Šīs ģeometriskās formas mūs ieskauj visur. Izliekti daudzstūri var būt dabiski, piemēram, šūnveida, vai mākslīgi (cilvēku radīti). Šīs figūras tiek izmantotas dažāda veida pārklājumu ražošanā, glezniecībā, arhitektūrā, dekorācijās u.c. Izliektiem daudzstūriem ir tāda īpašība, ka visi to punkti atrodas vienā pusē taisnei, kas iet cauri šīs ģeometriskās figūras blakus virsotnēm. Ir arī citas definīcijas. Daudzstūri sauc par izliektu, ja tas atrodas vienā pusplaknē attiecībā pret jebkuru taisni, kurā ir viena no tā malām.
Izliekti daudzstūri
Elementārās ģeometrijas gaitā vienmēr tiek ņemti vērā tikai vienkārši daudzstūri. Lai saprastu visas tādas īpašībasģeometriskas formas, ir jāsaprot to būtība. Vispirms ir jāsaprot, ka jebkuru līniju sauc par slēgtu, kuras gali sakrīt. Turklāt tā veidotajai figūrai var būt dažādas konfigurācijas. Daudzstūris ir vienkārša slēgta lauzta līnija, kurā blakus esošās saites neatrodas vienā taisnē. Tās saites un virsotnes ir attiecīgi šīs ģeometriskās figūras malas un virsotnes. Vienkāršā polilīnijā nedrīkst būt paškrustojumi.
Daudzstūra virsotnes sauc par blakus esošām, ja tās attēlo vienas tā malas galus. Ģeometrisku figūru, kurai ir n-tais virsotņu skaits un līdz ar to n-tais malu skaits, sauc par n-stūri. Pati šķelto līniju sauc par šīs ģeometriskās figūras apmali vai kontūru. Daudzstūra plakni vai plakanu daudzstūri sauc par jebkuras plaknes gala daļu, ko tā ierobežo. Šīs ģeometriskās figūras blakus esošās malas sauc par lauztas līnijas segmentiem, kas izplūst no vienas virsotnes. Tie nebūs blakus, ja tie nāk no dažādām daudzstūra virsotnēm.
Citas izliektu daudzstūru definīcijas
Elementārajā ģeometrijā ir vairākas līdzvērtīgākas definīcijas, kas norāda, kurš daudzstūris tiek saukts par izliektu. Visi šie apgalvojumi ir vienlīdz patiesi. Daudzstūris tiek uzskatīts par izliektu, ja:
• katrs segments, kas savieno divus tajā esošos punktus, pilnībā atrodas tajā;
• tajāvisas tā diagonāles atrodas;
• jebkurš iekšējais leņķis nepārsniedz 180°.
Daudzstūris vienmēr sadala plakni 2 daļās. Viens no tiem ir ierobežots (to var ielikt aplī), bet otrs ir neierobežots. Pirmo sauc par iekšējo reģionu, bet otro ir šīs ģeometriskās figūras ārējais apgabals. Šis daudzstūris ir vairāku pusplakņu krustpunkts (citiem vārdiem sakot, kopīgs komponents). Turklāt katrs segments, kura beigas ir punktos, kas pieder daudzstūrim, pilnībā tam pieder.
Izliektu daudzstūru varianti
Izliekta daudzstūra definīcija nenorāda, ka ir daudz dažādu veidu. Un katram no tiem ir noteikti kritēriji. Tātad izliektus daudzstūrus, kuru iekšējais leņķis ir 180°, sauc par vāji izliektiem. Izliektu ģeometrisku figūru, kurai ir trīs virsotnes, sauc par trīsstūri, četras - par četrstūri, piecas - par piecstūri utt. Katrs no izliektajiem n-stūriem atbilst šādai pamatprasībai: n jābūt vienādam ar 3 vai lielākai par to. trijstūri ir izliekti. Šāda veida ģeometrisku figūru, kurā visas virsotnes atrodas uz viena apļa, sauc par ierakstītu aplī. Izliektu daudzstūri sauc par norobežotu, ja visas tā malas pie apļa pieskaras tam. Tiek uzskatīts, ka divi daudzstūri ir vienādi tikai tad, ja tos var uzklāt ar superpozīciju. Plaknes daudzstūri sauc par daudzstūra plakni.(plaknes daļa), ko ierobežo šī ģeometriskā figūra.
