Kas ir mainīgie? Mainīgais matemātikā

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Mainīgo nozīme matemātikā ir liela, jo tās pastāvēšanas laikā zinātniekiem šajā jomā izdevies izdarīt daudz atklājumu, un, lai īsi un skaidri pateiktu vienu vai otru teorēmu, mēs izmantojam mainīgos, lai uzrakstītu atbilstošās formulas. Piemēram, Pitagora teorēma taisnleņķa trijstūrim: a² =b² + c^{2. Kā rakstīt katru reizi, risinot uzdevumu: saskaņā ar Pitagora teorēmu hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu - mēs to pierakstām ar formulu, un viss uzreiz kļūst skaidrs.}

Tātad, šajā rakstā tiks apspriests, kas ir mainīgie, to veidi un īpašības. Tiks aplūkotas arī dažādas matemātiskas izteiksmes: nevienādības, formulas, sistēmas un to risināšanas algoritmi.

Mainīgs jēdziens

Pirmkārt, kas ir mainīgais? Šī ir skaitliska vērtība, kas var iegūt daudzas vērtības. Tas nevar būt nemainīgs, jo dažādās problēmās un vienādojumos ērtības labad mēs pieņemam risinājumus kāmainīgie dažādi skaitļi, tas ir, piemēram, z ir vispārīgs apzīmējums katram daudzumam, kuram tas ņemts. Parasti tos apzīmē ar latīņu vai grieķu alfabēta burtiem (x, y, a, b un tā tālāk).

Ir dažāda veida mainīgie. Tie nosaka gan dažus fiziskus lielumus - ceļu (S), laiku (t), gan vienkārši nezināmas vērtības vienādojumos, funkcijās un citās izteiksmēs.

Piemēram, ir formula: S=Vt. Šeit mainīgie apzīmē noteiktus lielumus, kas saistīti ar reālo pasauli – ceļu, ātrumu un laiku.

Un ir formas vienādojums: 3x - 16=12x. Šeit x jau tiek uzskatīts par abstraktu skaitli, kam ir jēga šajā apzīmējumā.

Daudzumu veidi

Summa nozīmē kaut ko tādu, kas izsaka noteikta objekta, vielas vai parādības īpašības. Piemēram, gaisa temperatūra, dzīvnieka svars, vitamīnu procentuālais daudzums tabletē - tie visi ir daudzumi, kuru skaitliskās vērtības var aprēķināt.

Katram daudzumam ir savas mērvienības, kas kopā veido sistēmu. To sauc par skaitļu sistēmu (SI).

Kas ir mainīgie un konstantes? Apsveriet tos ar konkrētiem piemēriem.

Ņemsim taisnu un vienmērīgu kustību. Punkts telpā katru reizi pārvietojas ar tādu pašu ātrumu. Tas ir, laiks un attālums mainās, bet ātrums paliek nemainīgs. Šajā piemērā laiks un attālums ir mainīgi, un ātrums ir nemainīgs.

Vai, piemēram, “pi”. Tas ir neracionāls skaitlis, kas turpinās bez atkārtošanāsciparu secība un to nevar uzrakstīt pilnībā, tāpēc matemātikā to izsaka ar vispārpieņemtu simbolu, kas ņem tikai dotās bezgalīgās daļas vērtību. Tas nozīmē, ka “pi” ir nemainīga vērtība.

Vēsture

Mainīgo apzīmēšanas vēsture sākas septiņpadsmitajā gadsimtā ar zinātnieku Renē Dekartu.

Viņš apzīmēja zināmās vērtības ar alfabēta pirmajiem burtiem: a, b un tā tālāk, un nezināmajam ieteica izmantot pēdējos burtus: x, y, z. Zīmīgi, ka Dekarts šādus mainīgos uzskatīja par nenegatīviem skaitļiem un, saskaroties ar negatīviem parametriem, mainīgā lieluma priekšā ielika mīnusa zīmi vai, ja nebija zināms, kāda zīme ir skaitlis, elipsi. Taču laika gaitā mainīgo lielumu nosaukumi sāka apzīmēt jebkuras zīmes skaitļus, un tas sākās ar matemātiķi Johanu Hadu.

