Prizma ir viena no labi zināmajām figūrām, ko vidusskolās pēta cietās ģeometrijas kursā. Lai šīs klases figūrām varētu aprēķināt dažādus raksturlielumus, ir jāzina, kādi prizmu veidi pastāv. Apskatīsim šo problēmu tuvāk.
Prizma stereometrijā
Vispirms definēsim minēto figūru klasi. Prizma ir jebkurš daudzskaldnis, kas sastāv no divām paralēlām daudzstūru pamatnēm, kuras savstarpēji savieno paralelogrami.
Šo skaitli var iegūt šādi: plaknē atlasiet patvaļīgu daudzstūri un pēc tam pārvietojiet to uz jebkura vektora garumu, kas nepieder daudzstūra sākotnējai plaknei. Šādas paralēlas kustības laikā daudzstūra malas aprakstīs nākotnes prizmas sānu skaldnes, un daudzstūra gala pozīcija kļūs par figūras otro pamatu. Aprakstītajā veidā var iegūt patvaļīgu prizmas veidu. Tālāk esošajā attēlā ir parādīta trīsstūrveida prizma.
Kādi ir prizmu veidi?
Runa ir par formu klasifikācijuattiecīgā klase. Vispārīgā gadījumā šī klasifikācija tiek veikta, ņemot vērā daudzstūra pamatnes un figūras malu iezīmes. Parasti izšķir šādus trīs prizmu veidus:
- Taisni un slīpi (slīpi).
- Pareizi un nepareizi.
- Izliekta un ieliekta.
Jebkura no nosauktā klasifikācijas veida prizmai var būt četrstūra, piecstūra, …, n-stūra pamatne. Runājot par trīsstūrveida prizmu veidiem, to var klasificēt tikai pēc pirmajiem diviem minētajiem punktiem. Trīsstūrveida prizma vienmēr ir izliekta.
Zemāk mēs sīkāk aplūkosim katru no šiem klasifikācijas veidiem un sniegsim dažas noderīgas formulas prizmas ģeometrisko īpašību (virsmas laukuma, tilpuma) aprēķināšanai.
Taisnas un slīpas formas
Vienā mirklī ir iespējams atšķirt tiešu prizmu no slīpās. Šeit ir atbilstošais skaitlis.
Šeit ir parādītas divas prizmas (sešstūraina kreisajā pusē un piecstūra labajā pusē). Ikviens ar pārliecību teiks, ka sešstūris ir taisns, bet piecstūris ir slīps. Kāda ģeometriskā iezīme atšķir šīs prizmas? Protams, sānu sejas veids.
Taisna prizma, neatkarīgi no tās pamatnes, visas skalas ir taisnstūri. Tie var būt vienādi viens ar otru, vai arī tie var atšķirties, svarīgi ir tikai tas, ka tie ir taisnstūri, un to divskaldņu leņķi ar pamatiem ir 90o.
Attiecībā uz slīpu figūru jāsaka, ka visas vai dažas tās sānu sejas irparalelogrami, kas veido netiešus divšķautņu leņķus ar pamatni.
Visu veidu taisnām prizmām augstums ir sānu malas garums, slīpām figūrām augstums vienmēr ir mazāks par sānu malām. Aprēķinot tās virsmas laukumu un tilpumu, ir svarīgi zināt prizmas augstumu. Piemēram, skaļuma formula ir:
V=Soh
Kur h ir augstums, So ir vienas bāzes laukums.
Prizmas pareizas un nepareizas
Jebkura prizma ir nepareiza, ja tā nav taisna vai tās pamatne nav pareiza. Jautājums par taisnām un slīpām prizmām tika apspriests iepriekš. Šeit mēs apsvērsim, ko nozīmē izteiciens "regulāra daudzstūra pamatne".
Daudzstūris ir regulārs, ja visas tā malas ir vienādas (apzīmēsim to garumu ar burtu a), un arī visi tā leņķi ir vienādi. Regulāru daudzstūru piemēri ir vienādmalu trīsstūris, kvadrāts, sešstūris ar sešiem stūriem 120o un tā tālāk. Jebkura regulāra n-stūra laukums tiek aprēķināts, izmantojot šo formulu:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Zemāk ir shematisks attēlojums regulārām prizmām ar trīsstūrveida, kvadrātveida, …, astoņstūra pamatnēm.
Izmantojot iepriekš minēto formulu V, mēs varam uzrakstīt atbilstošo izteiksmi regulārām formām:
V=n/4a2ctg(pi/n)h
Kas attiecas uz kopējo virsmas laukumu, tad parastajām prizmām to veido laukumi no diviemidentiskas pamatnes un n identiski taisnstūri ar malām h un a. Šie fakti ļauj mums uzrakstīt formulu jebkuras regulāras prizmas virsmas laukumam:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nah
Šeit pirmais termins atbilst abu pamatu laukumam, otrais termins nosaka tikai sānu virsmas laukumu.
No visiem regulāro prizmu veidiem tikai četrstūrveida prizmām ir savs nosaukums. Tātad regulāru četrstūra prizmu, kurā a≠h sauc par taisnstūrveida paralēlskaldni. Ja šim skaitlim ir a=h, tad viņi runā par kubu.
Ieliektas formas
Līdz šim esam aplūkojuši tikai izliektos prizmu veidus. Tieši viņiem galvenā uzmanība tiek pievērsta aplūkojamās figūru klases izpētē. Tomēr ir arī ieliektas prizmas. Tie atšķiras no izliektiem ar to, ka to pamati ir ieliekti daudzstūri, sākot no četrstūra.
Attēlā kā piemērs parādītas divas ieliektas prizmas, kas ir izgatavotas no papīra. Kreiso, kas ir piecstaru zvaigznes formā, ir desmitstūra prizma, bet labo sešstaru zvaigznes formā sauc par divstūrveida ieliektu taisnu prizmu.
