Mēroga versijā modelis ir noteiktas parādības vai procesa sava veida attēls, diagramma, karte, apraksts, attēls. Pati parādība tiek saukta par matemātiskā vai ekonomiskā modeļa oriģinālu.
Kas ir modelēšana?
Modelēšana ir kāda objekta, sistēmas izpēte. Tā ieviešanai tiek izveidots un analizēts modelis.
Visi modelēšanas posmi ietver zinātnisku eksperimentu, kura objekts ir abstrakts vai subjekta modelis. Veicot eksperimentu, konkrēta parādība tiek aizstāta ar shēmu vai vienkāršotu modeli (kopiju). Dažos gadījumos tiek salikts darba modelis, lai ar tā piemēru izprastu darba mehānismu, analizētu pieredzes rezultātu ieviešanas tirgus ekonomikā ekonomisko iespējamību. To pašu parādību var uzskatīt dažādos modeļos.
Pētniekam jāizvēlas nepieciešamie modelēšanas posmi, optimāli tie jāizmanto. Modeļu izmantošana ir aktuāla gadījumos, kad reāls objekts nav pieejams, vai arī eksperimenti ar to saistīti ar nopietnām vides problēmām. Pašreizējais modelis tiek pielietots arī situācijās, kad notiek reāls eksperimentsir saistītas ar ievērojamām materiālajām izmaksām.
Matemātiskās modelēšanas iezīmes
Zinātnē ir neaizstājami matemātiskie modeļi, kā arī tiem nepieciešamie instrumenti - matemātiskie jēdzieni. Vairāku gadu tūkstošu laikā tie uzkrājās un modernizējās. Mūsdienu matemātikā ir universāli un spēcīgi pētniecības veidi. Jebkuri objekti, kurus uzskata "zinātņu karaliene", ir matemātisks modelis. Izvēlētā objekta detalizētai analīzei tiek atlasīti matemātiskās modelēšanas posmi. Ar to palīdzību tiek izdalītas detaļas, pazīmes, raksturīgās pazīmes, sistematizēta saņemtā informācija un izveidots pilns objekta apraksts.
Matemātiskā formalizācija ietver darbību pētījuma laikā ar īpašiem jēdzieniem: matrica, funkcija, atvasinājums, antiatvasinājums, skaitļi. Tās attiecības un sakarības, kuras var atrast pētāmajā objektā starp veidojošajiem elementiem un detaļām, tiek fiksētas ar matemātiskām attiecībām: vienādojumi, nevienādības, vienādības. Rezultātā tiek iegūts parādības vai procesa matemātisks apraksts un līdz ar to arī tā matemātiskais modelis.
Noteikumi matemātiskā modeļa apguvei
Ir noteikta modelēšanas darbību secība, kas ļauj izveidot saikni starp sekām un cēloņiem. Sistēmas projektēšanas vai izpētes centrālais posms ir pilnvērtīga matemātiskā modeļa izveide. Šī objekta turpmākā analīze ir tieši atkarīga no veikto darbību kvalitātes. Ēkamatemātiskais vai ekonomiskais modelis nav formāla procedūra. Tam jābūt viegli lietojamam, precīzam, lai analīzes rezultātos nebūtu izkropļojumu.
Par matemātisko modeļu klasifikāciju
Ir divas šķirnes: deterministiskie un stohastiskie modeļi. Deterministiskie modeļi ietver savstarpējas atbilstības izveidošanu starp mainīgajiem, ko izmanto, lai aprakstītu parādību vai objektu.
Šīs pieejas pamatā ir informācija par objekta darbības principu. Daudzos gadījumos modelējamajai parādībai ir sarežģīta struktūra, un tās atšifrēšanai nepieciešams daudz laika un zināšanu. Šādās situācijās tiek izvēlēti tādi modelēšanas posmi, kas ļaus veikt eksperimentus ar oriģinālu, apstrādāt iegūtos rezultātus, neiedziļinoties objekta teorētiskajās iezīmēs. Visbiežāk izmantotā statistika un varbūtību teorija. Rezultāts ir stohastisks modelis. Starp mainīgajiem ir nejauša sakarība. Liels skaits dažādu faktoru rada nejaušu mainīgo kopu, kas raksturo parādību vai objektu.
Mūsdienu modelēšanas darbības attiecas uz statiskajiem un dinamiskajiem modeļiem. Statiskajos skatījumos attiecību apraksts starp izveidotās parādības mainīgajiem lielumiem nenozīmē galveno parametru laika izmaiņu ņemšanu vērā. Dinamiskajiem modeļiem attiecību apraksts starp mainīgajiem tiek veikts, ņemot vērā pagaidu izmaiņas.
