Matemātika nāk no senatnes. Pateicoties viņai, arhitektūra, būvniecība un militārā zinātne deva jaunu attīstības kārtu, sasniegumi, kas tika iegūti ar matemātikas palīdzību, noveda pie progresa kustības. Līdz mūsdienām matemātika joprojām ir galvenā zinātne, kas sastopama visās citās nozarēs.
Lai izglītotos, bērni no pirmās klases pamazām sāk iekļauties šajā vidē. Ir ļoti svarīgi saprast matemātiku, jo tā vienā vai otrā pakāpē rodas katram cilvēkam viņa dzīves laikā. Šajā rakstā tiks analizēts viens no galvenajiem elementiem – atvasinājumu atrašana un pielietošana. Ne katrs cilvēks var iedomāties, cik plaši šis jēdziens tiek izmantots. Apsveriet vairāk nekā 10 atvasinājumu lietojumus noteiktās jomās vai zinātnēs.
Atvasinājuma pielietošana funkcijas izpētē
Atvasinājums ir tāds ierobežojumsfunkcijas pieauguma attiecība pret tās argumenta pieaugumu, ja argumenta eksponentam ir tendence uz nulli. Atvasinājums ir neaizstājama lieta funkcijas izpētē. Piemēram, to var izmantot, lai noteiktu pēdējās, ekstrēmas, izliekuma un ieliekuma palielināšanos un samazināšanos. Diferenciālrēķins ir iekļauts matemātikas augstskolu 1. un 2. kursa studentu obligātajā programmā.
Tvēruma un funkciju nulles
Pirmais jebkura grafika izpētes posms sākas ar definīcijas jomas noskaidrošanu, retākos gadījumos - vērtības noskaidrošanu. Definīcijas domēns ir iestatīts pa abscisu asi, citiem vārdiem sakot, tās ir skaitliskās vērtības uz OX ass. Bieži vien joma jau ir iestatīta, bet, ja tā nav, tad ir jānovērtē argumenta x vērtība. Pieņemsim, ja dažām argumenta vērtībām funkcijai nav jēgas, tad šis arguments tiek izslēgts no darbības jomas.
Funkcijas nulles tiek atrastas vienkāršā veidā: funkcija f(x) jāpielīdzina nullei un iegūtais vienādojums jāatrisina attiecībā pret vienu mainīgo x. Iegūtās vienādojuma saknes ir funkcijas nulles, tas ir, šajās x funkcija ir 0.
Palielināt un samazināt
Atvasinājuma izmantošanu monotoniskuma funkciju pētīšanai var aplūkot no divām pozīcijām. Monotoniskā funkcija ir kategorija, kurai ir tikai pozitīvas atvasinājuma vērtības vai tikai negatīvas vērtības. Vienkāršiem vārdiem sakot, funkcija tikai palielinās vai samazinās visā pētāmajā intervālā:
- Palielināt parametru. Funkcijaf(x) palielināsies, ja f`(x) atvasinājums ir lielāks par nulli.
- Dilstošs parametrs. Funkcija f(x) samazināsies, ja f`(x) atvasinājums ir mazāks par nulli.
Tangenss un slīpums
Atvasinājuma pielietojumu funkcijas izpētei nosaka arī pieskare (taisne, kas vērsta leņķī) funkcijas grafikam dotajā punktā. Pieskares punktā (x0) - taisne, kas iet caur punktu un pieder funkcijai, kuras koordinātas ir (x0, f(x) 0 )) un ar slīpumu f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - funkcijas grafika dotā punkta pieskares vienādojums.
Atvasinājuma ģeometriskā nozīme: funkcijas f(x) atvasinājums ir vienāds ar šīs funkcijas grafika izveidotās pieskares slīpumu dotajā punktā x. Leņķiskais koeficients savukārt ir vienāds ar OX asi (abscisu) pieskares slīpuma leņķa pieskari pozitīvā virzienā. Šis rezultāts ir būtisks, lai funkcijas diagrammā piemērotu atvasinājumu.
Ekstrēmi punkti
Atvasinājuma izmantošana pētījumam ietver augstāko un zemāko punktu atrašanu.
Lai atrastu un noteiktu minimālo un maksimālo punktu skaitu, jums:
- Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājumu.
- Iestatiet iegūto vienādojumu uz nulli.
- Atrodiet vienādojuma saknes.
- Atrodiet augstākos un zemākos punktus.
Lai atrastu galējībasfunkcijas:
- Atrodiet minimālo un maksimālo punktu skaitu, izmantojot iepriekš minēto metodi.
- Aizvietojiet šos punktus sākotnējā vienādojumā un aprēķiniet ymax un ymin
Funkcijas maksimālais punkts ir lielākā funkcijas f(x) vērtība intervālā, citiem vārdiem sakot, xmax.
Funkcijas minimālais punkts ir mazākā funkcijas f(x) vērtība intervālā, citiem vārdiem sakot, xname
Ekstrēma punkti ir tādi paši kā maksimālais un minimālais punkts, kā arī funkcijas galējais punkts (ymax. un yminimums) - funkciju vērtības, kas atbilst galējiem punktiem.
Izliekums un ieliekums
Izliekumu un ieliekumu var noteikt, zīmēšanai izmantojot atvasinājumu:
- Funkcija f(x), kas pārbaudīta intervālā (a, b), ir ieliekta, ja funkcija atrodas zem visām pieskarēm šajā intervālā.
- Funkcija f(x), kas pētīta intervālā (a, b), ir izliekta, ja funkcija atrodas virs visām pieskarēm šajā intervālā.
Punktu, kas atdala izliekumu un ieliekumu, sauc par funkcijas lēciena punktu.