Regulāri izliekti daudzstūri
Parastie daudzstūri ir ģeometriskas formas ar vienādiem leņķiem un malām. To iekšpusē atrodas punkts 0, kas atrodas vienādā attālumā no katras tā virsotnes. To sauc par šīs ģeometriskās figūras centru. Nozares, kas savieno centru ar šīs ģeometriskās figūras virsotnēm, sauc par apotēmām, un tos, kas savieno punktu 0 ar malām, sauc par rādiusiem.
Parasts četrstūris ir kvadrāts. Vienādmalu trīsstūri sauc par vienādmalu trīsstūri. Šādām figūrām ir šāds noteikums: katrs izliekta daudzstūra stūris ir 180°(n-2)/n, kur n ir šīs izliektās ģeometriskās figūras virsotņu skaits.
Jebkura regulāra daudzstūra laukums tiek noteikts pēc formulas:
S=ph, kur p ir puse no dotā daudzstūra visu malu summas un h ir apotēma garums.
Izliektu daudzstūru īpašības
Izliektiem daudzstūriem ir noteiktas īpašības. Tātad segments, kas savieno jebkurus 2 šādas ģeometriskas figūras punktus, noteikti atrodas tajā. Pierādījums:
Pieņemsim, ka P ir dots izliekts daudzstūris. Ņemam 2 patvaļīgus punktus, piemēram, A, B, kas pieder pie P. Saskaņā ar esošo izliekta daudzstūra definīciju šie punkti atrodas vienā un tajā pašā taisnes pusē, kas satur jebkuru P malu. Tāpēc arī AB ir šī īpašība, un tas ir ietverts P. Izliektu daudzstūri vienmēr var sadalīt vairākos trīsstūros ar absolūti visām diagonālēm, kas novilktas no vienas no tā virsotnēm.
Izliektu ģeometrisku formu leņķi
Izliekta daudzstūra stūri ir stūri, ko veido tā malas. Iekšējie stūri atrodas noteiktās ģeometriskās figūras iekšējā reģionā. Leņķi, ko veido tā malas, kas saplūst vienā virsotnē, sauc par izliekta daudzstūra leņķi. Leņķus, kas atrodas blakus noteiktas ģeometriskas figūras iekšējiem leņķiem, sauc par ārējiem. Katrs izliekta daudzstūra stūris, kas atrodas tā iekšpusē, ir:
180° - x, kur x ir ārējā leņķa vērtība. Šī vienkāršā formula darbojas jebkurām šāda veida ģeometriskām formām.
Kopumā ārējiem stūriem ir šāds noteikums: katrs izliekta daudzstūra leņķis ir vienāds ar starpību starp 180° un iekšējā leņķa vērtību. Tam var būt vērtības no -180° līdz 180°. Tāpēc, ja iekšējais leņķis ir 120°, ārējais leņķis būs 60°.
Izliektu daudzstūru leņķu summa
Izliekta daudzstūra iekšējo leņķu summu nosaka pēc formulas:
180°(n-2), kur n ir n-stūra virsotņu skaits.
Izliekta daudzstūra leņķu summu ir diezgan viegli aprēķināt. Apsveriet jebkuru šādu ģeometrisku figūru. Lai noteiktu leņķu summu izliektā daudzstūrī, ir nepieciešamssavienot vienu no tās virsotnēm ar citām virsotnēm. Šīs darbības rezultātā tiek iegūti (n-2) trīsstūri. Mēs zinām, ka jebkura trīsstūra leņķu summa vienmēr ir 180°. Tā kā to skaits jebkurā daudzstūrī ir (n-2), šādas figūras iekšējo leņķu summa ir 180° x (n-2).
