Aprēķiniet leņķi starp taisni un plakni. Problēmu risināšanas koordinātu metode

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Viena no izplatītākajām stereometrijas problēmām ir uzdevumi šķērsot taisnes un plaknes un aprēķināt leņķus starp tām. Šajā rakstā sīkāk aplūkosim tā saukto koordinātu metodi un leņķus starp taisni un plakni.

Līnija un plakne ģeometrijā

Pirms apsvērt koordinātu metodi un leņķi starp taisni un plakni, jums vajadzētu iepazīties ar nosauktajiem ģeometriskiem objektiem.

Līnija ir tāds punktu kopums telpā vai plaknē, no kuriem katru var iegūt, lineāri pārnesot iepriekšējo uz noteiktu vektoru. Tālāk mēs apzīmējam šo vektoru ar simbolu u¯. Ja šo vektoru reizina ar jebkuru skaitli, kas nav vienāds ar nulli, tad iegūstam vektoru, kas ir paralēls u¯. Līnija ir lineārs bezgalīgs objekts.

Plakne ir arī punktu kopums, kas atrodas tā, ka, ja no tiem veido patvaļīgus vektorus, tad tie visi būs perpendikulāri kādam vektoram n¯. Pēdējo sauc par normālu vai vienkārši normālu. Plakne, atšķirībā no taisnes, ir divdimensiju bezgalīgs objekts.

Koordinātu metode ģeometrijas uzdevumu risināšanai

Pamatojoties uz pašas metodes nosaukumu, varam secināt, ka runa ir par problēmu risināšanas metodi, kuras pamatā ir analītisko secīgu aprēķinu veikšana. Citiem vārdiem sakot, koordinātu metode ļauj atrisināt ģeometriskas problēmas, izmantojot universālos algebras rīkus, no kuriem galvenie ir vienādojumi.

Jāatzīmē, ka aplūkotā metode parādījās mūsdienu ģeometrijas un algebras rītausmā. Lielu ieguldījumu tās attīstībā sniedza Renē Dekarts, Pjērs de Fermā, Īzaks Ņūtons un Leibnics 17.-18. gadsimtā.

Metodes būtība ir aprēķināt ģeometrisko elementu attālumus, leņķus, laukumus un tilpumus, pamatojoties uz zināmo punktu koordinātām. Ņemiet vērā, ka iegūto galīgo vienādojumu forma ir atkarīga no koordinātu sistēmas. Visbiežāk uzdevumos tiek izmantota taisnstūra Dekarta sistēma, jo ar to ir visērtāk strādāt.

Līnijas vienādojums

Ņemot vērā koordinātu metodi un leņķus starp taisni un plakni, sāksim ar taisnes vienādojuma uzstādīšanu. Ir vairāki veidi, kā attēlot līnijas algebriskā formā. Šeit tiek ņemts vērā tikai vektora vienādojums, jo to var viegli iegūt no tā jebkurā citā formā un ar to ir viegli strādāt.

Pieņemsim, ka ir divi punkti: P un Q. Ir zināms, ka caur tiem var novilkt līniju, unbūs vienīgais. Atbilstošais elementa matemātiskais attēlojums izskatās šādi:

(x, y, z)=P + λPQ¯.

Kur PQ¯ ir vektors, kura koordinātas iegūst šādi:

PQ¯=Q - P.

Simbols λ apzīmē parametru, kam var būt pilnīgi jebkurš skaitlis.

Rakstītajā izteiksmē var mainīt vektora virzienu, kā arī punkta P vietā aizstāt koordinātas Q. Visas šīs transformācijas neizraisīs izmaiņas līnijas ģeometriskajā atrašanās vietā.

Ņemiet vērā, ka, risinot problēmas, dažreiz ir nepieciešams attēlot uzrakstīto vektora vienādojumu skaidrā (parametriskā) formā.

Plaknes iestatīšana kosmosā

Tāpat kā taisnei, plaknei ir arī vairākas matemātisko vienādojumu formas. Starp tiem mēs atzīmējam vektoru, vienādojumu segmentos un vispārējo formu. Šajā rakstā īpašu uzmanību pievērsīsim pēdējai veidlapai.

Vispārīgu vienādojumu patvaļīgai plaknei var uzrakstīt šādi:

Ax + By + Cz + D=0.

