Tangenciāls vai tangenciāls paātrinājums

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Visi ķermeņi, kas mūs ieskauj, atrodas pastāvīgā kustībā. Ķermeņu kustība telpā tiek novērota visos mēroga līmeņos, sākot ar elementārdaļiņu kustību matērijas atomos un beidzot ar galaktiku paātrinātu kustību Visumā. Jebkurā gadījumā kustības process notiek ar paātrinājumu. Šajā rakstā mēs detalizēti aplūkosim tangenciālā paātrinājuma jēdzienu un sniegsim formulu, pēc kuras to var aprēķināt.

Kinemātiskie daudzumi

Pirms runāt par tangenciālo paātrinājumu, padomāsim, kādus lielumus pieņemts raksturot patvaļīgu ķermeņu mehānisko kustību telpā.

Pirmkārt, tas ir ceļš L. Tas parāda attālumu metros, centimetros, kilometros utt., ķermenis ir nobraucis noteiktu laika periodu.

Otrs svarīgais kinemātikas raksturlielums ir ķermeņa ātrums. Atšķirībā no ceļa, tas ir vektora lielums un ir vērsts pa trajektorijuķermeņa kustības. Ātrums nosaka telpisko koordinātu maiņas ātrumu laikā. Formula tā aprēķināšanai ir:

v¯=dL/dt

Ātrums ir ceļa laika atvasinājums.

Beidzot trešais svarīgais ķermeņu kustības raksturlielums ir paātrinājums. Saskaņā ar fizikas definīciju paātrinājums ir lielums, kas nosaka ātruma izmaiņas laika gaitā. Formulu tam var uzrakstīt šādi:

a¯=dv¯/dt

Paātrinājums, tāpat kā ātrums, ir arī vektora lielums, taču atšķirībā no tā tas ir vērsts ātruma maiņas virzienā. Paātrinājuma virziens sakrīt arī ar iegūtā spēka vektoru, kas iedarbojas uz ķermeni.

Trajektorija un paātrinājums

Daudzas problēmas fizikā tiek aplūkotas taisnās kustības ietvaros. Šajā gadījumā, kā likums, viņi nerunā par punkta tangenciālo paātrinājumu, bet strādā ar lineāro paātrinājumu. Tomēr, ja ķermeņa kustība nav lineāra, tad tā pilno paātrinājumu var sadalīt divās daļās:

tangent;
normāls.

Lineāras kustības gadījumā parastā komponente ir nulle, tāpēc mēs nerunājam par paātrinājuma vektora izplešanos.

Tādējādi kustības trajektorija lielā mērā nosaka pilna paātrinājuma raksturu un sastāvdaļas. Kustības trajektorija tiek saprasta kā iedomāta līnija telpā, pa kuru kustas ķermenis. Jebkuršlīknes trajektorija noved pie tādu paātrinājuma komponentu parādīšanās, kas nav nulle, kā minēts iepriekš.

Tangenciālā paātrinājuma noteikšana

Tangenciālais jeb, kā to mēdz dēvēt, tangenciālais paātrinājums ir pilna paātrinājuma sastāvdaļa, kas tangenciāli vērsta uz kustības trajektoriju. Tā kā arī ātrums ir vērsts pa trajektoriju, tad tangenciālā paātrinājuma vektors sakrīt ar ātruma vektoru.

Paātrinājuma jēdziens kā ātruma izmaiņu mērs tika dots iepriekš. Tā kā ātrums ir vektors, to var mainīt moduli vai virzienā. Tangenciālais paātrinājums nosaka tikai ātruma moduļa izmaiņas.

Ņemiet vērā, ka taisnvirziena kustības gadījumā ātruma vektors nemaina savu virzienu, tāpēc saskaņā ar iepriekš minēto definīciju tangenciālais paātrinājums un lineārais paātrinājums ir vienādi.

Tangenciālā paātrinājuma vienādojuma iegūšana

Pieņemsim, ka ķermenis pārvietojas pa kādu izliektu trajektoriju. Tad tā ātrumu v¯ izvēlētajā punktā var attēlot šādi:

v¯=vu_t¯

Šeit v ir vektora v¯ modulis, u_{t¯ ir vienības ātruma vektors, kas ir vērsts tangenciāli uz trajektoriju.}

Izmantojot paātrinājuma matemātisko definīciju, mēs iegūstam:

a¯=dv¯/dt=d(vu_t¯)/dt=dv/dtu_t ¯ + vd(u_t¯)/dt

Meklējot atvasinājumu, šeit tika izmantota divu funkciju reizinājuma īpašība. Mēs redzam, ka kopējais paātrinājums a¯ aplūkotajā punktā atbilst divu terminu summai. Tie ir attiecīgi punkta tangense un normālais paātrinājums.

Pateiksim dažus vārdus par normālu paātrinājumu. Tas ir atbildīgs par ātruma vektora maiņu, tas ir, par ķermeņa kustības virziena maiņu pa līkni. Ja mēs skaidri aprēķinām otrā vārda vērtību, mēs iegūstam normālā paātrinājuma formulu:

a=vd(u_t¯)/dt=v^{2/ r}

Normāls paātrinājums tiek virzīts gar normālu, kas atjaunots līdz norādītajam līknes punktam. Apļveida kustības gadījumā normāls paātrinājums ir centripetāls.