Izliekta daudzstūra, proti, jebkuru divu iekšējo un blakus esošo ārējo leņķu, leņķu summa noteiktai izliektai ģeometriskai figūrai vienmēr būs vienāda ar 180°. Pamatojoties uz to, jūs varat noteikt visu tā leņķu summu:
180 x n.
Iekšējo leņķu summa ir 180° (n-2). Pamatojoties uz to, šī skaitļa visu ārējo stūru summa tiek noteikta pēc formulas:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Jebkura izliekta daudzstūra ārējo leņķu summa vienmēr būs 360° (neatkarīgi no malu skaita).
Izliekta daudzstūra ārējais leņķis parasti tiek attēlots ar starpību starp 180° un iekšējā leņķa vērtību.
Citas izliekta daudzstūra īpašības
Papildus šo ģeometrisko formu pamatīpašībām tām ir arī citas, kas rodas, manipulējot ar tām. Tātad jebkuru no daudzstūriem var sadalīt vairākos izliektos n-stūros. Lai to izdarītu, ir jāturpina katra tā mala un jāsagriež šī ģeometriskā figūra pa šīm taisnajām līnijām. Jebkuru daudzstūri var arī sadalīt vairākās izliektās daļās tā, lai katras daļas virsotnes sakristu ar visām tā virsotnēm. No šādas ģeometriskas figūras var ļoti vienkārši izveidot trīsstūrus, uzzīmējot visusdiagonāles no vienas virsotnes. Tādējādi jebkuru daudzstūri galu galā var sadalīt noteiktā skaitā trīsstūru, kas izrādās ļoti noderīgi dažādu ar šādām ģeometriskām formām saistītu uzdevumu risināšanā.
Izliekta daudzstūra perimetrs
Pārtrauktas līnijas segmentus, ko sauc par daudzstūra malām, visbiežāk apzīmē ar šādiem burtiem: ab, bc, cd, de, ea. Tās ir ģeometriskas figūras malas ar virsotnēm a, b, c, d, e. Šī izliektā daudzstūra visu malu garumu summu sauc par tā perimetru.
Daudzstūra apkārtmērs
Izliektos daudzstūrus var ierakstīt un norobežot. Apli, kas skar visas šīs ģeometriskās figūras malas, sauc par tajā ierakstītu. Šādu daudzstūri sauc par norobežotu. Daudzstūrī ierakstītā apļa centrs ir visu leņķu bisektriņu krustpunkts noteiktā ģeometriskā figūrā. Šāda daudzstūra laukums ir:
S=pr, kur r ir ierakstītā apļa rādiuss un p ir dotā daudzstūra pusperimetrs.
Aplis, kas satur daudzstūra virsotnes, tiek saukts par norobežotu ap to. Turklāt šo izliekto ģeometrisko figūru sauc par ierakstītu. Apļa centrs, kas ir norobežots ap šādu daudzstūri, ir visu malu tā saukto perpendikulāro bisektriņu krustpunkts.
Izliektu ģeometrisku formu diagonāles
Izliekta daudzstūra diagonāles ir segmenti, kassavienot neblakus virsotnes. Katrs no tiem atrodas šīs ģeometriskās figūras iekšpusē. Šāda n-stūra diagonāļu skaitu nosaka pēc formulas:
N=n (n–3)/ 2.
Izliekta daudzstūra diagonāļu skaitam ir svarīga loma elementārajā ģeometrijā. Trīsstūru skaitu (K), kuros var sadalīt katru izliekto daudzstūri, aprēķina pēc šādas formulas:
K=n – 2.
Izliekta daudzstūra diagonāļu skaits vienmēr ir atkarīgs no tā virsotņu skaita.
Izliekta daudzstūra sadalīšana
Dažos gadījumos, lai atrisinātu ģeometriskos uzdevumus, ir nepieciešams sadalīt izliektu daudzstūri vairākos trīsstūros ar nekrustojas diagonālēm. Šo problēmu var atrisināt, atvasinot īpašu formulu.
