Aritmētiskā kvadrātsakne un tās īpašības

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Mēs visi skolā algebras stundā mācījāmies aritmētikas kvadrātsaknes. Gadās, ja zināšanas netiek atsvaidzinātas, tad tās ātri aizmirstas, tas pats ar saknēm. Šis raksts noderēs astoto klašu skolēniem, kuri vēlas atsvaidzināt savas zināšanas šajā jomā, un citiem skolēniem, jo mēs strādājam ar saknēm 9., 10. un 11. klasē.

Saknes un pakāpes vēsture

Pat senatnē un īpaši senajā Ēģiptē cilvēkiem bija nepieciešami grādi, lai veiktu darbības ar skaitļiem. Kad šāda jēdziena nebija, ēģiptieši divdesmit reizes pierakstīja vienāda skaitļa reizinājumu. Taču drīz vien tika izgudrots problēmas risinājums – augšējā labajā stūrī virs tā sāka rakstīt, cik reižu skaitlis jāreizina pats ar sevi, un šāda ieraksta forma ir saglabājusies līdz mūsdienām.

Kvadrātsaknes vēsture sākās apmēram pirms 500 gadiem. Tas tika apzīmēts dažādos veidos, un tikai septiņpadsmitajā gadsimtā Renē Dekarts ieviesa šādu zīmi, ko lietojam līdz pat šai dienai.

Kas ir kvadrātsakne

Sāksim, paskaidrojot, kas ir kvadrātsakne. Kāda skaitļa c kvadrātsakne ir nenegatīvs skaitlis, kas kvadrātā būs vienāds ar c. Šajā gadījumā c ir lielāks vai vienāds ar nulli.

Lai ievietotu skaitli zem saknes, mēs to kvadrātā un virs tā ievietojam saknes zīmi:

32=9, 3=√9

Arī mēs nevaram iegūt negatīva skaitļa kvadrātsaknes vērtību, jo jebkurš skaitlis kvadrātā ir pozitīvs, tas ir:

c² ≧ 0, ja √c ir negatīvs skaitlis, tad c^{2 < 0 - pretēji likumam.}

Lai ātri aprēķinātu kvadrātsaknes, jums jāzina skaitļu kvadrātu tabula.

Properties

Apskatīsim kvadrātsaknes algebriskās īpašības.

1) Lai iegūtu reizinājuma kvadrātsakni, ir jāņem katra faktora sakne. Tas ir, to var uzrakstīt kā faktoru sakņu reizinājumu:

√ac=√a × √c, piemēram:

√36=√4 × √9

2) Izvelkot sakni no daļskaitļa, sakne ir jāizņem atsevišķi no skaitītāja un saucēja, tas ir, ierakstiet to kā to sakņu koeficientu.

3) Vērtība, kas iegūta, ņemot skaitļa kvadrātsakni, vienmēr ir vienāda ar šī skaitļa moduli, jo modulis var būt tikai pozitīvs:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Lai paceltu sakni jebkuram spēkam, mēs paaugstinām līdz tairadikāla izteiksme:

(√с)⁴=√с^{4, piemēram:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) C aritmētiskās saknes kvadrāts ir vienāds ar pašu skaitli:

(√s)2=s.

Iracionālu skaitļu saknes

Pieņemsim, ka skaitļa sešpadsmit sakne ir vienkārša, bet kā ņemt sakni no skaitļiem, piemēram, 7, 10, 11?

Ciparu, kura sakne ir bezgalīga neperiodiska daļa, sauc par iracionālu. Mēs paši nevaram no tā izvilkt sakni. Mēs to varam salīdzināt tikai ar citiem skaitļiem. Piemēram, ņemiet sakni no 5 un salīdziniet to ar √4 un √9. Ir skaidrs, ka √4 < √5 < √9, pēc tam 2 < √5 < 3. Tas nozīmē, ka pieci saknes vērtība ir kaut kur starp divi un trīs, bet starp tām ir daudz decimāldaļu, un katra izvēle ir apšaubāms veids, kā atrast sakni.

Šo darbību var veikt ar kalkulatoru – tas ir vienkāršākais un ātrākais veids, bet 8. klasē jums nekad nebūs jāizņem iracionāli skaitļi no aritmētiskās kvadrātsaknes. Jums jāatceras tikai aptuvenās divu saknes un trīs saknes vērtības:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Piemēri

Tagad, pamatojoties uz kvadrātsaknes īpašībām, mēs atrisināsim vairākus piemērus:

1) √17² - 8²

Atcerieties kvadrātu atšķirības formulu:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Mēs zinām aritmētiskās kvadrātsaknes īpašību - lai no reizinājuma izvilktu sakni, tā ir jāizņem no katra faktora:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Pielietojiet citu saknes īpašību - skaitļa aritmētiskās saknes kvadrāts ir vienāds ar pašu skaitli:

2 × 3 + 6=12

Svarīgi! Bieži vien, sākot strādāt un risināt piemērus ar aritmētiskām kvadrātsaknēm, skolēni pieļauj šādu kļūdu:

√12 + 3=√12 + √3 - jūs to nevarat izdarīt!

Mēs nevaram ņemt katra termina sakni. Šāda noteikuma nav, taču tas tiek sajaukts ar katra faktora saknes meklēšanu. Ja mums būtu šāds ieraksts:

√12 × 3, tad būtu godīgi rakstīt √12 × 3=√12 × √3.

Un tāpēc mēs varam tikai rakstīt:

√12 + 3=√15