Cilvēces progress lielā mērā ir saistīts ar ģēniju atklājumiem. Viens no tiem ir Blēzs Paskāls. Viņa radošā biogrāfija vēlreiz apstiprina Lion Feuchtwanger izteiciena "Talantīgs cilvēks, talantīgs visā" patiesumu. Visus šī izcilā zinātnieka zinātniskos sasniegumus ir grūti saskaitīt. Starp tiem ir viens no elegantākajiem izgudrojumiem matemātikas pasaulē - Paskāla trīsstūris.
Daži vārdi par ģēniju
Blēzs Paskāls nomira agri, pēc mūsdienu standartiem, 39 gadu vecumā. Tomēr savā īsajā mūžā viņš izcēlās kā izcils fiziķis, matemātiķis, filozofs un rakstnieks. Pateicīgie pēcteči viņam par godu nosauca spiediena mērvienību un populāro programmēšanas valodu Pascal. To izmanto jau gandrīz 60 gadus, lai mācītu rakstīt dažādus kodus. Piemēram, ar tās palīdzību katrs students var uzrakstīt programmu, lai aprēķinātu trijstūra laukumu Paskālā, kā arī izpētīt ķēdes īpašības, apm.kas tiks apspriests tālāk.
Šī zinātnieka ar neparastu domāšanu darbība aptver ļoti dažādas zinātnes jomas. Jo īpaši Blēzs Paskāls ir viens no hidrostatikas, matemātiskās analīzes, dažu ģeometrijas un varbūtību teorijas jomu dibinātājiem. Viņš arī:
- izveidoja mehānisku kalkulatoru, kas pazīstams kā Paskāla rats;
- sniedza eksperimentālus pierādījumus, ka gaisam ir elastība un svars;
- konstatēts, ka ar barometru var paredzēt laikapstākļus;
- izgudroja ķerru;
- izgudroja omnibusu - zirgu pajūgus ar fiksētiem maršrutiem, kas vēlāk kļuva par pirmo regulārā sabiedriskā transporta veidu utt.
Paskāla aritmētiskais trīsstūris
Kā jau minēts, šis izcilais franču zinātnieks sniedza milzīgu ieguldījumu matemātikas zinātnē. Viens no viņa absolūtajiem zinātniskajiem šedevriem ir "Traktāts par aritmētisko trīsstūri", kas sastāv no noteiktā secībā sakārtotiem binomiāliem koeficientiem. Šīs shēmas īpašības ir pārsteidzošas savā daudzveidībā, un tā pati par sevi apstiprina sakāmvārdu "Viss ģeniāls ir vienkāršs!".
Mazliet vēstures
Taisnības labad jāsaka, ka patiesībā Paskāla trīsstūris Eiropā bija zināms jau 16. gadsimta sākumā. Jo īpaši viņa attēlu var redzēt uz slavenā astronoma Pētera Apiāna no Ingolštates universitātes aritmētikas mācību grāmatas vāka. Līdzīgs trīsstūris ir parādīts arī kā ilustrācija.ķīniešu matemātiķa Jan Hui grāmatā, kas izdota 1303. gadā. Ievērojamais persiešu dzejnieks un filozofs Omārs Khajams arī apzinājās tās īpašības 12. gadsimta sākumā. Turklāt tiek uzskatīts, ka viņš viņu satika no arābu un indiešu zinātnieku agrāk rakstītajiem traktātiem.
Apraksts
Pirms izpētīt interesantākās Paskāla trīsstūra īpašības, kas ir skaista savā pilnībā un vienkāršībā, ir vērts zināt, kas tas ir.
Zinātniski runājot, šī skaitliskā shēma ir bezgalīga trīsstūrveida tabula, kas veidota no noteiktā secībā sakārtotiem binomiāliem koeficientiem. Tā augšpusē un sānos ir skaitļi 1. Pārējās pozīcijas aizņem skaitļi, kas vienādi ar divu skaitļu summu, kas atrodas virs tiem blakus viens otram. Turklāt visas Paskāla trīsstūra līnijas ir simetriskas pret tā vertikālo asi.
Pamatfunkcijas
Paskāla trīsstūris pārsteidz ar savu pilnību. Jebkurai rindai ar numuru n (n=0, 1, 2…) taisnība:
- pirmais un pēdējais cipars ir 1;
- otrais un priekšpēdējais - n;
- trešais skaitlis ir vienāds ar trīsstūra skaitli (apļu skaits, ko var sakārtot vienādmalu trīsstūrī, t.i., 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Ceturtais skaitlis ir tetraedrisks, t.i., tā ir piramīda ar trīsstūri tās pamatnē.
Turklāt salīdzinoši nesen, 1972. gadā, tika izveidota vēl viena Paskāla trijstūra īpašība. Lai viņamlai to noskaidrotu, šīs shēmas elementi jāraksta tabulas veidā ar rindas nobīdi par 2 pozīcijām. Pēc tam atzīmējiet skaitļus, kas dalās ar rindas numuru. Izrādās, ka kolonnas numurs, kurā visi skaitļi ir izcelti, ir pirmskaitlis.
