Telpiskā ģeometrija, kuras kursu apgūst skolas 10.-11.klasē, ņem vērā trīsdimensiju figūru īpašības. Rakstā sniegta cilindra ģeometriskā definīcija, formula tā tilpuma aprēķināšanai, kā arī atrisināta fiziska problēma, kur ir svarīgi zināt šo tilpumu.
Kas ir cilindrs?
No stereometrijas viedokļa cilindra definīciju var dot šādi: tā ir figūra, kas veidojas taisna segmenta paralēlas nobīdes rezultātā pa noteiktu plakanu slēgtu līkni. Nosauktais segments nedrīkst piederēt tai pašai plaknei ar līkni. Ja līkne ir aplis un segments ir tai perpendikulārs, tad aprakstītajā veidā izveidoto cilindru sauc par taisnu un apaļu. Tas ir parādīts zemāk esošajā attēlā.
Nav grūti uzminēt, ka šo formu var iegūt, pagriežot taisnstūri ap jebkuru tā malu.
Cilindram ir divas identiskas pamatnes, kas ir apļi, un sānu malacilindriska virsma. Pamatnes apli sauc par virzienu, un perpendikulārais segments, kas savieno dažādu pamatu apļus, ir figūras ģenerators.
Kā uzzināt apaļa taisna cilindra tilpumu?
Iepazīstoties ar cilindra definīciju, apsvērsim, kādi parametri jums jāzina, lai matemātiski aprakstītu tā raksturlielumus.
Attālums starp abām pamatnēm ir figūras augstums. Ir skaidrs, ka tas ir vienāds ar ģeneratora garumu. Augstumu apzīmēsim ar latīņu burtu h. Apļa rādiusu pie pamatnes apzīmē ar burtu r. To sauc arī par cilindra rādiusu. Ar diviem ievadītajiem parametriem pietiek, lai nepārprotami aprakstītu visas attiecīgās figūras īpašības.
Ņemot vērā cilindra ģeometrisko definīciju, tā tilpumu var aprēķināt, izmantojot šādu formulu:
V=Sh
Šeit S ir pamatnes laukums. Ņemiet vērā, ka jebkuram cilindram un jebkurai prizmai ir derīga uzrakstītā formula. Tomēr apaļam taisnam cilindram to ir diezgan ērti izmantot, jo augstums ir ģenerātors, un pamatnes laukumu S var noteikt, atceroties apļa laukuma formulu:
S=pir2
Tādējādi attiecīgā attēla tilpuma V darba formula tiks uzrakstīta šādi:
V=pir2h
Peldspējas spēks
Katrs skolēns zina, ka, iegremdējot priekšmetu ūdenī, tā svars kļūs mazāks. Šī fakta iemeslsir peldoša jeb Arhimēda spēka parādīšanās. Tas iedarbojas uz jebkuru ķermeni neatkarīgi no to formas un materiāla, no kura tie ir izgatavoti. Arhimēda spēku var noteikt pēc formulas:
FA=ρlgVl
Šeit ρl un Vl ir ķermeņa izspiestā šķidruma blīvums un tilpums. Ir svarīgi nejaukt šo apjomu ar ķermeņa apjomu. Tie sakritīs tikai tad, ja ķermenis būs pilnībā iegremdēts šķidrumā. Jebkurai daļējai iegremdēšanai Vl vienmēr ir mazāks par ķermeņa V.
Peldēšanas spēks FA tiek saukts tāpēc, ka tas ir vērsts vertikāli uz augšu, tas ir, tas ir pretējs gravitācijas virzienam. Dažādi spēka vektoru virzieni noved pie tā, ka ķermeņa svars jebkurā šķidrumā ir mazāks nekā gaisā. Taisnības labad jāatzīmē, ka gaisā visus ķermeņus ietekmē arī peldošais spēks, tomēr tas ir niecīgs, salīdzinot ar Arhimēda spēku ūdenī (800 reizes mazāks).
Ķermeņu svara atšķirību šķidrumā un gaisā izmanto, lai noteiktu cieto un šķidro vielu blīvumu. Šo metodi sauc par hidrostatisko svēršanu. Saskaņā ar leģendu, vispirms to izmantoja Arhimēds, lai noteiktu tā metāla blīvumu, no kura izgatavots vainags.
Izmantojiet iepriekš minēto formulu, lai noteiktu peldspējas spēku, kas iedarbojas uz misiņa cilindru.
Arhimēda spēka aprēķināšanas problēma, kas iedarbojas uz misiņa cilindru
Ir zināms, ka misiņa cilindra augstums ir 20 cm un diametrs 10 cm. Kāds būs Arhimēda spēks,kas sāks iedarboties uz viņu, ja cilindrs tiks iemests destilētā ūdenī.
Lai noteiktu peldspējas spēku uz misiņa cilindra, vispirms aplūkojiet tabulā redzamo misiņa blīvumu. Tas ir vienāds ar 8600 kg/m3 (tā ir tā blīvuma vidējā vērtība). Tā kā šī vērtība ir lielāka par ūdens blīvumu (1000 kg/m3), objekts nogrims.
Lai noteiktu Arhimēda spēku, pietiek atrast cilindra tilpumu un pēc tam izmantot iepriekš minēto formulu FA. Mums ir:
V=pir2h=3, 145220=1570 cm 3
Mēs formulā esam aizvietojuši rādiusa vērtību 5 cm, jo tā ir divas reizes mazāka par norādīto diametra uzdevuma nosacījumā.
Peldspējas spēkam mēs iegūstam:
FA=ρlgV=10009, 81157010-6 =15, 4 H
Šeit mēs esam konvertējuši skaļumu V uz m3.
Tādējādi uz ūdenī iegremdētu misiņa cilindru ar zināmiem izmēriem iedarbosies 15,4 N augšupvērsts spēks.