Uzdevuma definīcija: nosauksim pareizu izliekta n-stūra nodalījumu vairākos trīsstūros ar diagonālēm, kas krustojas tikai šīs ģeometriskās figūras virsotnēs.
Risinājums: pieņemsim, ka Р1, Р2, Р3 …, Pn ir šī n-stūra virsotnes. Skaitlis Xn ir tā nodalījumu skaits. Ļaujiet mums rūpīgi apsvērt iegūto ģeometriskās figūras Pi Pn diagonāli. Jebkurā no parastajiem nodalījumiem P1 Pn pieder noteiktam trīsstūrim P1 Pi Pn, kuram ir 1<i<n. Izejot no tā un pieņemot, ka i=2, 3, 4 …, n-1, mēs iegūstam (n-2) šo nodalījumu grupas, kas ietver visus iespējamos īpašos gadījumus.
Lai i=2 ir viena regulāru nodalījumu grupa, kas vienmēr satur diagonāli Р2 Pn. Tajā ievadīto nodalījumu skaits ir tāds pats kā nodalījumu skaits(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Citiem vārdiem sakot, tas ir vienāds ar Xn-1.
Ja i=3, tad šajā citā nodalījumu grupā vienmēr būs diagonāles Р3 Р1 un Р3 Pn. Šajā gadījumā šajā grupā ietverto parasto nodalījumu skaits sakritīs ar (n-2)-gon P3 P4 … Pn nodalījumu skaitu. Citiem vārdiem sakot, tas būs vienāds ar Xn-2.
Ļaujiet i=4, tad starp trijstūriem regulārajā nodalījumā noteikti būs trīsstūris P1 P4 Pn, kuram piekļūs četrstūris P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn. Šāda četrstūra regulāro nodalījumu skaits ir X4, un (n-3)-stūra nodalījumu skaits ir Xn-3. Pamatojoties uz iepriekš minēto, mēs varam teikt, ka kopējais pareizo nodalījumu skaits šajā grupā ir Xn-3 X4. Citas grupas ar i=4, 5, 6, 7… saturēs Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … parastās nodalījumus.
Ļaujiet i=n-2, tad pareizo sadalījumu skaits šajā grupā būs tāds pats kā sadalījumu skaits grupā, kur i=2 (citiem vārdiem sakot, vienāds ar Xn-1).
Tā kā X1=X2=0, X3=1, X4=2…, tad visu izliektā daudzstūra nodalījumu skaits ir:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Piemērs:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Pareizo nodalījumu skaits, kas iekšpusē krustojas vienā diagonālē
Pārbaudot īpašos gadījumus, var nonākt piepieņēmums, ka izliekto n-stūru diagonāļu skaits ir vienāds ar visu šī skaitļa nodalījumu reizinājumu ar (n-3).
Šī pieņēmuma pierādījums: iedomājieties, ka P1n=Xn(n-3), tad jebkuru n-stūri var sadalīt (n-2)-trijstūros. Turklāt no tiem var izveidot (n-3)-četrstūri. Līdz ar to katram četrstūrim būs diagonāle. Tā kā šajā izliektajā ģeometriskajā figūrā var novilkt divas diagonāles, tas nozīmē, ka papildu (n-3) diagonāles var novilkt jebkurā (n-3) četrstūrī. Pamatojoties uz to, mēs varam secināt, ka jebkurā regulārā nodalījumā ir iespējams uzzīmēt (n-3)-diagonāles, kas atbilst šīs problēmas nosacījumiem.
Izliektu daudzstūru laukums
Bieži vien, risinot dažādas elementārās ģeometrijas problēmas, rodas nepieciešamība noteikt izliekta daudzstūra laukumu. Pieņemsim, ka (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n ir visu daudzstūra blakus virsotņu koordinātu secība, kurai nav paškrustojuma. Šajā gadījumā tā laukums tiek aprēķināts, izmantojot šādu formulu:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), kur (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
