Trijstūris, kvadrāts, sešstūris – šīs figūras zina gandrīz visi. Bet ne visi zina, kas ir regulārs daudzstūris. Bet tās visas ir vienas un tās pašas ģeometriskas formas. Parasts daudzstūris ir tāds, kuram ir vienādi leņķi un malas. Šādu skaitļu ir daudz, taču tiem visiem ir vienādas īpašības, un uz tiem attiecas tās pašas formulas.
Parastu daudzstūru īpašības
Jebkuru regulāru daudzstūri, neatkarīgi no tā, vai tas ir kvadrāts vai astoņstūris, var ierakstīt aplī. Šo pamata īpašību bieži izmanto, veidojot figūru. Turklāt apli var ierakstīt arī daudzstūrī. Šajā gadījumā saskares punktu skaits būs vienāds ar tā malu skaitu. Ir svarīgi, lai riņķim, kas ierakstīts regulārā daudzstūrī, būtu ar to kopīgs centrs. Šīs ģeometriskās figūras ir pakļautas tām pašām teorēmām. Jebkura puseregulāra n-stūra ir saistīta ar ap to apzīmētā riņķa rādiusu R. Tāpēc to var aprēķināt, izmantojot šādu formulu: a=2R ∙ sin180°. Caur apļa rādiusu var atrast ne tikai daudzstūra malas, bet arī perimetru.
Kā atrast regulāra daudzstūra malu skaitu
Jebkurš regulārs n-stūris sastāv no noteikta skaita segmentu, kas ir vienādi viens ar otru, kas, savienojoties, veido slēgtu līniju. Šajā gadījumā visiem izveidotās figūras stūriem ir vienāda vērtība. Daudzstūri ir sadalīti vienkāršos un sarežģītos. Pirmajā grupā ietilpst trīsstūris un kvadrāts. Sarežģītiem daudzstūriem ir vairāk malu. Tajos ietilpst arī zvaigžņu formas figūras. Sarežģītiem regulāriem daudzstūriem malas tiek atrastas, ierakstot tās aplī. Sniegsim pierādījumu. Uzzīmējiet regulāru daudzstūri ar patvaļīgu skaitu malu n. Aprakstiet apli ap to. Norādiet rādiusu R. Tagad iedomājieties, ka ir dots kāds n-stūris. Ja tā leņķu punkti atrodas uz apļa un ir vienādi viens ar otru, tad malas var atrast pēc formulas: a=2R ∙ sinα: 2.
Ierakstīta regulāra trīsstūra malu skaita atrašana
Vienmalu trīsstūris ir regulārs daudzstūris. Uz to attiecas tās pašas formulas, kas uz kvadrātu un n-stūri. Trijstūris tiks uzskatīts par pareizu, ja tam ir vienāda garuma malas. Šajā gadījumā leņķi ir 60⁰. Izveidojiet trīsstūri ar norādīto malas garumu a. Zinot tā vidējo un augstumu,jūs varat atrast tā pušu vērtību. Lai to izdarītu, mēs izmantosim metodi, lai atrastu, izmantojot formulu a \u003d x: cosα, kur x ir mediāna vai augstums. Tā kā visas trijstūra malas ir vienādas, mēs iegūstam a=b=c. Tad šāds apgalvojums būs patiess a=b=c=x: cosα. Līdzīgi var atrast malu vērtību vienādsānu trijstūrī, bet x būs dotais augstums. Tajā pašā laikā tam jābūt stingri projicētam uz figūras pamatnes. Tātad, zinot augstumu x, mēs atrodam vienādsānu trīsstūra malu a, izmantojot formulu a \u003d b \u003d x: cosα. Pēc a vērtības atrašanas var aprēķināt bāzes c garumu. Pielietosim Pitagora teorēmu. Mēs meklēsim pusi bāzes c vērtību: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Tad c=2xtanα. Šis ir vienkāršs veids, kā atrast jebkura ierakstīta daudzstūra malu skaitu.
