darbojas, varat redzēt šautriņu dēļa piemērā. X no 0 līdz 1, funkcijasadalījums u=FX (x)=x2, un līdz ar to kvantiles funkcija x=FX-1 (u). Ir iespējams modelēt neatkarīgus attāluma novērojumus no šautriņu paneļa centra un tādējādi izveidot vienotus gadījuma lielumus U1, U2,.,, Un. Sadales funkcija un empīriskā funkcija ir balstīta uz 100 šautriņu dēļa sadalījuma simulācijām. Eksponenciālajam gadījuma mainīgajam, iespējams, u=FX (x)=1 - exp (- x), un līdz ar to x=- 1 ln (1 - u). Dažreiz loģika sastāv no līdzvērtīgiem apgalvojumiem. Šajā gadījumā jums ir jāsavieno abas argumenta daļas. Krustojuma identitāte ir līdzīga visiem 2 {S i i} S, nevis kādai vērtībai. Apvienība Ci ir vienāda ar stāvokļu telpu S, un katrs pāris ir viens otru izslēdzošs. Tā kā Bi - ir sadalīts trīs aksiomās. Katra pārbaude ir balstīta uz atbilstošo varbūtību P. Jebkurai apakškopai. Identitātes izmantošana, lai pārliecinātos, ka atbilde nav atkarīga no tā, vai ir iekļauti intervāla beigu punkti.
Eksponenciāla funkcija un tās mainīgie
Katram iznākumam visos notikumos galu galā tiek izmantota iespējamību nepārtrauktības otrā īpašība, kas tiek uzskatīta par aksiomātisku. Gadījuma lieluma funkcijas sadalījuma likums šeit parāda, ka katram ir savs risinājums un atbilde.
