Pasaule ir iekārtota tā, ka liela skaita problēmu risinājums ir kvadrātvienādojuma sakņu atrašana. Vienādojumu saknes ir svarīgas dažādu modeļu aprakstīšanai. To zināja pat senās Babilonas mērnieki. Arī astronomi un inženieri bija spiesti risināt šādas problēmas. Mūsu ēras 6. gadsimtā indiešu zinātnieks Arjabhata izstrādāja pamatus kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai. Formulas tika pabeigtas 19. gadsimtā.
Vispārīgi jēdzieni
Aicinām iepazīties ar kvadrātvienādību pamatlikumībām. Kopumā vienlīdzību var rakstīt šādi:
ax2 + bx + c=0, Kvadrātvienādojuma sakņu skaits var būt vienāds ar vienu vai diviem. Ātru analīzi var veikt, izmantojot diskriminanta jēdzienu:
D=b2 - 4ac
Atkarībā no aprēķinātās vērtības mēs iegūstam:
- Kad D > 0 ir divas dažādas saknes. Kvadrātvienādojuma sakņu noteikšanas vispārīgā formula izskatās šādi (-b± √D) / (2a).
- D=0, šajā gadījumā sakne ir viena un atbilst vērtībai x=-b / (2a)
- D < 0, ja diskriminanta vērtība ir negatīva, vienādojumam nav atrisinājuma.
Piezīme: ja diskriminants ir negatīvs, vienādojumam nav sakņu tikai reālo skaitļu apgabalā. Ja algebru attiecina uz sarežģītu sakņu jēdzienu, tad vienādojumam ir risinājums.
Iesniegsim darbību ķēdi, kas apstiprina sakņu atrašanas formulu.
No vienādojuma vispārējās formas izriet:
ax2 + bx=-c
Reizinām labo un kreiso daļu ar 4a un pievienojam b2, iegūstam
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Pārveidojiet kreiso pusi polinoma kvadrātā (2ax + b)2. Izņemam vienādojuma 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2) kvadrātsakni no abām pusēm, pārnesam koeficientu b uz labo pusi, iegūstam:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
No šejienes:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Kas bija jāparāda.
Īpašs gadījums
Dažos gadījumos problēmas risinājumu var vienkāršot. Tātad vienmērīgam koeficientam b iegūstam vienkāršāku formulu.
Apzīmē k=1/2b, tad kvadrātvienādojuma sakņu vispārīgās formas formula iegūst šādu formu:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Kad D=0, mēs iegūstam x=-k / a
Cits īpašs gadījums ir vienādojuma risinājums ar a=1.
Formai x2 + bx + c=0 saknes būs x=-k ± √(k2 - c) ar diskriminantu, kas lielāks par 0. Gadījumā, ja D=0, sakne tiks noteikta pēc vienkāršas formulas: x=-k.
Izmantojiet diagrammas
Jebkurš cilvēks, pat nezinot, pastāvīgi saskaras ar fizikālām, ķīmiskām, bioloģiskām un pat sociālām parādībām, kuras labi raksturo kvadrātiskā funkcija.
Piezīme: līkni, kas veidota, pamatojoties uz kvadrātfunkciju, sauc par parabolu.
Šeit ir daži piemēri.
- Aprēķinot šāviņa trajektoriju, tiek izmantota īpašība kustēties pa ķermeņa parabolu, kas izšauts leņķī pret horizontu.
- Parabolas īpašība vienmērīgi sadalīt slodzi tiek plaši izmantota arhitektūrā.
Izprotot paraboliskās funkcijas nozīmi, izdomāsim, kā izmantot grafiku, lai izpētītu tās īpašības, izmantojot jēdzienus "diskriminants" un "kvadrātvienādojuma saknes".
Atkarībā no koeficientu a un b vērtības, ir tikai sešas iespējas līknes novietojumam:
- Diskriminants ir pozitīvs, a un b ir atšķirīgas zīmes. Parabolas zari skatās uz augšu, kvadrātvienādojumam ir divi atrisinājumi.
- Diskriminants un koeficients b ir vienāds ar nulli, koeficients a ir lielāks par nulli. Diagramma atrodas pozitīvajā zonā, vienādojumam ir 1 sakne.
- Diskriminants un visi koeficienti ir pozitīvi. Kvadrātvienādojumam nav atrisinājuma.
- Diskriminants un koeficients a ir negatīvs, b ir lielāks par nulli. Grafika zari ir vērsti uz leju, vienādojumam ir divas saknes.
- Diskriminējošais unkoeficients b ir vienāds ar nulli, koeficients a ir negatīvs. Parabola skatās uz leju, vienādojumam ir viena sakne.
- Diskriminanta un visu koeficientu vērtības ir negatīvas. Risinājumu nav, funkciju vērtības pilnībā atrodas negatīvajā zonā.
Piezīme: opcija a=0 netiek ņemta vērā, jo šajā gadījumā parabola deģenerējas taisnā līnijā.
Viss iepriekš minētais ir labi ilustrēts zemāk esošajā attēlā.
Problēmu risināšanas piemēri
Nosacījums: izmantojot vispārīgās īpašības, izveidojiet kvadrātvienādojumu, kura saknes ir vienādas viena ar otru.
Risinājums:
atbilstoši problēmas stāvoklim x1 =x2, vai -b + √(b2-4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Apzīmējuma vienkāršošana:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, atveriet iekavas un norādiet līdzīgus terminus. Vienādojums kļūst 2√(b2 - 4ac)=0. Šis apgalvojums ir patiess, ja b2 - 4ac=0, tātad b 2=4ac, tad vērtība b=2√(ac) tiek aizstāta vienādojumā
ax2 + 2√(ac)x + c=0, samazinātā formā iegūstam x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Atbilde:
ja a nav vienāds ar 0 un jebkuru c, ir tikai viens risinājums, ja b=2√(c / a).
Kvadrātvienādojumi, neskatoties uz to vienkāršību, ir ļoti svarīgi inženiertehniskajos aprēķinos. Gandrīz jebkuru fizisko procesu var aprakstīt ar tuvinājumu, izmantojotn kārtas jaudas funkcijas. Kvadrātvienādojums būs pirmais šāds tuvinājums.
