Pētot mehānisko kustību fizikā, pēc iepazīšanās ar vienmērīgu un vienmērīgi paātrinātu objektu kustību, tiek aplūkota ķermeņa kustība leņķī pret horizontu. Šajā rakstā mēs šo problēmu izpētīsim sīkāk.
Kāda ir ķermeņa kustība leņķī pret horizontu?
Šāda veida objektu kustība notiek, kad cilvēks met gaisā akmeni, no lielgabala izšauj lielgabala lodi vai vārtsargs izsit futbola bumbu no vārtiem. Visus šādus gadījumus aplūko ballistikas zinātne.
Norādītais objektu kustības veids gaisā notiek pa parabolisko trajektoriju. Vispārīgā gadījumā attiecīgo aprēķinu veikšana nav viegls uzdevums, jo jāņem vērā gaisa pretestība, ķermeņa griešanās lidojuma laikā, Zemes griešanās ap savu asi un daži citi faktori.
Šajā rakstā mēs neņemsim vērā visus šos faktorus, bet aplūkosim jautājumu no tīri teorētiskā viedokļa. Tomēr iegūtās formulas ir diezgan labasaprakstiet ķermeņu trajektorijas, kas pārvietojas nelielos attālumos.
Formulu iegūšana aplūkotajam kustības veidam
Atvasināsim formulas ķermeņa kustībai uz horizontu leņķī. Šajā gadījumā mēs ņemsim vērā tikai vienu spēku, kas iedarbojas uz lidojošu objektu - gravitāciju. Tā kā tas darbojas vertikāli uz leju (paralēli y asij un pret to), tad, ņemot vērā kustības horizontālās un vertikālās sastāvdaļas, varam teikt, ka pirmajam būs vienmērīgas taisnas kustības raksturs. Un otrais - tikpat lēna (vienmērīgi paātrināta) taisnvirziena kustība ar paātrinājumu g. Tas nozīmē, ka ātruma komponenti caur vērtību v0 (sākotnējais ātrums) un θ (ķermeņa kustības virziena leņķis) tiks rakstīti šādi:
vx=v0cos(θ)
vy=v0sin(θ)-gt
Pirmā formula (par vx) vienmēr ir derīga. Runājot par otro, šeit jāatzīmē viena nianse: mīnusa zīmi pirms reizinājuma gt liek tikai tad, ja vertikālā sastāvdaļa v0sin(θ) ir vērsta uz augšu. Vairumā gadījumu tas tomēr notiek, ja met ķermeni no augstuma, norādot to uz leju, tad izteiksmē vy pirms g jāievieto zīme "+". t.
Integrējot ātruma komponentu formulas laika gaitā un ņemot vērā ķermeņa lidojuma sākotnējo augstumu h, iegūstam koordinātu vienādojumus:
x=v0cos(θ)t
y=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Aprēķināt lidojuma diapazonu
Aplūkojot fizikā ķermeņa kustību uz horizontu praktiskai lietošanai noderīgā leņķī, izrādās, ka jāaprēķina lidojuma attālums. Definēsim to.
Tā kā šī kustība ir vienmērīga kustība bez paātrinājuma, pietiek ar to aizvietot lidojuma laiku un iegūt vēlamo rezultātu. Lidojuma diapazonu nosaka tikai kustība pa x asi (paralēli horizontam).
Laiku, kad ķermenis atrodas gaisā, var aprēķināt, pielīdzinot y koordinātu ar nulli. Mums ir:
0=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Šis kvadrātvienādojums tiek atrisināts, izmantojot diskriminantu, mēs iegūstam:
D=b2- 4ac=v02sin 2(θ) - 4(-g/2)h=v02 sin2(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v0sin(θ)±√(v0 2sin2(θ) + 2gh))/(-2g/2)=
=(v0sin(θ)+√(v02 sin2(θ) + 2gh))/g.
Pēdējā izteiksmē viena sakne ar mīnusa zīmi tiek izmesta tās nenozīmīgās fiziskās vērtības dēļ. Aizvietojot lidojuma laiku t izteiksmē x, mēs iegūstam lidojuma diapazonu l:
l=x=v0cos(θ)(v0sin(θ)+√(v 02sin2(θ) + 2gh))/g.
Vienkāršākais veids, kā analizēt šo izteiksmi, ir sākotnējais augstumsir vienāds ar nulli (h=0), tad iegūstam vienkāršu formulu:
l=v 02sin(2θ)/g
Šī izteiksme norāda, ka maksimālo lidojuma diapazonu var iegūt, ja ķermenis tiek mests leņķī 45o(sin(245o )=m1).
Maksimālais ķermeņa augstums
Papildus lidojuma diapazonam ir noderīgi arī atrast augstumu virs zemes, līdz kuram ķermenis var pacelties. Tā kā šāda veida kustību raksturo parabola, kuras zari ir vērsti uz leju, maksimālais pacelšanas augstums ir tās galējais punkts. Pēdējo aprēķina, atrisinot atvasinājuma vienādojumu attiecībā pret t y:
dy/dt=d(h+v0sin(θ)t-gt2/2)/dt=v0sin(θ)-gt=0=>
=>t=v0sin(θ)/g.
Aizstāt šo laiku vienādojumā ar y, mēs iegūstam:
y=h+v0sin(θ)v0sin(θ)/g-g(v 0sin(θ)/g)2/2=h + v0 2sin2(θ)/(2g).
Šī izteiksme norāda, ka ķermenis pacelsies līdz maksimālajam augstumam, ja tas tiks uzmests vertikāli uz augšu (sin2(90o)=1).