Aprēķiniet kvadrāta malas, kas ierakstītas aplī
Tāpat kā jebkuram citam ierakstītam regulāram daudzstūrim, kvadrātam ir vienādas malas un leņķi. Uz to attiecas tās pašas formulas kā uz trīsstūri. Jūs varat aprēķināt kvadrāta malas, izmantojot diagonāles vērtību. Apsvērsim šo metodi sīkāk. Ir zināms, ka diagonāle sadala leņķi uz pusēm. Sākotnēji tā vērtība bija 90 grādi. Tādējādi pēc dalīšanas veidojas divi taisnleņķa trijstūri. To pamatnes leņķi būs 45 grādi. Attiecīgi katra kvadrāta mala būs vienāda, tas ir: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kur e ir kvadrāta diagonāle vai pamatne. taisnleņķa trīsstūris, kas veidojas pēc dalīšanas. Tas nav vienīgais veidskvadrāta malu atrašana. Iezīmēsim šo figūru aplī. Zinot šī apļa R rādiusu, mēs atrodam kvadrāta malu. Mēs to aprēķināsim šādi a4=R√2. Regulāro daudzstūru rādiusus aprēķina pēc formulas R=a: 2tg (360o: 2n), kur a ir malas garums.
Kā aprēķināt n-stūra perimetru
N-stūra perimetrs ir visu tā malu summa. To ir viegli aprēķināt. Lai to izdarītu, jums jāzina visu pušu vērtības. Dažiem daudzstūru veidiem ir īpašas formulas. Tie ļauj daudz ātrāk atrast perimetru. Ir zināms, ka jebkuram regulāram daudzstūrim ir vienādas malas. Tāpēc, lai aprēķinātu tā perimetru, pietiek zināt vismaz vienu no tiem. Formula būs atkarīga no figūras malu skaita. Kopumā tas izskatās šādi: P \u003d an, kur a ir malas vērtība un n ir leņķu skaits. Piemēram, lai atrastu parastā astoņstūra perimetru ar malu 3 cm, tas jāreizina ar 8, tas ir, P=3 ∙ 8=24 cm. Sešstūrim, kura mala ir 5 cm, mēs aprēķinām šādi: P=5 ∙ 6=30 cm. Un tā katram daudzstūrim.
Paralelograma, kvadrāta un romba perimetra atrašana
Atkarībā no tā, cik malu ir parastam daudzstūrim, tiek aprēķināts tā perimetrs. Tas ievērojami atvieglo uzdevumu. Patiešām, atšķirībā no citām figūrām, šajā gadījumā nav nepieciešams meklēt visas tās puses, pietiek ar vienu. Pēc tāda paša principa mēs atrodam perimetru piečetrstūri, tas ir, kvadrāts un rombs. Neskatoties uz to, ka tie ir dažādi skaitļi, to formula ir vienāda P=4a, kur a ir mala. Ņemsim piemēru. Ja romba vai kvadrāta mala ir 6 cm, tad perimetru atrodam šādi: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Paralelogramam ir tikai pretējās malas. Tāpēc tā perimetru nosaka, izmantojot citu metodi. Tātad mums ir jāzina figūras garums a un platums b. Tad pielietojam formulu P=(a + c) ∙ 2. Paralelogramu, kura visas malas un leņķi starp tiem ir vienādi, sauc par rombu.
Vienādmalu un taisnleņķa trijstūra perimetra atrašana
Regulāra vienādmalu trijstūra perimetru var atrast pēc formulas P=3a, kur a ir malas garums. Ja tas nav zināms, to var atrast, izmantojot mediānu. Taisnleņķa trijstūrī tikai divas malas ir vienādas. Pamatu var atrast caur Pitagora teorēmu. Kad ir zināmas visu trīs malu vērtības, mēs aprēķinām perimetru. To var atrast, izmantojot formulu P \u003d a + b + c, kur a un b ir vienādas malas, un c ir bāze. Atgādiniet, ka vienādsānu trijstūrī a \u003d b \u003d a, tātad a + b \u003d 2a, tad P \u003d 2a + c. Piemēram, vienādsānu trijstūra mala ir 4 cm, atrodiet tā pamatu un perimetru. Mēs aprēķinām hipotenūzas vērtību, izmantojot Pitagora teorēmu c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Tagad mēs aprēķinām perimetru Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Kā atrast regulāra daudzstūra stūrus
