Ģeometrija ir matemātikas nozare, kas pēta struktūras telpā un attiecības starp tām. Savukārt tā arī sastāv no sadaļām, un viena no tām ir stereometrija. Tas paredz kosmosā izvietotu tilpuma figūru īpašību izpēti: kubs, piramīda, bumba, konuss, cilindrs utt.
Konuss ir ķermenis Eiklīda telpā, kas ierobežo konisku virsmu un plakni, uz kuras atrodas tā ģeneratoru gali. Tā veidošanās notiek taisnleņķa trijstūra griešanās procesā ap jebkuru tā kāju, tāpēc tas pieder pie apgriezienu ķermeņiem.
Konusa sastāvdaļas
Izšķir šādus konusu veidus: slīpi (vai slīpi) un taisni. Slīps ir tas, kura ass krustojas ar tās pamatnes centru nevis taisnā leņķī. Šī iemesla dēļ augstums šādā konusā nesakrīt ar asi, jo tas ir segments, kas ir nolaists no ķermeņa augšdaļas uz plakni.bāze pie 90°.
To konusu, kura ass ir perpendikulāra tā pamatnei, sauc par taisnu konusu. Ass un augstums šādā ģeometriskā korpusā sakrīt tāpēc, ka virsotne tajā atrodas virs pamatnes diametra centra.
Konuss sastāv no šādiem elementiem:
- Aplis, kas ir tā pamats.
- Sānu.
- Punkts, kas neatrodas pamatnes plaknē, ko sauc par konusa augšdaļu.
- Segmenti, kas savieno ģeometriskā ķermeņa pamatnes apļa punktus un tā virsotni.
Visi šie segmenti ir konusa ģenerātri. Tie ir slīpi pret ģeometriskā ķermeņa pamatni, un taisnā konusa gadījumā to projekcijas ir vienādas, jo virsotne atrodas vienādā attālumā no pamata apļa punktiem. Tādējādi varam secināt, ka regulārā (taisnā) konusā ģeneratori ir vienādi, tas ir, tiem ir vienāds garums un tie veido vienādus leņķus ar asi (vai augstumu) un pamatni.
Tā kā slīpā (vai slīpā) apgriezienu ķermenī virsotne ir nobīdīta attiecībā pret pamatplaknes centru, ģeneratoriem šādā ķermenī ir dažādi garumi un izvirzījumi, jo katrs no tiem atrodas atšķirīgā attālumā no jebkuriem diviem pamata apļa punktiem. Turklāt atšķirsies arī leņķi starp tiem un konusa augstumu.
Ģeneratoru garums labajā konusā
Kā rakstīts iepriekš, augstums taisnā ģeometriskā apgriezienu korpusā ir perpendikulārs pamatnes plaknei. Tādējādi pamatnes ģenerators, augstums un rādiuss veido taisnleņķa trīsstūri konusā.
Tas ir, zinot pamatnes rādiusu un augstumu, izmantojot Pitagora teorēmas formulu, varat aprēķināt ģenerātora garumu, kas būs vienāds ar bāzes rādiusa kvadrātu summu un augstums:
l2 =r2+ h2 vai l=√r 2 + h2
kur l ir ģenerātors;
r – rādiuss;
h – augstums.
Ģeneratīvs slīpā konusā
Pamatojoties uz to, ka slīpā vai slīpā konusā ģeneratori nav vienāda garuma, bez papildu konstrukcijām un aprēķiniem tos aprēķināt nebūs iespējams.
Vispirms ir jāzina augstums, ass garums un pamatnes rādiuss.
Izmantojot šos datus, varat aprēķināt rādiusa daļu, kas atrodas starp asi un augstumu, izmantojot Pitagora teorēmas formulu:
r1=√k2 - h2
kur r1 ir rādiusa daļa starp asi un augstumu;
k – ass garums;
h – augstums.
Saskaitot rādiusu (r) un tā daļu, kas atrodas starp asi un augstumu (r1), jūs varat uzzināt pilnu labās puses pusi trīsstūris, ko veido konusa ģenerātors, tā augstuma un diametra daļa:
R=r + r1
kur R ir trijstūra kāja, ko veido pamatnes augstums, ģenerārijs un daļa no diametra;
r – bāzes rādiuss;
r1 – daļa no rādiusa starp asi un augstumu.
Izmantojot to pašu formulu no Pitagora teorēmas, var atrast konusa ģenerātora garumu:
l=√h2+ R2
vai, nerēķinot R atsevišķi, apvienojiet abas formulas vienā:
l=√h2 + (r + r1)2.
Neskatoties uz to, vai tas ir taisns vai slīps konuss un kādi ir ievades dati, visas metodes ģenerātora garuma noteikšanai vienmēr ir vienā rezultātā - Pitagora teorēmas izmantošanā.
