Stereometrija ir ģeometrijas sadaļa, kas pēta figūras, kas neatrodas vienā plaknē. Viens no stereometrijas izpētes objektiem ir prizmas. Rakstā sniegsim prizmas definīciju no ģeometriskā viedokļa, kā arī īsi uzskaitīsim tai raksturīgās īpašības.
Ģeometriskā figūra
Prizmas definīcija ģeometrijā ir šāda: tā ir telpiska figūra, kas sastāv no diviem identiskiem n-stūriem, kas atrodas paralēlās plaknēs un ir savienoti viens ar otru ar to virsotnēm.
Prizmas iegūšana ir vienkārša. Iedomājieties, ka ir divi identiski n-stūri, kur n ir malu vai virsotņu skaits. Novietosim tos tā, lai tie būtu paralēli viens otram. Pēc tam viena daudzstūra virsotnes jāsavieno ar cita daudzstūra attiecīgajām virsotnēm. Izveidotā figūra sastāvēs no divām n-stūra malām, kuras sauc par pamatnēm, un n četrstūra malām, kas vispārīgā gadījumā ir paralelogrami. Paralelogramu kopa veido figūras sānu virsmu.
Ir vēl viens veids, kā ģeometriski iegūt attiecīgo figūru. Tātad, ja ņemam n-stūri un pārnesam to uz citu plakni, izmantojot paralēlus vienāda garuma segmentus, tad jaunajā plaknē iegūstam sākotnējo daudzstūri. Abi daudzstūri un visi paralēlie segmenti, kas novilkti no to virsotnēm, veido prizmu.
Augšējā attēlā redzama trīsstūrveida prizma. To sauc tā, jo tā pamati ir trīsstūri.
Elementi, kas veido figūru
Prizmas definīcija tika dota iepriekš, no kuras ir skaidrs, ka galvenie figūras elementi ir tās sejas vai malas, kas ierobežo visus prizmas iekšējos punktus no ārējās telpas. Jebkura aplūkojamās figūras seja pieder vienam no diviem veidiem:
- side;
- pamatojums.
Ir n sānu gabali, un tie ir paralelogrami vai to īpašie veidi (taisnstūri, kvadrāti). Kopumā sānu virsmas atšķiras viena no otras. Pamatnei ir tikai divas skaldnes, tās ir n-stūra formas un ir vienādas viena ar otru. Tādējādi katrai prizmai ir n+2 malas.
Bez sāniem figūru raksturo tās virsotnes. Tie ir punkti, kur vienlaikus saskaras trīs sejas. Turklāt divas no trim sejām vienmēr pieder sānu virsmai, bet viena - pamatnei. Tādējādi prizmā nav īpaši izvēlēta viena virsotne, jo, piemēram, piramīdā tās visas ir vienādas. Figūras virsotņu skaits ir 2n (n gabali katramiemesls).
Visbeidzot, trešais svarīgais prizmas elements ir tās malas. Tie ir noteikta garuma segmenti, kas veidojas figūras malu krustošanās rezultātā. Tāpat kā skaldnēm, arī malām ir divi dažādi veidi:
- vai veido tikai sāni;
- vai parādās paralelograma un n-stūra pamatnes malas krustpunktā.
Tādējādi malu skaits ir 3n, un 2n no tām ir otrā tipa.
Prizmu veidi
Ir vairāki veidi, kā klasificēt prizmas. Tomēr tie visi ir balstīti uz divām figūras iezīmēm:
- par n-ogļu bāzes veidu;
- sānu veidā.
Vispirms pievērsīsimies otrajai iezīmei un definēsim taisnu un slīpu prizmu. Ja vismaz viena mala ir vispārīga tipa paralelograms, tad figūru sauc par slīpi vai slīpi. Ja visi paralelogrami ir taisnstūri vai kvadrāti, tad prizma būs taisna.
Taisnas prizmas definīciju var sniegt arī nedaudz savādāk: taisna figūra ir prizma, kuras sānu malas un skaldnes ir perpendikulāras tās pamatiem. Attēlā parādītas divas četrstūrveida figūras. Kreisais ir taisns, labais ir slīps.
Tagad pāriesim pie klasifikācijas pēc bāzēs guļošā n-gona veida. Tam var būt vienādas malas un leņķi vai atšķirīgi. Pirmajā gadījumā daudzstūri sauc par regulāru. Ja aplūkojamā figūra satur daudzstūri ar vienādumalas un leņķi un ir taisna līnija, tad to sauc par pareizu. Saskaņā ar šo definīciju regulārai prizmai tās pamatnē var būt vienādmalu trīsstūris, kvadrāts, regulārs piecstūris vai sešstūris utt. Uzskaitītie pareizie skaitļi ir parādīti attēlā.
Prizmu lineārie parametri
Lai aprakstītu aplūkojamo figūru izmērus, tiek izmantoti šādi parametri:
- augstums;
- pamatnes malas;
- sānu ribu garumi;
- 3D diagonāles;
- diagonālās malas un pamatnes.
Parastām prizmām visi nosauktie lielumi ir saistīti viens ar otru. Piemēram, sānu ribu garumi ir vienādi un vienādi ar augstumu. Konkrētai n-stūra regulārai figūrai ir formulas, kas ļauj noteikt visu pārējo pēc jebkuriem diviem lineāriem parametriem.
Formas virsma
Ja atsaucamies uz iepriekš minēto prizmas definīciju, tad nebūs grūti saprast, ko attēlo figūras virsma. Virsma ir visu seju laukums. Taisnai prizmai to aprēķina pēc formulas:
S=2So + Poh
kur So ir pamatnes laukums, Po ir n-stūra perimetrs pie pamatnes, h ir augstums (attālums starp pamatnēm).
Figūras apjoms
Līdz ar virsmu praksei ir svarīgi zināt prizmas tilpumu. To var noteikt pēc šādas formulas:
V=Soh
Šisizteiksme ir patiesa absolūti jebkura veida prizmām, tostarp tām, kas ir slīpas un kuras veido neregulāri daudzstūri.
Parastām prizmām tilpums ir funkcija no pamatnes malas garuma un figūras augstuma. Atbilstošajai n-stūra prizmai V formulai ir konkrēta forma.
