Prizma ir diezgan vienkārša ģeometriska trīsdimensiju figūra. Tomēr dažiem skolēniem ir problēmas noteikt tās galvenās īpašības, kuru cēlonis parasti ir saistīts ar nepareizi lietotu terminoloģiju. Šajā rakstā mēs apsvērsim, kas ir prizmas, kā tās sauc, kā arī detalizēti aprakstīsim pareizo četrstūra prizmu.
Prizma ģeometrijā
Trīsdimensiju figūru izpēte ir stereometrijas uzdevums – svarīga telpiskās ģeometrijas sastāvdaļa. Stereometrijā ar prizmu saprot tādu figūru, kas veidojas, paralēli tulkojot patvaļīgu plakanu daudzstūri noteiktā attālumā telpā. Paralēlā tulkošana nozīmē kustību, kurā rotācija ap asi, kas ir perpendikulāra daudzstūra plaknei, ir pilnībā izslēgta.
Aprakstītās prizmas iegūšanas metodes rezultātā veidojas figūra, kuru ierobežo dividaudzstūri ar vienādiem izmēriem, kas atrodas paralēlās plaknēs un noteiktu skaitu paralelogramu. To skaits sakrīt ar daudzstūra malu (virsotņu) skaitu. Identiskus daudzstūrus sauc par prizmas pamatnēm, un to virsmas laukums ir pamatu laukums. Paralelogrammas, kas savieno divas pamatnes, veido sānu virsmu.
Prizmas elementi un Eilera teorēma
Tā kā aplūkojamā trīsdimensiju figūra ir daudzskaldnis, tas ir, to veido krustojošu plakņu kopa, to raksturo noteikts skaits virsotņu, malu un skaldņu. Tie visi ir prizmas elementi.
18. gadsimta vidū Šveices matemātiķis Leonhards Eilers izveidoja saikni starp daudzskaldņa pamatelementu skaitu. Šīs attiecības ir uzrakstītas ar šādu vienkāršu formulu:
Malu skaits=virsotņu skaits + skalu skaits - 2
Jebkurai prizmai šī vienlīdzība ir patiesa. Sniegsim tās izmantošanas piemēru. Pieņemsim, ka ir regulāra četrstūra prizma. Viņa ir attēlota zemāk.
Var redzēt, ka virsotņu skaits tai ir 8 (4 katrai četrstūra pamatnei). Sānu vai skalu skaits ir 6 (2 pamatnes un 4 sānu taisnstūri). Tad malu skaits tam būs:
Ribu skaits=8 + 6 - 2=12
Tos visus var saskaitīt, ja atsaucaties uz vienu un to pašu attēlu. Astoņas malas atrodas pie pamatnēm, un četras malas ir perpendikulāras šīm pamatnēm.
Pilna prizmu klasifikācija
Ir svarīgi saprast šo klasifikāciju, lai vēlāk neapjuktu terminoloģijā un izmantotu pareizās formulas, lai aprēķinātu, piemēram, figūru virsmas laukumu vai tilpumu.
Jebkurai patvaļīgas formas prizmai var izdalīt 4 pazīmes, kas to raksturos. Uzskaitīsim tos:
- Pēc daudzstūra stūru skaita pie pamatnes: trīsstūra, piecstūra, astoņstūra un tā tālāk.
- Daudzstūra veids. Tas var būt pareizi vai nepareizi. Piemēram, taisnleņķa trīsstūris ir neregulārs, bet vienādmalu trijstūris ir pareizs.
- Atbilstoši daudzstūru izliekuma veidam. Tas var būt ieliekts vai izliekts. Visizplatītākās ir izliektas prizmas.
- Leņķos starp pamatiem un sānu paralelogramiem. Ja visi šie leņķi ir vienādi ar 90o, tad tie runā par taisnu prizmu, ja ne visi ir taisni, tad šādu skaitli sauc par slīpi.
No visiem šiem punktiem es vēlētos pakavēties pie pēdējā. Taisnu prizmu sauc arī par taisnstūra prizmu. Tas ir saistīts ar faktu, ka paralelogrami vispārīgā gadījumā ir taisnstūri (dažos gadījumos tie var būt kvadrāti).
Piemēram, attēlā iepriekš redzama piecstūra ieliekta taisnstūra vai taisna figūra.
Parastā četrstūra prizma
Šīs prizmas pamatne ir regulārs četrstūris, tas ir, kvadrāts. Augšējā attēlā jau ir parādīts, kā šī prizma izskatās. Papildus diviem kvadrātiem, kas viņaiierobežo augšā un apakšā, tajā ir arī 4 taisnstūri.
Apzīmēsim regulāras četrstūra prizmas pamatnes malu ar burtu a, tās sānu malas garumu apzīmēsim ar burtu c. Šis garums ir arī figūras augstums. Tad visas šīs prizmas virsmas laukumu izsaka ar formulu:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Šeit pirmais termins atspoguļo bāzu ieguldījumu kopējā platībā, otrais ir sānu virsmas laukums.
Ņemot vērā ieviestos apzīmējumus malu garumiem, rakstām attiecīgās figūras tilpuma formulu:
V=a2c
Tas ir, tilpums tiek aprēķināts kā kvadrātveida pamatnes laukuma un sānu malas garuma reizinājums.
Kuba forma
Ikviens zina šo ideālo trīsdimensiju figūru, taču tikai daži cilvēki domāja, ka tā ir regulāra četrstūra prizma, kuras mala ir vienāda ar kvadrātveida pamatnes malas garumu, tas ir, c=a.
Kubam kopējās virsmas laukuma un tilpuma formulas būs šādā formā:
S=6a2
V=a3
Tā kā kubs ir prizma, kas sastāv no 6 vienādiem kvadrātiem, jebkuru paralēlu to pāri var uzskatīt par bāzi.
Kubs ir ļoti simetriska figūra, kas dabā tiek realizēta daudzu metālisku materiālu un jonu kristālu kristāla režģu veidā. Piemēram, zelta, sudraba, vara un galda režģisāļi ir kubiski.
