Skolas ģeometrijas kursā milzīgs laiks tiek veltīts trīsstūru izpētei. Skolēni aprēķina leņķus, veido bisektorus un augstumus, uzzina, kā formas atšķiras viena no otras un kā vienkāršākais veids, kā atrast to laukumu un perimetru. Šķiet, ka dzīvē tas nekādā veidā nav lietderīgi, bet dažreiz tomēr ir noderīgi zināt, piemēram, kā noteikt, vai trijstūris ir vienādmalu vai strups. Kā to izdarīt?
Trijstūru veidi
Trīs punkti, kas neatrodas vienā taisnē, un segmenti, kas tos savieno. Šķiet, ka šis skaitlis ir visvienkāršākais. Kā var izskatīties trijstūri, ja tiem ir tikai trīs malas? Faktiski ir diezgan daudz iespēju, un dažām no tām tiek pievērsta īpaša uzmanība skolas ģeometrijas kursa ietvaros. Vienādmalu trīsstūris ir vienādmalu trīsstūris, tas ir, visi tā leņķi un malas ir vienādi. Tam ir vairākas ievērojamas īpašības, kas tiks apspriestas vēlāk.
Vienādsānu malām ir tikai divas vienādas malas, un tas ir arī diezgan interesanti. Taisnleņķa un strupleņķa trijstūrī, kā jūs varētu uzminēt, attiecīgi, viens no leņķiem ir taisnleņķa vai neass. Plksttas var būt arī vienādsānu.
Ir arī īpašs trīsstūris, ko sauc par ēģiptiešu. Tās malas ir 3, 4 un 5 vienības. Tomēr tas ir taisnstūrveida. Tiek uzskatīts, ka šādu trīsstūri aktīvi izmantoja Ēģiptes mērnieki un arhitekti, lai izveidotu taisnus leņķus. Tiek uzskatīts, ka ar tās palīdzību tika uzceltas slavenās piramīdas.
Un tomēr visas trijstūra virsotnes var atrasties uz vienas taisnes. Šajā gadījumā to sauks par deģenerētu, bet visus pārējos par nedeģenerētiem. Tie ir viens no ģeometrijas studiju priekšmetiem.
Vienmalu trīsstūris
Protams, pareizi skaitļi vienmēr ir visinteresantākie. Tie šķiet perfektāki, graciozāki. To raksturlielumu aprēķināšanas formulas bieži ir vienkāršākas un īsākas nekā parastajiem skaitļiem. Tas attiecas arī uz trīsstūriem. Nav pārsteidzoši, ka, apgūstot ģeometriju, tiem tiek pievērsta liela uzmanība: skolēni tiek mācīti atšķirt parastās figūras no pārējām, kā arī runāt par dažām to interesantajām īpašībām.
Zīmes un īpašības
Kā jūs varētu nojaust pēc nosaukuma, katra vienādmalu trijstūra mala ir vienāda ar pārējām divām malām. Turklāt tam ir vairākas funkcijas, pateicoties kurām ir iespējams noteikt, vai skaitlis ir pareizs vai nē.
- visi tā leņķi ir vienādi, to vērtība ir 60 grādi;
- bisektori, augstumi un mediānas, kas novilktas no katras virsotnes, ir vienādas;
- regulāram trīsstūrim ir 3 simetrijas asis, tānemainās, pagriežot to par 120 grādiem.
- ierakstītā apļa centrs ir arī ierobežotā apļa centrs un mediānu, bisektoru, augstumu un perpendikulāro bisektriņu krustpunkts.
Ja tiek novērota vismaz viena no iepriekš minētajām zīmēm, tad trīsstūris ir vienādmalu. Parastam skaitlim visi iepriekš minētie apgalvojumi ir patiesi.
Visiem trijstūriem ir vairākas ievērojamas īpašības. Pirmkārt, vidējā līnija, tas ir, segments, kas sadala abas malas uz pusēm un paralēli trešajai, ir vienāds ar pusi no pamatnes. Otrkārt, visu šī skaitļa leņķu summa vienmēr ir vienāda ar 180 grādiem. Turklāt trīsstūros ir vēl viena interesanta attiecība. Tātad, pretī lielākajai pusei atrodas lielāks leņķis un otrādi. Bet tam, protams, nav nekāda sakara ar vienādmalu trīsstūri, jo visi tā leņķi ir vienādi.
Ierakstīti un norobežoti apļi
Tas nav nekas neparasts, ka ģeometrijas kursa studenti arī uzzina, kā formas var mijiedarboties viena ar otru. Jo īpaši tiek pētīti apļi, kas ierakstīti daudzstūros vai aprakstīti ap tiem. Par ko ir runa?
Ierakstīts aplis ir aplis, kuram visas daudzstūra malas ir pieskares. Aprakstīts - tas, kuram ir saskares punkti ar visiem stūriem. Katram trīsstūrim vienmēr ir iespējams izveidot gan pirmo, gan otro apli, bet tikai vienu no katra veida. Pierādījumi šiem diviem
teorēmas ir dotasskolas ģeometrijas kurss.
Papildus pašu trīsstūru parametru aprēķināšanai daži uzdevumi ietver arī šo apļu rādiusu aprēķināšanu. Un formulas vienādmalu trīsstūrim izskatās šādi:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
kur r ir ierakstītā apļa rādiuss, R ir ierobežotā apļa rādiuss, a ir trijstūra malas garums.
Augstuma, perimetra un laukuma aprēķināšana
Galvenie parametri, kurus aprēķina skolēni, studējot ģeometriju, gandrīz jebkurai figūrai paliek nemainīgi. Tie ir perimetrs, platība un augstums. Aprēķinu atvieglošanai ir dažādas formulas.
Tātad, perimetru, tas ir, visu malu garumu, aprēķina šādi:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, kur a ir regulāra trijstūra mala, R ir apļa apļa rādiuss, r ir ierakstītais aplis.
Augums:
h=(√ ̅3/2)a, kur a ir malas garums.
Visbeidzot, vienādmalu trijstūra laukuma formula ir iegūta no standarta formulas, tas ir, puses pamatnes un tās augstuma reizinājuma.
S=(√ ̅3/4)a2, kur a ir malas garums.
Šo vērtību var arī aprēķināt, izmantojot ierobežotā vai ierakstītā apļa parametrus. Tam ir arī īpašas formulas:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, kur r un R ir attiecīgi rādiusi ierakstīti un norobežoti apļi.
Ēka
Vēl viensInteresants uzdevuma veids, tostarp trīsstūri, ir saistīts ar nepieciešamību uzzīmēt vienu vai otru figūru, izmantojot minimālo komplektu
instrumenti: kompass un lineāls bez dalījuma.
Ir jāveic dažas darbības, lai izveidotu pareizu trīsstūri, izmantojot tikai šos rīkus.
- Jums ir jāuzzīmē aplis ar jebkuru rādiusu un jācentrē patvaļīgā punktā A. Tas ir jāatzīmē.
- Pēc tam caur šo punktu jānovelk taisna līnija.
- Apļa un taisnes krustpunktiem jābūt apzīmētiem kā B un C. Visas konstrukcijas jāveic ar vislielāko iespējamo precizitāti.
- Tālāk jums ir jāizveido cits aplis ar tādu pašu rādiusu un centru punktā C vai loka ar atbilstošiem parametriem. Krustojumi tiks atzīmēti kā D un F.
- Punkti B, F, D ir jāsavieno ar segmentiem. Tiek izveidots vienādmalu trīsstūris.
Šādu problēmu risināšana parasti ir skolēnu problēma, taču šī prasme var noderēt ikdienā.