Tangenciālā paātrinājuma vienādojums a_{t¯ ir:}

a_t¯=dv/dtu_t¯

Šis izteiciens saka, ka tangenciālais paātrinājums atbilst nevis virziena izmaiņām, bet gan ātruma moduļa v¯ izmaiņām laika momentā. Tā kā tangenciālais paātrinājums ir vērsts tangenciāli aplūkotajam trajektorijas punktam, tas vienmēr ir perpendikulārs parastajai sastāvdaļai.

Tangenciālais paātrinājums un kopējais paātrinājuma modulis

Tika sniegta visa iepriekš minētā informācija, kas ļauj aprēķināt kopējo paātrinājumu caur tangenti un normālu. Patiešām, tā kā abas sastāvdaļas ir savstarpēji perpendikulāras, to vektori veido taisnleņķa trīsstūra kājas,kuras hipotenūza ir kopējais paātrinājuma vektors. Šis fakts ļauj mums uzrakstīt formulu kopējā paātrinājuma modulim šādā formā:

a=√(a² + a_t²⁾

Leņķi θ starp pilno paātrinājumu un tangenciālo paātrinājumu var definēt šādi:

θ=arccos(a_t/a)

Jo lielāks tangenciālais paātrinājums, jo tuvāki ir tangenciālā un pilnā paātrinājuma virzieni.

Saistība starp tangenciālo un leņķisko paātrinājumu

Tipiska līknes trajektorija, pa kuru ķermeņi pārvietojas tehnoloģijās un dabā, ir aplis. Patiešām, zobratu, lāpstiņu un planētu kustība ap savu asi vai ap to gaismekļiem notiek tieši pa apli. Šai trajektorijai atbilstošo kustību sauc par rotāciju.

Rotācijas kinemātiku raksturo tādas pašas vērtības kā kustības kinemātikai pa taisnu līniju, tomēr tām ir leņķiskais raksturs. Tātad, lai aprakstītu rotāciju, tiek izmantots centrālais griešanās leņķis θ, leņķiskais ātrums ω un paātrinājums α. Šiem daudzumiem ir derīgas šādas formulas:

ω=dθ/dt;

α=dω/dt

Pieņemsim, ka ķermenis ir veicis vienu apgriezienu ap rotācijas asi laikā t, tad leņķiskajam ātrumam varam rakstīt:

ω=2pi/t

Lineārais ātrums šajā gadījumā būs vienāds ar:

v=2pir/t

Kur r ir trajektorijas rādiuss. Pēdējie divi izteicieni ļauj mums rakstītformula divu ātrumu savienošanai:

v=ωr

Tagad mēs aprēķinām vienādojuma kreisās un labās puses laika atvasinājumu, iegūstam:

dv/dt=rdω/dt

Vienādības labā puse ir leņķiskā paātrinājuma un apļa rādiusa reizinājums. Vienādojuma kreisā puse ir ātruma moduļa izmaiņas, tas ir, tangenciālais paātrinājums.

Tādējādi tangenciālais paātrinājums un līdzīga leņķiskā vērtība ir saistīti ar vienādību:

a_t=αr

Ja pieņemam, ka disks griežas, tad punkta tangenciālais paātrinājums pie nemainīgas vērtības α lineāri palielināsies, palielinoties attālumam no šī punkta līdz rotācijas asij r.

Tālāk mēs atrisināsim divas problēmas, izmantojot iepriekš minētās formulas.

Tangenciālā paātrinājuma noteikšana no zināmas ātruma funkcijas

Ir zināms, ka ķermeņa ātrumu, kas pārvietojas pa noteiktu izliektu trajektoriju, apraksta ar šādu laika funkciju:

v=2t2+ 3t + 5

Ir jānosaka tangenciālā paātrinājuma formula un jāatrod tā vērtība laikā t=5 sekundes.

Vispirms uzrakstīsim tangenciālā paātrinājuma moduļa formulu:

a_t=dv/dt

Tas ir, lai aprēķinātu funkciju a_{t(t), jums jānosaka ātruma atvasinājums attiecībā pret laiku. Mums ir:}

a_t=d(2t^{2+ 3t + 5)/dt=4t + 3}

Aizvietojot iegūtajā izteiksmē laiku t=5 sekundes, mēs nonākam pie atbildes: a_t=23 m/s^2.

Ņemiet vērā, ka šajā uzdevumā ātruma un laika grafiks ir parabola, bet tangenciālā paātrinājuma grafiks ir taisna līnija.

Tangenciālās paātrināšanas uzdevums

Normāls, tangenciāls, pilns paātrinājums

Ir zināms, ka materiālais punkts sāka vienmērīgi paātrinātu rotāciju no nulles laika brīža. 10 sekundes pēc rotācijas sākuma tā centripetālais paātrinājums kļuva vienāds ar 20 m/s2. Nepieciešams noteikt punkta tangenciālo paātrinājumu pēc 10 sekundēm, ja zināms, ka rotācijas rādiuss ir 1 metrs.

Vispirms pierakstiet centripetālā vai parastā paātrinājuma formulu a_c: