Tipiski jebkuras piramīdas lineārie parametri ir tās pamatnes malu garums, augstums, sānu malas un apotēmas. Tomēr ir vēl viena īpašība, kas ir saistīta ar atzīmētajiem parametriem - tas ir divskaldņu leņķis. Apsveriet rakstā, kas tas ir un kā to atrast.
Telpiskā figūru piramīda
Katram skolēnam ir labs priekšstats par to, kas ir apdraudēts, dzirdot vārdu "piramīda". To var izveidot ģeometriski šādi: atlasiet noteiktu daudzstūri, pēc tam nofiksējiet punktu telpā un savienojiet to ar katru daudzstūra stūri. Iegūtā trīsdimensiju figūra būs patvaļīga tipa piramīda. Daudzstūri, kas to veido, sauc par pamatu, un punkts, ar kuru ir savienoti visi tā stūri, ir figūras virsotne. Zemāk esošajā attēlā shematiski parādīta piecstūra piramīda.
Var redzēt, ka tā virsmu veido ne tikai piecstūris, bet arī pieci trīsstūri. Kopumā šo trīsstūru skaits būs vienāds ar skaitlidaudzstūra pamatnes malas.
Figūras divskaldņu leņķi
Aplūkojot ģeometriskās problēmas plaknē, jebkuru leņķi veido divas krustojošas taisnes vai segmenti. Telpā šiem lineārajiem leņķiem tiek pievienoti divskaldņu leņķi, kurus veido divu plakņu krustošanās.
Ja uz attiecīgo figūru attiecina iezīmēto leņķa definīciju telpā, tad varam teikt, ka ir divu veidu divskaldņu leņķi:
- Piramīdas pamatnē. To veido pamatnes plakne un jebkura sānu virsma (trijstūris). Tas nozīmē, ka piramīdas pamata leņķi ir n, kur n ir daudzstūra malu skaits.
- Starp malām (trijstūri). Šo divšķautņu leņķu skaits arī ir n gabali.
Ņemiet vērā, ka pirmais aplūkojamo leņķu veids ir veidots uz pamatnes malām, otrais veids - uz sānu malām.
Kā aprēķināt piramīdas leņķus?
Diedrāla leņķa lineārais leņķis ir tā mērs. To nav viegli aprēķināt, jo piramīdas skaldnes, atšķirībā no prizmas skaldnēm, parasti nekrustojas taisnā leņķī. Visticamāk ir aprēķināt divskaldņu leņķu vērtības, izmantojot plaknes vienādojumus vispārīgā formā.
Trīsdimensiju telpā plakni nosaka ar šādu izteiksmi:
Ax + By + Cz + D=0
Kur A, B, C, D ir daži reāli skaitļi. Šī vienādojuma ērtība ir tāda, ka pirmie trīs atzīmētie skaitļi ir vektora koordinātas,kas ir perpendikulāra dotajai plaknei, t.i.:
n¯=[A; B; C]
Ja ir zināmas trīs plaknei piederošo punktu koordinātas, tad, ņemot divu uz šiem punktiem uzbūvētu vektoru vektorreizinājumu, var iegūt koordinātas n¯. Vektoru n¯ sauc par plaknes ceļvedi.
Saskaņā ar definīciju divu plakņu krustpunktā veidotais divskaldņu leņķis ir vienāds ar lineāro leņķi starp to virziena vektoriem. Pieņemsim, ka mums ir divas plaknes, kuru normālie vektori ir vienādi:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Lai aprēķinātu leņķi φ starp tiem, varat izmantot skalārās reizinājuma īpašību, tad atbilstošā formula kļūst:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Vai koordinātu formā:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Parādīsim, kā izmantot iepriekš minēto metodi divskaldņu leņķu aprēķināšanai, risinot ģeometriskus uzdevumus.
Parastas četrstūra piramīdas leņķi
Pieņemsim, ka ir regulāra piramīda, kuras pamatnē ir kvadrāts ar malu 10 cm. Figūras augstums ir12 cm. Jāaprēķina, kādi ir diedrālie leņķi piramīdas pamatnē un tās malām.
Tā kā uzdevuma nosacījumā norādītais skaitlis ir pareizs, tas ir, tam ir augsta simetrija, tad visi leņķi pie pamatnes ir vienādi. Arī sānu virsmu veidotie leņķi ir vienādi. Lai aprēķinātu nepieciešamos divvirsmas leņķus, mēs atrodam virziena vektorus pamatnei un divām sānu plaknēm. Apzīmējiet pamatnes malas garumu ar burtu a un augstumu h.
Augšējā attēlā redzama četrstūrveida regulāra piramīda. Izrakstīsim punktu A, B, C un D koordinātas atbilstoši ievadītajai koordinātu sistēmai:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Tagad mēs atrodam virziena vektorus pamatplaknēm ABC un abām malām ABD un BCD saskaņā ar metodi, kas aprakstīta iepriekšējā punktā:
ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Tagad atliek piemērot atbilstošu formulu leņķim φ un aizstāt sānu un augstuma vērtības no problēmas paziņojuma:
Leņķis starp ABC unABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2) /4)))=67, 38o
Leņķis starp ABD un BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
Mēs aprēķinājām leņķu vērtības, kas bija jāatrod pēc problēmas stāvokļa. Problēmas risināšanā iegūtās formulas var izmantot, lai noteiktu četrstūrveida regulāru piramīdu divskaldņu leņķus ar jebkurām a un h vērtībām.
Trīsstūrveida regulāras piramīdas leņķi
Zemāk redzamajā attēlā parādīta piramīda, kuras pamats ir regulārs trīsstūris. Ir zināms, ka divšķautņu leņķis starp malām ir pareizs. Ir nepieciešams aprēķināt pamatnes laukumu, ja ir zināms, ka figūras augstums ir 15 cm.
Diedrāls leņķis, kas vienāds ar 90o, attēlā ir apzīmēts kā ABC. Jūs varat atrisināt problēmu, izmantojot iepriekš minēto metodi, taču šajā gadījumā mēs to izdarīsim vienkāršāk. Apzīmēsim trijstūra malu a, figūras augstumu - h, apotēmu - hb un maluriba - b. Tagad varat uzrakstīt šādas formulas:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Tā kā abi sānu trīsstūri piramīdā ir vienādi, malas AB un CB ir vienādas un ir trīsstūra ABC kājas. Apzīmēsim to garumu ar x, pēc tam:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Izlīdzinot sānu trīsstūru laukumus un aizstājot apotēmu ar atbilstošo izteiksmi, mēs iegūstam:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Vienmalu trīsstūra laukumu aprēķina šādi:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Aizvietojiet augstuma vērtību ar uzdevuma nosacījumu, mēs saņemam atbildi: S=584, 567 cm2.