Parasts daudzstūrismūsu dzīvē notiek katru dienu, piemēram, parasts kvadrāts, trīsstūris, astoņstūris. Šķiet, ka nav nekā vienkāršāka kā pašam izveidot šo figūru. Bet tas ir tikai no pirmā acu uzmetiena. Lai izveidotu jebkuru n-stūri, jums jāzina tā leņķu vērtība. Bet kā tos atrast? Pat senatnes zinātnieki mēģināja veidot regulārus daudzstūrus. Viņi uzminēja tos ievietot aprindās. Un tad uz tā tika atzīmēti nepieciešamie punkti, kas savienoti ar taisnām līnijām. Vienkāršām figūrām būvniecības problēma ir atrisināta. Ir iegūtas formulas un teorēmas. Piemēram, Eiklīds savā slavenajā darbā "Sākums" nodarbojās ar uzdevumu risināšanu 3, 4, 5, 6 un 15 goniem. Viņš atrada veidus, kā tos konstruēt un atrast leņķus. Apskatīsim, kā to izdarīt 15 gonu gadījumā. Vispirms jums jāaprēķina tā iekšējo leņķu summa. Nepieciešams izmantot formulu S=180⁰(n-2). Tātad, mums ir dots 15 gonu, kas nozīmē, ka skaitlis n ir 15. Mēs aizstājam formulā zināmos datus un iegūstam S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Mēs esam atraduši visu 15 gonu iekšējo leņķu summu. Tagad mums ir jāiegūst katra no tām vērtība. Leņķi kopā ir 15. Veicam aprēķinu 2340⁰: 15=156⁰. Tas nozīmē, ka katrs iekšējais leņķis ir 156⁰, tagad, izmantojot lineālu un kompasu, varat izveidot parastu 15 gonu. Bet kā ir ar sarežģītākiem n-goniem? Gadsimtiem ilgi zinātnieki ir cīnījušies, lai atrisinātu šo problēmu. To tikai 18. gadsimtā atrada Kārlis Frīdrihs Gauss. Viņš spēja uzbūvēt 65537-gon. Kopš tā laika problēma tiek oficiāli uzskatīta par pilnībā atrisinātu.
N-stūru leņķu aprēķinsradiānos
Protams, ir vairāki veidi, kā atrast daudzstūru stūrus. Visbiežāk tos aprēķina grādos. Bet jūs varat arī izteikt tos radiānos. Kā to izdarīt? Ir nepieciešams rīkoties šādi. Vispirms noskaidrojam regulāra daudzstūra malu skaitu, pēc tam no tā atņemam 2. Tātad iegūstam vērtību: n - 2. Reizinām atrasto starpību ar skaitli n (“pi”=3, 14). Tagad atliek tikai iegūto reizinājumu dalīt ar leņķu skaitu n-gonā. Apsveriet šos aprēķinus, izmantojot tās pašas piecpadsmitpusējas piemēru. Tātad, skaitlis n ir 15. Izmantojiet formulu S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Tas, protams, nav vienīgais veids, kā aprēķināt leņķi radiānos. Jūs varat vienkārši sadalīt leņķa lielumu grādos ar skaitli 57, 3. Galu galā šie daudzi grādi ir līdzvērtīgi vienam radiānam.
Aprēķiniet leņķu vērtību grādos
Papildus grādiem un radiāniem varat mēģināt atrast regulāra daudzstūra leņķu vērtību gradās. Tas tiek darīts šādā veidā. No kopējā leņķu skaita atņemiet 2, iegūto starpību sadaliet ar regulāra daudzstūra malu skaitu. Atrasto rezultātu reizinām ar 200. Starp citu, tādu leņķu mērvienību kā krusas praktiski neizmanto.
N-stūru ārējo leņķu aprēķins
Jebkuram regulāram daudzstūrim, izņemot iekšējo, varat aprēķināt arī ārējo leņķi. Tās vērtība tiek noteikta tāpat kā citiem skaitļiem. Tātad, lai atrastu parastā daudzstūra ārējo leņķi, jums ir nepieciešamszināt iekšējā nozīmi. Turklāt mēs zinām, ka šo divu leņķu summa vienmēr ir 180 grādi. Tāpēc mēs veicam aprēķinus šādi: 180⁰ mīnus iekšējā leņķa vērtība. Mēs atrodam atšķirību. Tas būs vienāds ar tai blakus esošā leņķa vērtību. Piemēram, kvadrāta iekšējais stūris ir 90 grādi, tātad ārējais leņķis būs 180⁰ - 90⁰=90⁰. Kā redzam, to atrast nav grūti. Ārējā leņķa vērtība var būt attiecīgi no +180⁰ līdz -180⁰.