Ar mainīgajiem aprēķinus matemātikā ir vieglāk atrisināt, jo, piemēram, kā mēs tagad risinām bikvadrātiskos vienādojumus? Mēs ievadām mainīgo. Piemēram:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Par x2 mēs ņemam kādu k, un vienādojums kļūst skaidrs:

x2=k, ja k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

To matemātikā sniedz mainīgo lielumu ieviešana.

Nevienlīdzības, risinājumu piemēri

Nevienādība ir ieraksts, kurā divas matemātiskas izteiksmes vai divi skaitļi ir savienoti ar salīdzināšanas zīmēm:, ≦, ≧. Tie ir stingri un norādīti ar zīmēm vai nav stingri ar zīmēm ≦, ≧.

Pirmo reizi šīs zīmes ieviestasTomass Hariots. Pēc Tomasa nāves tika izdota viņa grāmata ar šiem apzīmējumiem, matemātiķiem tie patika, un laika gaitā tos plaši izmantoja matemātiskajos aprēķinos.

Ir vairāki noteikumi, kas jāievēro, risinot viena mainīgā nevienādības:

Pārnesot skaitli no vienas nevienādības daļas uz citu, nomainiet tā zīmi uz pretējo.
Reizinot vai dalot nevienādības daļas ar negatīvu skaitli, to zīmes tiek apgrieztas.
Ja reizinat vai dalot abas nevienādības puses ar pozitīvu skaitli, jūs iegūsit nevienādību, kas vienāda ar sākotnējo.

Nevienādības risināšana nozīmē visu mainīgā lieluma derīgo vērtību atrašanu.

Viena mainīgā piemērs:

10x - 50 > 150

Atrisinām kā parastu lineāru vienādojumu - terminus ar mainīgo pārvietojam pa kreisi, bez mainīgā - pa labi un dodam līdzīgus terminus:

10x > 200

Mēs sadalām abas nevienādības puses ar 10 un iegūstam:

x > 20

Skaidrības labad nevienādības ar vienu mainīgo atrisināšanas piemērā novelciet skaitļa līniju, atzīmējiet uz tās caurdurto punktu 20, jo nevienlīdzība ir stingra, un šis skaitlis nav iekļauts tās atrisinājumu kopā.

Šīs nevienādības risinājums ir intervāls (20; +∞).

Nestingras nevienlīdzības risinājums tiek veikts tāpat kā stingrās nevienlīdzības risinājums:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Bet ir viens izņēmums. Ieraksts formā x ≧ 5 jāsaprot šādi: x ir lielāks vai vienāds ar pieci, kas nozīmēskaitlis pieci ir iekļauts visu nevienlīdzības atrisinājumu kopā, tas ir, rakstot atbildi, skaitļa pieci priekšā ievietojam kvadrātiekava.

x ∈ [5; +∞)

Kvadrātu nevienādības

Ja ņemam kvadrātvienādojumu formā ax2 + bx +c=0 un mainīsim tajā vienādības zīmi pret nevienlīdzības zīmi, tad attiecīgi iegūsim kvadrātiskā nevienlīdzība.

Lai atrisinātu kvadrātvienādību, jums ir jāspēj atrisināt kvadrātvienādojumi.

y=ax2 + bx + c ir kvadrātiskā funkcija. Mēs to varam atrisināt, izmantojot diskriminantu vai Vieta teorēmu. Atgādiniet, kā šie vienādojumi tiek atrisināti:

1) y=x2 + 12x + 11 - funkcija ir parabola. Tās atzari ir vērsti uz augšu, jo koeficienta "a" zīme ir pozitīva.

2) x2 + 12x + 11=0 - pielīdziniet nullei un atrisiniet, izmantojot diskriminantu.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 saknes

Pēc kvadrātvienādojuma sakņu formulas iegūstam:

x₁ =-1, x_2=-11

Vai arī jūs varētu atrisināt šo vienādojumu, izmantojot Vieta teorēmu:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Izmantojot atlases metodi, mēs iegūstam tās pašas vienādojuma saknes.

Parabola

Tātad, pirmais veids, kā atrisināt kvadrātvienādību, ir parabola. Tā risināšanas algoritms ir šāds:

1. Nosakiet, kur ir vērsti parabolas zari.

2. Pielīdziniet funkciju nullei un atrodiet vienādojuma saknes.

3. Mēs izveidojam skaitļa līniju, atzīmējam tajā saknes, uzzīmējam parabolu un atrodam vajadzīgo atstarpi atkarībā no nevienlīdzības zīmes.

