Matemātikā un apstrādē analītiskā signāla jēdziens (īsumā - C, AC) ir sarežģīta funkcija, kurai nav negatīvas frekvences komponentu. Šīs parādības reālās un iedomātās daļas ir reālas funkcijas, kas viena ar otru saistītas ar Hilberta transformāciju. Analītiskais signāls ir diezgan izplatīta parādība ķīmijā, kuras būtība ir līdzīga šī jēdziena matemātiskajai definīcijai.
Izrādes
Reālas funkcijas analītiskais attēlojums ir analītisks signāls, kas satur sākotnējo funkciju un tās Hilberta transformāciju. Šis attēlojums atvieglo daudzas matemātiskas manipulācijas. Galvenā ideja ir tāda, ka reālās funkcijas Furjē transformācijas (vai spektra) negatīvās frekvences komponentes ir liekas šāda spektra hermītiskās simetrijas dēļ. Šos negatīvās frekvences komponentus var izmest bez tieminformācijas zudums, ja tā vietā vēlaties veikt sarežģītu funkciju. Tas padara noteiktus līdzekļu atribūtus pieejamākus un atvieglo modulācijas un demodulācijas metožu, piemēram, SSB, atvasināšanu.
Negatīvie komponenti
Kamēr funkcijai, ar kuru tiek manipulēts, nav negatīvas frekvences komponentu (ti, tā joprojām ir analītiska), pārveidošana no kompleksa atpakaļ uz reālo ir vienkārši iedomātās daļas atmešana. Analītiskais attēlojums ir vektora jēdziena vispārinājums: lai gan vektors ir ierobežots ar laika nemainīgu amplitūdu, fāzi un frekvenci, analītiskā signāla kvalitatīvā analīze ļauj izmantot laika mainīgus parametrus.
Momentāno amplitūdu, momentāno fāzi un frekvenci dažos lietojumos izmanto, lai izmērītu un noteiktu C lokālās iezīmes. Cits analītiskā attēlojuma pielietojums ir saistīts ar modulētu signālu demodulāciju. Polārās koordinātes ērti atdala AM un fāzes (vai frekvences) modulācijas efektus un efektīvi demodulē noteiktus veidus.
Tad vienkāršs zemas caurlaidības filtrs ar reāliem koeficientiem var nogriezt interesējošo daļu. Vēl viens motīvs ir samazināt maksimālo frekvenci, kas samazina minimālo frekvenci ne-alias paraugu ņemšanai. Frekvences maiņa nemazina attēlojuma matemātisko lietderību. Tādējādi šajā ziņā lejupvērsta konvertēšana joprojām ir analītiska. Tomēr īstās reprezentācijas atjaunošanavairs nav vienkārša īstās sastāvdaļas iegūšana. Var būt nepieciešama augšupkonvertēšana, un, ja signālam ir paraugs (diskrēts laiks), var būt nepieciešama arī interpolācija (augšupietveršana), lai izvairītos no aizstājvārda.
Mainīgie
Jēdziens ir labi definēts viena mainīga parādībām, kas parasti ir īslaicīgas. Šī īslaicīgums mulsina daudzus iesācējus matemātiķus. Diviem vai vairākiem mainīgajiem analītisko C var definēt dažādos veidos, un tālāk ir parādītas divas pieejas.
Šīs parādības reālā un iedomātā daļa atbilst diviem vektora vērtības monogēna signāla elementiem, kā noteikts līdzīgām parādībām ar vienu mainīgo. Tomēr monogēno var vienkāršā veidā paplašināt līdz patvaļīgam mainīgo skaitam, izveidojot (n + 1) dimensijas vektora funkciju n-mainīgo signālu gadījumā.
Signāla pārveidošana
Reālu signālu var pārvērst par analītisko signālu, pievienojot iedomātu (Q) komponentu, kas ir reālā komponenta Hilberta transformācija.
Starp citu, tas nav jaunums tā digitālajā apstrādē. Viens no tradicionālajiem vienas sānjoslas (SSB) AM ģenerēšanas veidiem, fāzēšanas metode, ietver signālu radīšanu, ģenerējot audio signāla Hilberta transformāciju analogajā rezistoru-kondensatoru tīklā. Tā kā tam ir tikai pozitīvas frekvences, to ir viegli pārveidot par modulētu RF signālu tikai ar vienu sānjoslu.
Definīcijas formulas
Analītiskā signāla izteiksme ir holomorfa kompleksa funkcija, kas definēta uz augšējās kompleksās pusplaknes robežas. Augšējās pusplaknes robeža sakrīt ar nejaušību, tāpēc C ir dota ar kartējumu fa: R → C. Kopš pagājušā gadsimta vidus, kad Deniss Gabors 1946. gadā ierosināja izmantot šo fenomenu, lai pētītu nemainīgu amplitūdu un fāzi., signāls ir atradis daudzus lietojumus. Šīs parādības īpatnība tika uzsvērta [Vak96], kur tika parādīts, ka tikai kvalitatīva analītiskā signāla analīze atbilst fiziskajiem apstākļiem amplitūdai, fāzei un frekvencei.