Konusa sadaļa
Konusa aksiālā daļa ir plakne, kas iet gar tā asi vai augstumu. Taisnā konusā šāds posms ir vienādsānu trīsstūris, kurā trijstūra augstums ir ķermeņa augstums, tā malas ir ģeneratori, bet pamatne ir pamatnes diametrs. Vienādmalu ģeometriskā ķermenī aksiālais griezums ir vienādmalu trīsstūris, jo šajā konusā pamatnes diametrs un ģeneratori ir vienādi.
Aksiālā griezuma plakne taisnā konusā ir tās simetrijas plakne. Iemesls tam ir tas, ka tā augšdaļa atrodas virs pamatnes centra, tas ir, aksiālās sekcijas plakne sadala konusu divās identiskās daļās.
Tā kā slīpā cietā elementā augstums un ass nesakrīt, aksiālās sekcijas plakne var neiekļaut augstumu. Ja šādā konusā ir iespējams konstruēt aksiālo griezumu kopu, jo tam ir jāievēro tikai viens nosacījums - tam jātiek tikai caur asi, tad tikai viens plaknes aksiālais griezums, kas piederēs pie augstuma šo konusu var novilkt, jo nosacījumu skaits palielinās, un, kā zināms, divas līnijas (kopā) var piederēttikai viena lidmašīna.
Sadaļas apgabals
Iepriekš minētā konusa aksiālā daļa ir trīsstūris. Pamatojoties uz to, tā laukumu var aprēķināt, izmantojot trijstūra laukuma formulu:
S=1/2dh vai S=1/22rh
kur S ir šķērsgriezuma laukums;
d – pamatnes diametrs;
r – rādiuss;
h – augstums.
Slīpā jeb slīpā konusā posms gar asi ir arī trīsstūris, tāpēc šķērsgriezuma laukums tajā tiek aprēķināts līdzīgi.
Skaļums
Tā kā konuss ir trīsdimensiju figūra trīsdimensiju telpā, mēs varam aprēķināt tā tilpumu. Konusa tilpums ir skaitlis, kas raksturo šo ķermeni tilpuma vienībā, tas ir, m3. Aprēķins nav atkarīgs no tā, vai tas ir taisns vai slīps (slīps), jo šo divu veidu ķermeņu formulas neatšķiras.
Kā minēts iepriekš, taisnleņķa konuss veidojas taisnleņķa trijstūra rotācijas dēļ gar vienu no tā kājām. Slīps vai slīps konuss tiek veidots atšķirīgi, jo tā augstums ir novirzīts prom no ķermeņa pamatplaknes centra. Tomēr šādas struktūras atšķirības neietekmē tā apjoma aprēķināšanas metodi.
Skaļuma aprēķins
Jebkura konusa tilpuma formula izskatās šādi:
V=1/3πhr2
kur V ir konusa tilpums;
h – augstums;
r – rādiuss;
π - konstante, kas vienāda ar 3, 14.
Lai aprēķinātu konusa tilpumu, ir nepieciešami dati par ķermeņa pamatnes augstumu un rādiusu.
Lai aprēķinātu ķermeņa augstumu, jums jāzina pamatnes rādiuss un tā ģenerātora garums. Tā kā rādiuss, augstums un generatrix ir apvienoti taisnleņķa trīsstūrī, augstumu var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmas formulu (a2+ b2=c 2 vai mūsu gadījumā h2+ r2=l2 , kur l - ģenerātors). Šajā gadījumā augstums tiks aprēķināts, izvelkot kvadrātsakni no starpības starp hipotenūzas un otras kājas kvadrātiem:
a=√c2- b2
Tas ir, konusa augstums būs vienāds ar vērtību, kas iegūta pēc kvadrātsaknes iegūšanas no starpības starp ģenerātora garuma kvadrātu un pamatnes rādiusa kvadrātu:
h=√l2 - r2
Aprēķinot augstumu, izmantojot šo metodi un zinot tā pamatnes rādiusu, varat aprēķināt konusa tilpumu. Šajā gadījumā ģenerātoram ir svarīga loma, jo tā kalpo kā palīgelements aprēķinos.
Līdzīgi, ja zināt ķermeņa augstumu un tā ģeneratora garumu, varat atrast tā pamatnes rādiusu, izvelkot kvadrātsakni no starpības starp ģenerātora kvadrātu un augstuma kvadrātu.:
r=√l2 - h2
Pēc tam, izmantojot to pašu formulu kā iepriekš, aprēķiniet konusa tilpumu.
Slīpa konusa tilpums
Tā kā konusa tilpuma formula ir vienāda visiem apgriezienu ķermeņa veidiem, atšķirība tās aprēķinā ir augstuma meklējumos.
Lai uzzinātu slīpa konusa augstumu, ievades datos jāiekļauj ģeneratora garums, pamatnes rādiuss un attālums starp centrupamatne un ķermeņa augstuma krustpunkts ar tā pamatnes plakni. Zinot to, jūs varat viegli aprēķināt to pamatnes diametra daļu, kas būs taisnleņķa trīsstūra pamatne (ko veido pamatnes augstums, ģenerātors un plakne). Pēc tam, vēlreiz izmantojot Pitagora teorēmu, aprēķiniet konusa augstumu un pēc tam tā tilpumu.
