Ģeometrijā figūru pētīšanai tiek izmantoti divi svarīgi raksturlielumi: malu garumi un leņķi starp tām. Telpisku figūru gadījumā šiem raksturlielumiem pievieno divšķautņu leņķus. Apskatīsim, kas tas ir, un arī aprakstīsim šo leņķu noteikšanas metodi, izmantojot piramīdas piemēru.
Diedrāla leņķa jēdziens
Ikviens zina, ka divas krustojošās taisnes veido leņķi ar virsotni to krustpunktā. Šo leņķi var izmērīt ar transportieri, vai arī varat izmantot trigonometriskās funkcijas, lai to aprēķinātu. Leņķi, ko veido divi taisnleņķi, sauc par lineāru.
Tagad iedomājieties, ka trīsdimensiju telpā ir divas plaknes, kas krustojas taisnā līnijā. Tie ir parādīti attēlā.
Diedrālais leņķis ir leņķis starp divām krustojošām plaknēm. Tāpat kā lineāro, to mēra grādos vai radiānos. Ja uz jebkuru punktu no līnijas, pa kuru plaknes krustojas, atjauno divus perpendikulus,atrodas šajās plaknēs, tad leņķis starp tām būs vēlamais divskaldnis. Vienkāršākais veids, kā noteikt šo leņķi, ir izmantot vispārīgos plakņu vienādojumus.
Līkņu vienādojums un leņķa formula starp tām
Jebkuras telpas plaknes vienādojums vispārīgi tiek uzrakstīts šādi:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Šeit x, y, z ir plaknei piederošo punktu koordinātes, koeficienti A, B, C, D ir daži zināmi skaitļi. Šīs vienlīdzības ērtība divskaldņu leņķu aprēķināšanai ir tāda, ka tajā ir skaidri ietvertas plaknes virziena vektora koordinātas. Mēs to apzīmēsim ar n¯. Pēc tam:
n¯=(A; B; C).
Vektors n¯ ir perpendikulārs plaknei. Leņķis starp divām plaknēm ir vienāds ar leņķi starp to virziena vektoriem n1¯ un n2¯. No matemātikas ir zināms, ka divu vektoru veidotais leņķis ir unikāli noteikts no to skalārā reizinājuma. Tas ļauj uzrakstīt formulu divskaldņa leņķa aprēķināšanai starp divām plaknēm:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Ja mēs aizvietosim vektoru koordinātas, formula tiks uzrakstīta skaidri:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Moduļa zīme skaitītājā tiek izmantota, lai definētu tikai akūtu leņķi, jo divšķautņu leņķis vienmēr ir mazāks vai vienāds ar 90o.
Piramīda un tās stūri
Piramīda ir figūra, ko veido viens n-stūris un n trīsstūri. Šeit n ir vesels skaitlis, kas vienāds ar daudzstūra malu skaitu, kas ir piramīdas pamats. Šī telpiskā figūra ir daudzskaldnis vai daudzskaldnis, jo tā sastāv no plakanām virsmām (malām).
Piramīdas-daudzskaldņa divskaldņu leņķi var būt divu veidu:
- starp pamatni un malu (trijstūris);
- starp divām pusēm.
Ja piramīdu uzskata par regulāru, tad tai ir viegli noteikt nosauktos leņķus. Lai to izdarītu, izmantojot trīs zināmu punktu koordinātas, jāsastāda plakņu vienādojums un pēc tam jāizmanto iepriekšējā punktā dotā formula leņķim φ.
Zemāk ir sniegts piemērs, kurā parādīts, kā atrast divstūrveida leņķus regulāras četrstūra piramīdas pamatnē.
Četrstūru regulāra piramīda un leņķis tās pamatnē
Pieņemsim, ka ir dota regulāra piramīda ar kvadrātveida pamatni. Kvadrāta malas garums ir a, figūras augstums ir h. Atrodiet leņķi starp piramīdas pamatni un tās malu.
Novietosim koordinātu sistēmas sākumpunktu kvadrāta centrā. Tad punktu koordinātasAttēlā redzamais A, B, C, D būs:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Apsveriet plaknes ACB un ADB. Acīmredzot virziena vektors n1¯ ACB plaknei būs:
1¯=(0; 0; 1).
Lai noteiktu ADB plaknes virziena vektoru n2¯, rīkojieties šādi: atrodiet divus patvaļīgus vektorus, kas tai pieder, piemēram, AD¯ un AB¯, tad aprēķiniet to vektora darbu. Tā rezultāts dos koordinātas n2¯. Mums ir:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Tā kā vektora reizināšana un dalīšana ar skaitli nemaina tā virzienu, mēs pārveidojam iegūto n2¯, dalot tā koordinātas ar -a, iegūstam:
2¯=(h; 0; a/2).
Mēs esam definējuši vektoru vadotnes n1¯ un n2¯ ACB bāzes un ADB sānu plaknēm. Atliek izmantot leņķa φ formulu:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Pārveidojiet iegūto izteiksmi un pārrakstiet to šādi:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Esam ieguvuši formulu regulāras četrstūra piramīdas diedrāla leņķim pie pamatnes. Zinot figūras augstumu un tās malas garumu, varat aprēķināt leņķi φ. Piemēram, Heopsa piramīdai, kuras pamatnes mala ir 230,4 metri un sākotnējais augstums bija 146,5 metri, leņķis φ būs 51,8o.
Ar ģeometrisko metodi iespējams noteikt arī divstūrveida leņķi četrstūrveida regulārai piramīdai. Lai to izdarītu, pietiek ņemt vērā taisnleņķa trīsstūri, ko veido augstums h, puse no pamatnes garuma a/2 un vienādsānu trīsstūra apotēma.