Jaunākie sasniegumi
Pēdējo desmitgažu laikā ir bijusi interese par signālu izpēti daudzās dimensijās, ko motivē problēmas, kas rodas jomās, sākot no attēlu/video apstrādes līdz daudzdimensionāliem svārstību procesiem fizikā, piemēram, seismiskos, elektromagnētiskos un gravitācijas viļņi. Ir vispārpieņemts, ka, lai pareizi vispārinātu analītisko C (kvalitatīvo analīzi) vairāku dimensiju gadījumā, ir jāpaļaujas uz algebrisku konstrukciju, kas ērtā veidā paplašina parastos kompleksos skaitļus. Šādas konstrukcijas parasti sauc par hiperkompleksajiem skaitļiem [SKE].
Beidzot vajadzētu būt iespējai izveidot hiperkompleksu analītisko signālu fh: Rd → S, kur ir attēlota kāda vispārēja hiperkompleksa algebriskā sistēma, kas dabiski paplašina visas nepieciešamās īpašības, lai iegūtu momentānu amplitūdu unfāze.
Studē
Vairāki raksti ir veltīti dažādiem jautājumiem, kas saistīti ar pareizu hiperkompleksās skaitļu sistēmas izvēli, hiperkompleksās Furjē transformācijas definīciju un daļējām Hilberta transformācijām momentānās amplitūdas un fāzes pētīšanai. Lielākā daļa šī darba tika balstīta uz dažādu telpu īpašībām, piemēram, Cd, kvaternioniem, Klīrona algebrām un Keilija-Diksona konstrukcijām.
Tālāk mēs uzskaitīsim tikai dažus darbus, kas veltīti signāla izpētei daudzās dimensijās. Cik zināms, pirmie darbi par daudzfaktoru metodi tika iegūti 90. gadu sākumā. Tie ietver Ela darbu [Ell92] par hiperkompleksajām transformācijām; Bulova darbs pie analītiskās reakcijas (analītiskā signāla) metodes vispārināšanas daudziem mērījumiem [BS01] un Felsberga un Zommera darbs pie monogēniem signāliem.
Citas izredzes
Paredzams, ka hiperkompleksais signāls paplašinās visas derīgās īpašības, kas mums ir 1D gadījumā. Pirmkārt, mums ir jāspēj iegūt un vispārināt mērījumiem momentāno amplitūdu un fāzi. Otrkārt, kompleksa analītiskā signāla Furjē spektrs tiek uzturēts tikai pozitīvās frekvencēs, tāpēc mēs sagaidām, ka hiperkompleksajai Furjē transformācijai būs savs hipervērtīgais spektrs, kas tiks saglabāts tikai kādā pozitīvā hiperkompleksās telpas kvadrantā. Jo tas ir ļoti svarīgi.
Treškārt, savienojiet sarežģītas koncepcijas daļasanalītiskā signāla daļa ir saistīta ar Hilberta transformāciju, un mēs varam sagaidīt, ka konjugētajiem komponentiem hiperkompleksajā telpā jābūt saistītiem arī ar kādu Hilberta transformāciju kombināciju. Un visbeidzot, patiešām, hiperkomplekss signāls ir jādefinē kā dažu hiperkompleksu holomorfu funkciju paplašinājums vairākiem hiperkompleksiem mainīgajiem, kas definēti uz kādas formas robežas hiperkompleksā telpā.
Mēs risinām šīs problēmas secīgā secībā. Pirmkārt, mēs sākam aplūkot Furjē integrāļa formulu un parādām, ka Hilberta transformācija uz 1-D ir saistīta ar modificēto Furjē integrāļa formulu. Šis fakts ļauj definēt momentāno amplitūdu, fāzi un frekvenci, neatsaucoties uz hiperkompleksajām skaitļu sistēmām un holomorfām funkcijām.
Integrāļu modifikācija
Mēs turpinām paplašināt modificēto Furjē integrāļa formulu līdz vairākām dimensijām un noteikt visus nepieciešamos fāzu nobīdes komponentus, kurus varam apkopot momentānā amplitūdā un fāzē. Otrkārt, mēs pievēršamies jautājumam par vairāku hiperkompleksu mainīgo holomorfo funkciju esamību. Pēc [Sch93] izrādās, ka eliptisku (e2i=−1) ģeneratoru kopas ģenerētā komutatīvā un asociatīvā hiperkompleksā algebra ir piemērota vieta hiperkompleksa analītiska signāla dzīvībai, mēs šādu hiperkompleksu algebru saucam par Šēfera telpu un apzīmējam. toSd.
Tādēļ analītisko signālu hiperkomplekss tiek definēts kā holomorfa funkcija uz polidiska / plaknes augšējās puses robežas kādā hiperkompleksā telpā, ko mēs saucam par vispārējo Šēfera telpu un apzīmē ar Sd. Pēc tam mēs novērojam Košī integrālās formulas derīgumu funkcijām Sd → Sd, kuras tiek aprēķinātas pa hipervirsmu polidiskā Sd, un iegūstam atbilstošās daļējās Hilberta transformācijas, kas attiecas uz hiperkomplekso konjugāta komponentiem. Visbeidzot, izrādās, ka Furjē transformācija ar vērtībām Šēfera telpā tiek atbalstīta tikai nenegatīvās frekvencēs. Pateicoties šim rakstam, jūs uzzinājāt, kas ir analītisks signāls.
