Daži matemātikas uzdevumi prasa spēju aprēķināt kvadrātsakni. Šīs problēmas ietver otrās kārtas vienādojumu atrisināšanu. Šajā rakstā mēs piedāvājam efektīvu metodi kvadrātsakņu aprēķināšanai un izmantojam to, strādājot ar kvadrātvienādojuma sakņu formulām.
Kas ir kvadrātsakne?
Matemātikā šis jēdziens atbilst simbolam √. Vēstures dati liecina, ka to pirmo reizi sāka lietot aptuveni 16. gadsimta pirmajā pusē Vācijā (pirmais vācu darbs par algebru, ko veidojis Kristofs Rūdolfs). Zinātnieki uzskata, ka šis simbols ir pārveidots latīņu burts r (radix nozīmē "sakne" latīņu valodā).
Jebkura skaitļa sakne ir vienāda ar tādu vērtību, kuras kvadrāts atbilst saknes izteiksmei. Matemātikas valodā šī definīcija izskatīsies šādi: √x=y, ja y2=x.
Pozitīva skaitļa sakne (x > 0) ir arīpozitīvs skaitlis (y > 0), bet, ja sakne tiek ņemta no negatīva skaitļa (x < 0), tad tā rezultāts jau būs komplekss skaitlis, ieskaitot iedomāto vienību i.
Šeit ir divi vienkārši piemēri:
√9=3, jo 32 =9; √(-9)=3i, jo i2=-1.
Herona iteratīvā formula kvadrātsakņu atrašanai
Iepriekš minētie piemēri ir ļoti vienkārši, un tajos nav grūti aprēķināt saknes. Grūtības sāk parādīties jau, meklējot saknes vērtības jebkurai vērtībai, kuru nevar attēlot kā naturāla skaitļa kvadrātu, piemēram, √10, √11, √12, √13, nemaz nerunājot par to, ka praksē tā ir nepieciešams, lai atrastu saknes skaitļiem, kas nav veseli skaitļi: piemēram, √(12, 15), √(8, 5) un tā tālāk.
Visos iepriekšminētajos gadījumos jāizmanto īpaša kvadrātsaknes aprēķināšanas metode. Pašlaik ir zināmas vairākas šādas metodes: piemēram, paplašināšana Teilora sērijā, dalīšana ar kolonnu un dažas citas. No visām zināmajām metodēm, iespējams, vienkāršākā un efektīvākā ir Herona iteratīvās formulas izmantošana, kas ir pazīstama arī kā babiloniešu metode kvadrātsakņu noteikšanai (ir pierādījumi, ka senie babilonieši to izmantoja savos praktiskajos aprēķinos).
Lai būtu nepieciešams noteikt √x vērtību. Kvadrātsaknes atrašanas formula ir šāda:
an+1=1/2(a+x/a), kur limn->∞(a)=> x.
Atšifrējiet šo matemātisko apzīmējumu. Lai aprēķinātu √x, jāņem kāds skaitlis a0 (tas var būt patvaļīgs, taču, lai iegūtu ātru rezultātu, tas jāizvēlas tā, lai (a0) 2 bija pēc iespējas tuvāk x, pēc tam aizstājiet to norādītajā kvadrātsaknes formulā un iegūstiet jaunu skaitli a1, kas jau būs ir tuvāk vēlamajai vērtībai.izteiksmē ir jāaizstāj a1 un jāiegūst a2 Šī procedūra jāatkārto, līdz tiek iegūta nepieciešamā precizitāte..
Hērona iteratīvās formulas pielietošanas piemērs
Iepriekš aprakstītais algoritms kāda dotā skaitļa kvadrātsaknes iegūšanai daudziem var šķist diezgan sarežģīts un mulsinoši, taču patiesībā viss izrādās daudz vienkāršāk, jo šī formula saplūst ļoti ātri (it īpaši, ja laimīgais skaitlis ir izvēlēts a0).
Ņemsim vienkāršu piemēru: mums jāaprēķina √11. Mēs izvēlamies 0=3, jo 32=9, kas ir tuvāk 11 nekā 42=16. Aizvietojot formulā, mēs iegūstam:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2 (3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2 (3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Nav jēgas turpināt aprēķinus, jo esam saņēmuši, ka a2 un a3 sāk atšķirties tikai 5. zīmē aiz komata. vieta. Tādējādi pietika tikai 2 reizes lielāku formuluaprēķināt √11 ar precizitāti 0,0001.
Šobrīd sakņu aprēķināšanai plaši tiek izmantoti kalkulatori un datori, tomēr ir lietderīgi atcerēties iezīmēto formulu, lai varētu manuāli aprēķināt to precīzu vērtību.