Latīņu lielie burti ir noteikti cipari, kas definē plakni.

Šī apzīmējuma ērtība ir tāda, ka tajā ir skaidri ietverts plaknei normāls vektors. Tas ir vienāds ar:

n¯=(A, B, C).

Šī vektora zināšana ļauj, īsi aplūkojot plaknes vienādojumu, iedomāties tās atrašanās vietu koordinātu sistēmā.

Savstarpēja vienošanāslīnijas telpa un plakne

Nākamajā raksta rindkopā mēs pāriesim pie koordinātu metodes un leņķa starp taisni un plakni apsvērumiem. Šeit mēs atbildēsim uz jautājumu, kā aplūkotie ģeometriskie elementi var atrasties telpā. Ir trīs veidi:

Taisnējā līnija krusto plakni. Izmantojot koordinātu metodi, varat aprēķināt, kurā vienā punktā taisne un plakne krustojas.
Taisnes plakne ir paralēla. Šajā gadījumā ģeometrisko elementu vienādojumu sistēmai nav atrisinājuma. Lai pierādītu paralēlismu, parasti tiek izmantota taisnes virzošā vektora skalārā reizinājuma īpašība plaknes normālā.
Lidmašīnā ir līnija. Atrisinot vienādojumu sistēmu šajā gadījumā, mēs nonāksim pie secinājuma, ka jebkurai parametra λ vērtībai tiek iegūta pareizā vienādība.

Otrajā un trešajā gadījumā leņķis starp norādītajiem ģeometriskiem objektiem ir vienāds ar nulli. Pirmajā gadījumā tas ir no 0 līdz 90o.

Leņķu aprēķins starp līnijām un plaknēm

Tagad pāriesim tieši pie raksta tēmas. Jebkurš taisnes un plaknes krustojums notiek noteiktā leņķī. Šo leņķi veido pati taisne un tās projekcija uz plakni. Projekciju var iegūt, ja no jebkura taisnes punkta uz plakni nolaiž perpendikulu un pēc tam caur iegūto plaknes un perpendikula un plaknes un sākotnējās līnijas krustpunktu novelk taisna līnija, kas būs projekcija.

Leņķu aprēķināšana starp līnijām un plaknēm nav grūts uzdevums. Lai to atrisinātu, pietiek zināt atbilstošo ģeometrisko objektu vienādojumus. Pieņemsim, ka šie vienādojumi izskatās šādi:

(x, y, z)=(x₀, y₀, z_{0) + λ(a, b, c);}

Ax + By + Cz + D=0.

Vēlamo leņķi var viegli atrast, izmantojot skalāro vektoru u¯ un n¯ reizinājuma īpašību. Galīgā formula izskatās šādi:

θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).

Šī formula saka, ka leņķa sinuss starp taisni un plakni ir vienāds ar marķēto vektoru skalārās reizinājuma moduļa attiecību pret to garumu reizinājumu. Lai saprastu, kāpēc kosinusa vietā parādījās sinuss, pievērsīsimies tālāk redzamajam attēlam.

Var redzēt, ka, pielietojot kosinusa funkciju, mēs iegūsim leņķi starp vektoriem u¯ un n¯. Vēlamo leņķi θ (α attēlā) iegūst šādi:

θ=90o- β.

Sinuss parādās samazinājuma formulu piemērošanas rezultātā.

Problēmas piemērs

Pāriesim pie iegūto zināšanu praktiskas izmantošanas. Atrisināsim tipisku uzdevumu par leņķi starp taisni un plakni. Ir dotas šādas četru punktu koordinātes:

P=(1, -1, 0);

Q=(-1, 2, 2);

M=(0, 3, -1);

N=(-2, -1, 1).

Ir zināms, ka caur punktiem PQMcaur to iet plakne, bet caur MN iet taisne. Izmantojot koordinātu metodi, jāaprēķina leņķis starp plakni un taisni.

Vispirms pierakstīsim taisnes un plaknes vienādojumus. Taisnai līnijai to ir viegli izveidot:

MN¯=(-2, -4, 2)=>

(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).

Lai izveidotu plaknes vienādojumu, mēs vispirms atrodam tai normālu. Tās koordinātas ir vienādas ar vektoru reizinājumu diviem vektoriem, kas atrodas dotajā plaknē. Mums ir: