Matemātikas uzdevumi tiek izmantoti daudzās zinātnēs. Tie ietver ne tikai fiziku, ķīmiju, inženierzinātnes un ekonomiku, bet arī medicīnu, ekoloģiju un citas disciplīnas. Viena svarīga koncepcija, kas jāapgūst, lai atrastu risinājumus svarīgām dilemmām, ir funkcijas atvasinājums. Tā fiziskā nozīme nemaz nav tik grūti izskaidrojama, kā varētu šķist jautājuma būtībā nezinātājam. Pietiek tikai atrast piemērotus piemērus reālajā dzīvē un parastās ikdienas situācijās. Faktiski jebkurš autobraucējs katru dienu tiek galā ar līdzīgu uzdevumu, skatoties spidometrā, nosakot viņa automašīnas ātrumu noteiktā momentā un noteiktā laikā. Galu galā tieši šajā parametrā slēpjas atvasinājuma fiziskās nozīmes būtība.
Kā atrast ātrumu
Nosakiet cilvēka ātrumu uz ceļa, zinot nobraukto attālumu un brauciena laiku, jebkurš piektās klases skolnieks to var viegli izdarīt. Lai to izdarītu, pirmā no norādītajām vērtībām tiek dalīta ar otro. Betne katrs jaunais matemātiķis zina, ka šobrīd atrod funkcijas un argumenta pieauguma attiecību. Patiešām, ja mēs iedomājamies kustību grafika veidā, iezīmējot ceļu pa y asi un laiku pa abscisu, tas būs tieši šāds.
Tomēr gājēja vai jebkura cita objekta ātrums, ko nosakām lielā celiņa posmā, uzskatot kustību par vienmērīgu, var labi mainīties. Fizikā ir daudz kustību veidu. To var veikt ne tikai ar pastāvīgu paātrinājumu, bet patvaļīgi palēnināt un palielināt. Jāņem vērā, ka šajā gadījumā līniju, kas apraksta kustību, vairs nebūs taisna līnija. Grafiski tas var iegūt vissarežģītākās konfigurācijas. Bet jebkuram no diagrammas punktiem mēs vienmēr varam uzzīmēt pieskares lineāru funkciju.
Lai precizētu nobīdes maiņas parametru atkarībā no laika, nepieciešams saīsināt izmērītos segmentus. Kad tie kļūst bezgalīgi mazi, aprēķinātais ātrums būs momentāns. Šī pieredze palīdz mums definēt atvasinājumu. No šādas spriešanas loģiski izriet arī tā fiziskā nozīme.
Ģeometrijas ziņā
Ir zināms, ka jo lielāks ir ķermeņa ātrums, jo stāvāks ir nobīdes atkarības no laika grafiks un līdz ar to arī grafika pieskares slīpuma leņķis noteiktā punktā. Šādu izmaiņu indikators var būt leņķa pieskare starp x asi un pieskares līniju. Tas tikai nosaka atvasinājuma vērtību un tiek aprēķināts pēc garumu attiecībasiepretim blakus esošajai kājai taisnleņķa trijstūrī, ko veido perpendikuls, kas no kāda punkta nomests uz x asi.
Šī ir pirmā atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Fiziskais atklājas tajā, ka pretējās kājas vērtība mūsu gadījumā ir nobrauktais attālums, bet blakus esošās – laiks. To attiecība ir ātrums. Un atkal mēs nonākam pie secinājuma, ka momentānais ātrums, kas tiek noteikts, kad abas spraugas mēdz būt bezgalīgi mazas, ir atvasinājuma jēdziena būtība, kas norāda uz tā fizisko nozīmi. Otrais atvasinājums šajā piemērā būs ķermeņa paātrinājums, kas savukārt parāda ātruma izmaiņu ātrumu.
Atvasinājumu atrašanas piemēri fizikā
Atvasinājums ir jebkuras funkcijas izmaiņu ātruma rādītājs, pat ja mēs nerunājam par kustību šī vārda tiešajā nozīmē. Lai to skaidri parādītu, ņemsim dažus konkrētus piemērus. Pieņemsim, ka strāvas stiprums atkarībā no laika mainās saskaņā ar šādu likumu: I=0, 4t2. Ir jāatrod šī parametra izmaiņu ātruma vērtība procesa 8. sekundes beigās. Ņemiet vērā, ka pati vēlamā vērtība, kā var spriest no vienādojuma, nepārtraukti palielinās.
Lai to atrisinātu, jāatrod pirmais atvasinājums, kura fiziskā nozīme tika aplūkota iepriekš. Šeit dI / dt=0,8 t. Tālāk mēs to atrodam pie t \u003d 8, mēs iegūstam, ka strāvas stipruma maiņas ātrums ir 6,4 A / c. Šeit tiek uzskatīts, kastrāvu mēra ampēros un laiku attiecīgi sekundēs.
Viss mainās
Redzamā apkārtējā pasaule, kas sastāv no matērijas, pastāvīgi mainās, atrodoties dažādu tajā notiekošo procesu kustībā. To aprakstīšanai var izmantot dažādus parametrus. Ja tos vieno atkarība, tad tie ir matemātiski uzrakstīti kā funkcija, kas skaidri parāda to izmaiņas. Un tur, kur ir kustība (lai kādā formā tā tiktu izteikta), pastāv arī atvasinājums, kura fizisko nozīmi mēs šobrīd apsveram.
Šajā gadījumā šāds piemērs. Pieņemsim, ka ķermeņa temperatūra mainās saskaņā ar likumu T=0, 2 t 2. Jums vajadzētu atrast tā sildīšanas ātrumu 10. sekundes beigās. Problēma tiek atrisināta līdzīgi kā aprakstīts iepriekšējā gadījumā. Tas ir, mēs atrodam atvasinājumu un aizstājam tajā vērtību t \u003d 10, iegūstam T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Tas nozīmē, ka galīgā atbilde ir 4 grādi sekundē, tas ir, sildīšanas process. un temperatūras izmaiņas, mērot grādos, notiek tieši ar šādu ātrumu.
Praktisku problēmu risināšana
Protams, dzīvē viss ir daudz sarežģītāk nekā teorētiskajās problēmās. Praksē lielumu vērtību parasti nosaka eksperimenta laikā. Šajā gadījumā tiek izmantoti instrumenti, kas mērījumu laikā sniedz rādījumus ar noteiktu kļūdu. Tāpēc aprēķinos ir jārēķinās ar aptuvenām parametru vērtībām un jāizmanto neērti skaitļi,kā arī citi vienkāršojumi. Ņemot to vērā, mēs atkal pievērsīsimies atvasinājuma fiziskās nozīmes problēmām, jo tās ir tikai sava veida matemātisks modelis vissarežģītākajiem dabā notiekošajiem procesiem.
Vulkāna izvirdums
Iedomāsimies, ka izvirst vulkāns. Cik bīstams viņš var būt? Lai atbildētu uz šo jautājumu, ir jāņem vērā daudzi faktori. Mēs centīsimies uzņemt vienu no tiem.
No "ugunīgā briesmoņa" ietekas akmeņi tiek mesti vertikāli uz augšu, sākotnējais ātrums no to izbraukšanas brīža līdz ārpusei ir 120 m/s. Ir jāaprēķina, kāds tie var sasniegt maksimālo augstumu.
Lai atrastu vēlamo vērtību, mēs sastādīsim vienādojumu augstuma H atkarībai no citām vērtībām, ko mēra metros. Tie ietver sākotnējo ātrumu un laiku. Paātrinājuma vērtība tiek uzskatīta par zināmu un aptuveni vienāda ar 10 m/s2.
Daļējs atvasinājums
Tagad aplūkosim funkcijas atvasinājuma fizisko nozīmi no nedaudz cita leņķa, jo vienādojums pats var saturēt nevis vienu, bet vairākus mainīgos. Piemēram, iepriekšējā uzdevumā no vulkāna izplūdes atveres izmesto akmeņu augstuma atkarību noteica ne tikai laika raksturlielumu izmaiņas, bet arī sākotnējā ātruma vērtība. Pēdējais tika uzskatīts par nemainīgu, fiksētu vērtību. Bet citos uzdevumos ar pavisam citiem nosacījumiem viss varētu būt savādāk. Ja daudzumi, uz kuriem komplekssfunkcija, vairākas, aprēķini tiek veikti saskaņā ar tālāk norādītajām formulām.
Biežā atvasinājuma fiziskā nozīme jānosaka kā parastajā gadījumā. Tas ir ātrums, ar kādu funkcija mainās noteiktā punktā, palielinoties mainīgā parametram. To aprēķina tā, ka visas pārējās sastāvdaļas tiek ņemtas par konstantēm, tikai viena tiek uzskatīta par mainīgo. Tad viss notiek pēc parastajiem noteikumiem.
Neaizstājams padomdevējs daudzos jautājumos
Izprotot atvasinājuma fizisko nozīmi, nav grūti minēt sarežģītu un sarežģītu problēmu risināšanas piemērus, kuros ar šādām zināšanām var rast atbildi. Ja mums ir funkcija, kas apraksta degvielas patēriņu atkarībā no automašīnas ātruma, mēs varam aprēķināt, pie kādiem pēdējā parametriem benzīna patēriņš būs vismazākais.
Medicīnā var paredzēt, kā cilvēka organisms reaģēs uz ārsta izrakstītajām zālēm. Zāļu lietošana ietekmē dažādus fizioloģiskos parametrus. Tie ietver izmaiņas asinsspiedienā, sirdsdarbības ātrumā, ķermeņa temperatūrā un daudz ko citu. Tie visi ir atkarīgi no lietoto zāļu devas. Šie aprēķini palīdz prognozēt ārstēšanas gaitu gan labvēlīgos izpausmēs, gan nevēlamos negadījumos, kas var letāli ietekmēt izmaiņas pacienta organismā.
Neapšaubāmi, ir svarīgi izprast atvasinājuma fizisko nozīmi tehniskajājautājumiem, jo īpaši elektrotehnikā, elektronikā, projektēšanā un būvniecībā.
Bremzēšanas ceļš
Apskatīsim nākamo problēmu. Braucot nemainīgā ātrumā, automašīnai, tuvojoties tiltam, 10 sekundes pirms iebrauktuves nācās samazināt ātrumu, jo vadītājs pamanīja ceļa zīmi, kas aizliedz pārvietoties ar ātrumu, kas lielāks par 36 km/h. Vai vadītājs pārkāpa noteikumus, ja bremzēšanas ceļu var raksturot ar formulu S=26t - t2?
Aprēķinot pirmo atvasinājumu, atrodam ātruma formulu, iegūstam v=28 – 2t. Tālāk norādītajā izteiksmē aizstājiet vērtību t=10.
Tā kā šī vērtība tika izteikta sekundēs, ātrums ir 8 m/s, kas nozīmē 28,8 km/h. Tas ļauj saprast, ka vadītājs sācis laicīgi samazināt ātrumu un nav pārkāpis ceļu satiksmes noteikumus, līdz ar to arī ātruma zīmē norādīto ierobežojumu.
Tas pierāda atvasinājuma fiziskās nozīmes nozīmi. Šīs problēmas risināšanas piemērs parāda šī jēdziena lietojuma plašumu dažādās dzīves jomās. Tostarp ikdienas situācijās.
Atvasinājums ekonomikā
Līdz 19. gadsimtam ekonomisti pārsvarā darbojās pēc vidējiem rādītājiem neatkarīgi no tā, vai tas bija darba ražīgums vai produkcijas cena. Taču no kāda brīža ierobežojošās vērtības kļuva vairāk nepieciešamas, lai šajā jomā veiktu efektīvas prognozes. Tie ietver robežlietderību, ienākumus vai izmaksas. Tā izpratne deva impulsu pilnīgi jauna instrumenta izveidei ekonomikas pētniecībā,kas pastāv un attīstījās vairāk nekā simts gadus.
Lai veiktu šādus aprēķinus, kur dominē tādi jēdzieni kā minimums un maksimums, vienkārši ir jāsaprot atvasinājuma ģeometriskā un fiziskā nozīme. Šo disciplīnu teorētiskās bāzes veidotāju vidū var nosaukt tādus ievērojamus angļu un austriešu ekonomistus kā ASV Dževonss, K. Mengers u.c. Protams, ierobežojošās vērtības ekonomiskajos aprēķinos ne vienmēr ir ērti lietojamas. Un, piemēram, ceturkšņa atskaites ne vienmēr iekļaujas esošajā shēmā, tomēr šādas teorijas pielietošana daudzos gadījumos ir noderīga un efektīva.