Lai atrastu locījuma punktus:
- Atrodiet otrā veida kritiskos punktus (otrais atvasinājums).
- Līkuma punkti ir tie kritiskie punkti, kas atdala divas pretējas zīmes.
- Aprēķināt funkciju vērtības funkcijas lēciena punktos.
Daļēji atvasinājumi
Pieteikumsir šāda veida atvasinājumi uzdevumos, kur tiek izmantots vairāk nekā viens nezināms mainīgais. Visbiežāk ar šādiem atvasinājumiem nākas saskarties, veidojot funkciju grafiku, precīzāk, virsmas telpā, kur divu asu vietā ir trīs, tātad trīs lielumi (divi mainīgie un viena konstante).
Pamatnoteikums, aprēķinot daļējos atvasinājumus, ir izvēlēties vienu mainīgo, bet pārējos uzskatīt par konstantēm. Tāpēc, aprēķinot daļējo atvasinājumu, konstante kļūst it kā par skaitlisku vērtību (daudzās atvasinājumu tabulās tās apzīmē ar C=const). Šāda atvasinājuma nozīme ir funkcijas z=f(x, y) maiņas ātrums pa OX un OY asīm, tas ir, tas raksturo konstruētās virsmas ieplaku un izciļņu stāvumu.
Atvasinājums fizikā
Atvasinājuma izmantošana fizikā ir plaši izplatīta un svarīga. Fiziskā nozīme: ceļa atvasinājums attiecībā pret laiku ir ātrums, un paātrinājums ir ātruma atvasinājums attiecībā pret laiku. No fiziskās nozīmes daudzas nozares var saistīt ar dažādām fizikas nozarēm, vienlaikus pilnībā saglabājot atvasinājuma nozīmi.
Ar atvasinājuma palīdzību tiek atrastas šādas vērtības:
- Ātrums kinemātikā, kur aprēķina nobrauktā attāluma atvasinājumu. Ja tiek atrasts otrais ceļa atvasinājums vai pirmais ātruma atvasinājums, tad tiek atrasts ķermeņa paātrinājums. Turklāt ir iespējams atrast materiāla punkta momentāno ātrumu, bet tam ir jāzina pieaugums ∆t un ∆r.
- Elektrodinamikā:maiņstrāvas momentānās stiprības, kā arī elektromagnētiskās indukcijas EML aprēķins. Aprēķinot atvasinājumu, jūs varat atrast maksimālo jaudu. Elektriskā lādiņa daudzuma atvasinājums ir strāvas stiprums vadītājā.
Atvasinājums ķīmijā un bioloģijā
Ķīmija: atvasinājumu izmanto, lai noteiktu ķīmiskās reakcijas ātrumu. Atvasinājuma ķīmiskā nozīme: funkcija p=p(t), šajā gadījumā p ir vielas daudzums, kas nonāk ķīmiskā reakcijā laikā t. ∆t - laika pieaugums, ∆p - vielas daudzuma pieaugums. Attiecības ∆p pret ∆t robežu, pie kuras ∆t tiecas uz nulli, sauc par ķīmiskās reakcijas ātrumu. Ķīmiskās reakcijas vidējā vērtība ir attiecība ∆p/∆t. Nosakot ātrumu, precīzi jāzina visi nepieciešamie parametri, apstākļi, jāzina vielas un plūsmas vides agregātstāvoklis. Tas ir diezgan liels aspekts ķīmijā, ko plaši izmanto dažādās nozarēs un cilvēku darbībās.
Bioloģija: atvasinājuma jēdzienu izmanto, lai aprēķinātu vidējo reprodukcijas ātrumu. Bioloģiskā nozīme: mums ir funkcija y=x(t). ∆t - laika pieaugums. Tad ar dažu transformāciju palīdzību iegūstam funkciju y`=P(t)=x`(t) - populācijas vitālo aktivitāti laikā t (vidējais vairošanās ātrums). Šāda atvasinājuma izmantošana ļauj jums saglabāt statistiku, izsekot reprodukcijas ātrumam un tā tālāk.
Atvasinājums ģeogrāfijā un ekonomikā
Atvasinājums ļauj ģeogrāfiem izlemttādi uzdevumi kā populācijas atrašana, vērtību aprēķināšana seismogrāfijā, kodolģeofizikālo indikatoru radioaktivitātes aprēķināšana, interpolācijas aprēķināšana.
Ekonomikā svarīga aprēķinu daļa ir diferenciālrēķins un atvasinājuma aprēķins. Pirmkārt, tas ļauj noteikt nepieciešamo ekonomisko vērtību robežas. Piemēram, augstākā un zemākā darba ražīgums, izmaksas, peļņa. Pamatā šīs vērtības tiek aprēķinātas no funkciju grafikiem, kur tās atrod galējības, nosaka funkcijas monotonitāti vēlamajā apgabalā.
Secinājums
Šī diferenciālrēķina loma, kā norādīts rakstā, ir saistīta ar dažādām zinātniskām struktūrām. Atvasināto funkciju izmantošana ir svarīgs zinātnes un ražošanas praktiskās daļas elements. Ne velti vidusskolā un universitātē mums mācīja veidot sarežģītus grafikus, izpētīt un strādāt ar funkcijām. Kā redzat, bez atvasinājumiem un diferenciālajiem aprēķiniem nebūtu iespējams aprēķināt vitāli svarīgus rādītājus un daudzumus. Cilvēce ir iemācījusies modelēt dažādus procesus un tos izpētīt, risināt sarežģītas matemātiskas problēmas. Patiešām, matemātika ir visu zinātņu karaliene, jo šī zinātne ir visu citu dabas un tehnisko disciplīnu pamatā.