Otrās kārtas vienādojumi
Kvadrātvienādojumu risināšanai izmanto izpratni, kas ir kvadrātsakne un spēju to aprēķināt. Šie vienādojumi ir vienādības ar vienu nezināmu, kura vispārīgā forma ir parādīta zemāk esošajā attēlā.
Šeit c, b un a ir daži skaitļi, un a nedrīkst būt vienāds ar nulli, un c un b vērtības var būt pilnīgi patvaļīgas, ieskaitot nulli.
Jebkuras x vērtības, kas atbilst attēlā norādītajai vienādībai, sauc par tās saknēm (šo jēdzienu nevajadzētu jaukt ar kvadrātsakni √). Tā kā aplūkojamajam vienādojumam ir otrā secība (x2), tad tā saknēm nevar būt vairāk par diviem skaitļiem. Apskatīsim, kā šīs saknes atrast vēlāk rakstā.
Kvadrātvienādojuma (formulas) sakņu atrašana
Šo aplūkotā veida vienādību risināšanas metodi sauc arī par universālu jeb metodi caur diskriminantu. To var pielietot jebkuriem kvadrātvienādojumiem. Kvadrātvienādojuma diskriminanta un sakņu formula ir šāda:
Tas parāda, ka saknes ir atkarīgas no katra vienādojuma trīs koeficienta vērtības. Turklāt aprēķinsx1 no aprēķina x2 atšķiras tikai ar zīmi pirms kvadrātsaknes. Radikālā izteiksme, kas ir vienāda ar b2 -4ac, nav nekas cits kā aplūkotās vienlīdzības diskriminants. Kvadrātvienādojuma sakņu formulas diskriminantam ir svarīga loma, jo tas nosaka risinājumu skaitu un veidu. Tātad, ja tā ir nulle, tad būs tikai viens risinājums, ja tas ir pozitīvs, tad vienādojumam ir divas reālās saknes, visbeidzot, negatīvais diskriminants noved pie divām kompleksajām saknēm x1 un x 2.
Vietas teorēma vai dažas otrās kārtas vienādojumu sakņu īpašības
16. gadsimta beigās viens no mūsdienu algebras pamatlicējiem francūzis Fransuā Viets, pētot otrās kārtas vienādojumus, spēja iegūt tās sakņu īpašības. Matemātiski tos var uzrakstīt šādi:
x1 + x2=-b / a un x1 x 2=c / a.
Abas vienādības var viegli iegūt ikviens, šim nolūkam ir tikai jāveic atbilstošas matemātiskās darbības ar saknēm, kas iegūtas caur formulu ar diskriminantu.
Šo divu izteiksmju kombināciju pamatoti var saukt par kvadrātvienādojuma sakņu otro formulu, kas ļauj uzminēt tā risinājumus, neizmantojot diskriminantu. Šeit jāatzīmē, ka, lai gan abas izteiksmes vienmēr ir derīgas, ir ērti tās izmantot, lai atrisinātu vienādojumu tikai tad, ja to var faktorēt.
Iegūto zināšanu nostiprināšanas uzdevums
Atrisināsim matemātikas uzdevumu, kurā demonstrēsim visus rakstā aplūkotos paņēmienus. Problēmas nosacījumi ir šādi: jāatrod divi skaitļi, kuriem reizinājums ir -13, un summa ir 4.
Šis nosacījums uzreiz atgādina Vietas teorēmu, pielietojot kvadrātsakņu un to reizinājuma summas formulas, rakstām:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Pieņemot, ka a=1, tad b=-4 un c=-13. Šie koeficienti ļauj mums uzrakstīt otrās kārtas vienādojumu:
x2 - 4x - 13=0.
Izmantojot formulu ar diskriminantu, mēs iegūstam šādas saknes:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Tas ir, uzdevums tika samazināts līdz skaitļa √68 atrašanai. Ņemiet vērā, ka 68=417, tad, izmantojot kvadrātsaknes īpašību, mēs iegūstam: √68=2√17.
Tagad izmantosim aplūkoto kvadrātsaknes formulu: a0=4, tad:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2 (4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Nav jāaprēķina a3, jo atrastās vērtības atšķiras tikai par 0,02. Tādējādi √68=8,246. Aizvietojot to formulā x 1, 2, mēs iegūstam:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 un x2=(4–8, 246) /2=-2, 123.
Kā redzat, atrasto skaitļu summa patiešām ir 4, bet, ja atradīsiet viņu preci, tas būs vienāds ar -12,999, kas apmierina problēmas nosacījumu ar precizitāti 0,001.