Atrisiniet nevienlīdzību x2 + x - 12 > 0

Izrakstiet kā funkciju:

1) y=x2 + x - 12 - parabola, zari uz augšu.

Iestatīt uz nulli.

2) x2 + x -12=0

Tālāk mēs atrisinām kā kvadrātvienādojumu un atrodam funkcijas nulles:

x₁ =3, x_2=-4

3) Uzzīmējiet skaitļu līniju ar punktiem 3 un -4. Parabola izies cauri tām, sazarosies un atbilde uz nevienlīdzību būs pozitīvu vērtību kopa, tas ir, (-∞; -4), (3; +∞).

Intervāla metode

Otrais veids ir atstarpes metode. Algoritms tā risināšanai:

1. Atrodiet saknes vienādojumam, kuram nevienādība ir vienāda ar nulli.

2. Mēs tos atzīmējam uz skaitļu līnijas. Tādējādi tas ir sadalīts vairākos intervālos.

3. Nosakiet jebkura intervāla zīmi.

4. Izvietojam zīmes atlikušajos intervālos, mainot tās pēc viena.

Atrisiniet nevienādību (x - 4) (x - 5) (x + 7) ≦ 0

1) Nevienlīdzības nulles: 4, 5 un -7.

2) Uzzīmējiet tos uz skaitļu līnijas.

3) Nosakiet intervālu zīmes.

Atbilde: (-∞; -7]; [4; 5].

Atrisiniet vēl vienu nevienlīdzību: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Nevienlīdzības nulles: 0, 2, -2 un 1.

2. Atzīmējiet tos skaitļu rindā.

3. Nosakiet intervāla zīmes.

Rinda ir sadalīta intervālos - no -2 līdz 0, no 0 līdz 1, no 1 līdz 2.

Ņemiet vērtību pirmajā intervālā - (-1). Aizvietotājs nevienlīdzībā. Ar šo vērtību nevienlīdzība kļūst pozitīva, kas nozīmē, ka zīme šajā intervālā būs +.

Turpmāk, sākot no pirmās spraugas, kārtojam zīmes, mainot tās pēc vienas.

Nevienādība ir lielāka par nulli, tas ir, rindā jāatrod pozitīvu vērtību kopa.

Atbilde: (-2; 0), (1; 2).

Vienādojumu sistēmas

Vienādojumu sistēma ar diviem mainīgajiem ir divi vienādojumi, kas savienoti ar cirtainu figūriekavu, kuriem jāatrod kopīgs risinājums.

Sistēmas var būt līdzvērtīgas, ja vienas no tām vispārējais risinājums ir otras risinājums, vai arī abām nav risinājumu.

Pētīsim vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem atrisinājumu. Ir divi veidi, kā tos atrisināt – ar aizstāšanas metodi vai algebrisko metodi.

Algebriskā metode

Lai ar šo metodi atrisinātu attēlā redzamo sistēmu, vispirms ir jāreizina viena no tās daļām ar šādu skaitli, lai vēlāk varētu savstarpēji atcelt vienu mainīgo no abām vienādojuma daļām. Šeit mēs reizinām ar trīs, novelkam līniju zem sistēmas un saskaitām tās daļas. Rezultātā x kļūst identiski pēc moduļa, bet pretēji zīmei, un mēs tos samazinām. Tālāk mēs iegūstam lineāru vienādojumu ar vienu mainīgo un atrisinām to.

Mēs atradām Y, bet nevaram pie tā apstāties, jo vēl neesam atraduši X. AizstājējsY uz daļu, no kuras būs ērti izņemt X, piemēram:

-x + 5y=8, ar y=1

-x + 5=8

Atrisiniet iegūto vienādojumu un atrodiet x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Sistēmas risinājumā galvenais ir pareizi pierakstīt atbildi. Daudzi skolēni pieļauj kļūdu, rakstot:

Atbilde: -3, 1.

Bet šis ir nepareizs ieraksts. Galu galā, kā jau minēts iepriekš, risinot vienādojumu sistēmu, mēs meklējam vispārīgu risinājumu tās daļām. Pareizā atbilde būtu:

(-3; 1)