Ķermenis, kas izmests leņķī pret horizontu: trajektoriju veidi, formulas

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Katrs no mums meta akmeņus debesīs un vēroja to krišanas trajektoriju. Šis ir visizplatītākais stingra ķermeņa kustības piemērs mūsu planētas gravitācijas spēku laukā. Šajā rakstā mēs apskatīsim formulas, kas var būt noderīgas, lai atrisinātu problēmas, kas saistītas ar horizontā leņķī izmesta ķermeņa brīvu kustību.

Jēdziens virzīties uz horizontu leņķī

Kad kādam cietam objektam tiek piešķirts sākotnējais ātrums un tas sāk augt un pēc tam atkal nokrist zemē, ir vispārpieņemts, ka ķermenis pārvietojas pa parabolisku trajektoriju. Faktiski šāda veida kustību vienādojumu risinājums parāda, ka ķermeņa aprakstītā līnija gaisā ir daļa no elipses. Tomēr praktiskai lietošanai paraboliskā tuvināšana izrādās diezgan ērta un dod precīzus rezultātus.

Leņķī pret horizontu izmesta ķermeņa kustības piemēri ir šāviņa izšaušana no lielgabala purna, bumbas spārdīšana un pat oļu lēkšana pa ūdens virsmu ("krupji"), kas ir notikastarptautiskas sacensības.

Kustības veidu leņķī pēta ballistika.

Attiecīgā kustības veida īpašības

Aplūkojot ķermeņa trajektoriju Zemes gravitācijas spēku laukā, ir patiesi šādi apgalvojumi:

• zinot sākotnējo augstumu, ātrumu un leņķi pret horizontu, varat aprēķināt visu trajektoriju;
• atkāpšanās leņķis ir vienāds ar ķermeņa krišanas leņķi, ja sākotnējais augstums ir nulle;
• vertikālo kustību var uzskatīt neatkarīgi no horizontālās kustības;

Ņemiet vērā, ka šīs īpašības ir spēkā, ja berzes spēks ķermeņa lidojuma laikā ir niecīgs. Balistikā, pētot šāviņu lidojumu, tiek ņemti vērā daudzi dažādi faktori, tostarp berze.

Parabolisko kustību veidi

Atkarībā no augstuma, no kura kustība sākas, kādā augstumā tā beidzas un kā tiek virzīts sākotnējais ātrums, izšķir šādus parabolisko kustību veidus:

• Pilnīga parabola. Šajā gadījumā ķermenis tiek izmests no zemes virsmas, un tas nokrīt uz šīs virsmas, aprakstot pilnīgu parabolu.
• Puse no parabolas. Šāds ķermeņa kustības grafiks tiek novērots, ja tas tiek izmests no noteikta augstuma h, virzot ātrumu v paralēli horizontam, tas ir, leņķī θ=0^o.
• Parabolas daļa. Šādas trajektorijas rodas, kad ķermenis tiek mests kādā leņķī θ≠0^o, un atšķirībasākuma un beigu augstums arī nav nulle (h-h₀≠0). Lielākā daļa objektu kustības trajektoriju ir šāda veida. Piemēram, šāviens no lielgabala, kas stāv uzkalnā, vai basketbolists, kurš met bumbu grozā.

Tā ķermeņa kustības grafiks, kas atbilst pilnai parabolai, ir parādīts iepriekš.

Aprēķiniem nepieciešamās formulas

Dodīsim formulas, kā aprakstīt leņķī pret horizontu izmesta ķermeņa kustību. Neņemot vērā berzes spēku un ņemot vērā tikai gravitācijas spēku, mēs varam uzrakstīt divus vienādojumus objekta ātrumam:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ) - gt

Tā kā gravitācija ir vērsta vertikāli uz leju, tā nemaina ātruma horizontālo komponenti v_x, tāpēc pirmajā vienādībā nav laika atkarības. Komponentu v_y savukārt ietekmē gravitācija, kas g piešķir ķermenim paātrinājumu, kas vērsts pret zemi (tātad formulā ir mīnusa zīme).

Tagad uzrakstīsim formulas, kā mainīt ķermeņa koordinātas, kas izmestas leņķī pret horizontu:

x=x₀+v₀cos(θ)t

y=y₀+ v₀sin(θ)t - gt² /2

Sākuma koordināte x₀bieži tiek pieņemta kā nulle. Koordināta y₀ nav nekas cits kā augstums h, no kura tiek izmests ķermenis (y₀=h).

Tagad izteiksim laiku t no pirmās izteiksmes un aizstāsim to ar otro, iegūstam:

y=h + tg(θ)x - g /(2v₀²cos ²(θ))x²

Šī izteiksme ģeometrijā atbilst parabolai, kuras zari ir vērsti uz leju.

Iepriekš minētie vienādojumi ir pietiekami, lai noteiktu jebkādas šāda veida kustības īpašības. Tātad to risinājums noved pie tā, ka maksimālais lidojuma diapazons tiek sasniegts, ja θ=45^o, savukārt maksimālais augstums, līdz kuram paceļas izmestais ķermenis, tiek sasniegts, ja θ=90o.