To pašu triku var izdarīt arī citā veidā. Lai to izdarītu, Paskāla trijstūrī skaitļi tiek aizstāti ar to dalījuma atlikumiem ar rindas numuru tabulā. Tad līnijas tiek sakārtotas iegūtajā trīsstūrī tā, lai nākamā sāktu 2 kolonnas pa labi no iepriekšējā elementa. Tad kolonnas ar skaitļiem, kas ir pirmskaitļi, sastāvēs tikai no nullēm, bet kolonnās ar saliktiem skaitļiem būs vismaz viena nulle.
Savienojums ar Ņūtona binomiālu
Kā jūs zināt, šis ir formulas nosaukums divu mainīgo summas nenegatīva vesela skaitļa jaudas izteiksmē, kas izskatās šādi:
Tajos esošie koeficienti ir vienādi ar C m =n! / (m! (n - m)!), kur m ir Paskāla trijstūra kārtas n rindas skaitlis. Citiem vārdiem sakot, ja ir pieejama šī tabula, jūs varat viegli palielināt jebkuru skaitļu pakāpē, iepriekš sadalot tos divos veidos.
Tādējādi Paskāla trīsstūris un Ņūtona binomiāls ir cieši saistīti.
Math Wonders
Cieši izpētot Paskāla trīsstūri, atklājas, ka:
- visu skaitļu summa rindā arsērijas numurs n (skaitot no 0) ir 2;
- ja līnijas ir izlīdzinātas pa kreisi, tad skaitļu summas, kas atrodas gar Paskāla trīsstūra diagonālēm, virzoties no apakšas uz augšu un no kreisās uz labo pusi, ir vienādas ar Fibonači skaitļiem;
- pirmā "diagonāle" sastāv no naturāliem skaitļiem secībā;
- jebkurš elements no Paskāla trijstūra, kas samazināts par vienu, ir vienāds ar visu skaitļu summu, kas atrodas paralelograma iekšpusē, kuru ierobežo kreisā un labā diagonāle, kas krustojas šajā skaitļā;
- katrā diagrammas rindā skaitļu summa pāra vietās ir vienāda ar elementu summu nepāra vietās.
Sierpinska trīsstūris
Tik interesanta matemātiska shēma, kas ir diezgan daudzsološa sarežģītu uzdevumu risināšanas ziņā, tiek iegūta, Paskāla attēla pāra skaitļus iekrāsojot vienā krāsā, bet nepāra skaitļus citā.
Sierpinska trīsstūri var uzbūvēt citā veidā:
- ēnotajā Paskāla shēmā vidējais trīsstūris tiek pārkrāsots citā krāsā, ko veido, savienojot oriģinālā malu viduspunktus;
- dari tieši to pašu ar trim nekrāsotām, kas atrodas stūros;
- ja procedūru turpina bezgalīgi, tad rezultātam jābūt divu krāsu figūrai.
Visinteresantākā Sierpinski trijstūra īpašība ir tā pašlīdzība, jo tas sastāv no 3 tā kopijām, kuras ir samazinātas 2 reizes. Tas ļauj mums attiecināt šo shēmu uz fraktāļu līknēm, un tās, kā liecina jaunākiepētījumi ir vislabāk piemēroti mākoņu, augu, upju deltu un paša Visuma matemātiskai modelēšanai.
Vairāki interesanti uzdevumi
Kur tiek izmantots Paskāla trīsstūris? Uzdevumu piemēri, kurus var atrisināt ar tās palīdzību, ir diezgan daudzveidīgi un pieder pie dažādām zinātnes jomām. Apskatīsim dažus interesantākos.
1. problēma. Dažai lielai pilsētai, kuru ieskauj cietokšņa mūris, ir tikai vieni ieejas vārti. Pirmajā krustojumā galvenais ceļš sadalās divās daļās. Tas pats notiek ar jebkuru citu. Pilsētā iebrauc 210 cilvēki. Katrā no krustojumiem, ar kuriem viņi saskaras, tie tiek sadalīti uz pusēm. Cik cilvēku atradīsies katrā krustojumā, kad vairs nevarēs dalīties. Viņas atbilde ir Paskāla trīsstūra 10. rinda (koeficienta formula ir parādīta iepriekš), kur skaitļi 210 atrodas abās vertikālās ass pusēs.
Uzdevums 2. Ir 7 krāsu nosaukumi. Jums ir jāizveido pušķis no 3 ziediem. Ir nepieciešams noskaidrot, cik dažādos veidos to var izdarīt. Šī problēma ir no kombinatorikas jomas. Lai to atrisinātu, mēs atkal izmantojam Paskāla trijstūri un 7. rindā trešajā pozīcijā (numerācija abos gadījumos no 0) iegūstam skaitli 35.
Tagad jūs zināt, ko izgudroja izcilais franču filozofs un zinātnieks Blēzs Paskāls. Tā slavenais trīsstūris, ja to pareizi izmanto, var kļūt par īstu glābēju daudzu problēmu risināšanai, īpaši no lauka.kombinatorika. Turklāt to var izmantot, lai atrisinātu daudzus ar fraktāļiem saistītus noslēpumus.