Modeļu dažādība:
- nepārtraukts;
- diskrēts;
- jaukts
Dažādi matemātiskās modelēšanas posmi ļauj aprakstīt attiecības un funkcijas lineāros modeļos, izmantojot tiešu mainīgo savienojumu.
Kādas ir prasības modeļiem?
- Daudzpusība. Modelim ir jābūt pilnīgam visu reālajam objektam raksturīgo īpašību attēlojumam.
- Atbilstība. Svarīgi objekta raksturlielumi nedrīkst pārsniegt norādīto kļūdu.
- Precizitāte. Tas raksturo realitātē eksistējoša objekta īpašību sakritības pakāpi ar līdzīgiem parametriem, kas iegūti modeļa izpētes laikā.
- Ekonomika. Modelim jābūt minimālam materiālu izmaksu ziņā.
Modelēšanas soļi
Apskatīsim matemātiskās modelēšanas galvenos posmus.
Uzdevuma izvēle. Tiek izvēlēts pētījuma mērķis, izvēlētas metodes tā īstenošanai un izstrādāta eksperimenta stratēģija. Šis posms ietver nopietnu darbu. Simulācijas gala rezultāts ir atkarīgs no uzdevuma pareizības
- Teorētisko pamatu analīze, par objektu saņemtās informācijas apkopošana. Šis posms ietver teorijas atlasi vai izveidi. Ja nav teorētisku zināšanu par objektu, tiek noteiktas cēloņsakarības starp visiem mainīgajiem lielumiem, kas izvēlēti, lai aprakstītu parādību vai objektu. Šajā posmā tiek noteikti sākotnējie un galīgie dati un tiek izvirzīta hipotēze.
- Formalizācija. Īstenotsspeciālo apzīmējumu sistēmas izvēle, kas palīdzēs matemātisko izteiksmju veidā uzrakstīt attiecības starp attiecīgā objekta komponentiem.
Algoritma papildinājumi
Pēc modeļa parametru iestatīšanas tiek izvēlēta noteikta metode vai risinājuma metode.
- Izveidotā modeļa realizācija. Pēc sistēmas modelēšanas posmu atlases tiek izveidota programma, kas tiek pārbaudīta un lietota problēmas risināšanai.
- Apkopotās informācijas analīze. Tiek izvilkta analoģija starp uzdevumu un iegūto risinājumu un tiek noteikta modelēšanas kļūda.
- Pārbauda, vai modelis atbilst reālajam objektam. Ja starp tām ir būtiska atšķirība, tiek izstrādāts jauns modelis. Līdz tiek iegūta ideālā modeļa atbilstība tā reālajam līdziniekam, tiek veikta detaļu precizēšana un maiņa.
Simulācijas raksturlielums
Pagājušā gadsimta vidū mūsdienu cilvēka dzīvē parādījās datortehnoloģijas, pieauga matemātisko metožu aktualitāte objektu un parādību pētīšanai. Parādījās tādas sadaļas kā "matemātiskā ķīmija", "matemātiskā valodniecība", "matemātiskā ekonomika", kas nodarbojas ar parādību un objektu izpēti, tika izveidoti galvenie modelēšanas posmi.
Viņu galvenais mērķis bija plānoto novērojumu prognozēšana, noteiktu objektu izpēte. Turklāt ar modelēšanas palīdzību var uzzināt par apkārtējo pasauli, meklēt veidus, kā to kontrolēt. Datoreksperimentu paredzēts veikt tajos gadījumos, kadīstais nestrādā. Pēc pētāmās parādības matemātiskā modeļa konstruēšanas, izmantojot datorgrafiku, var pētīt kodolsprādzienus, mēra epidēmijas utt.
Speciālisti izšķir trīs matemātiskās modelēšanas posmus, un katram no tiem ir savas īpašības:
- Modeļa veidošana. Šis posms ietver ekonomiskā plāna, dabas parādību, būvniecības, ražošanas procesa noteikšanu. Šajā gadījumā ir grūti skaidri aprakstīt situāciju. Vispirms jums ir jānosaka parādības specifika, jānosaka attiecības starp to un citiem objektiem. Pēc tam visi kvalitatīvie raksturlielumi tiek tulkoti matemātiskajā valodā un tiek izveidots matemātiskais modelis. Šis posms ir visgrūtākais visā modelēšanas procesā.
- Matemātiskas problēmas risināšanas posms, kas saistīts ar algoritmu, datortehnoloģiju problēmas risināšanas metožu izstrādi, mērījumu kļūdu identificēšanu.
- Pētīšanas laikā iegūtās informācijas tulkošana tās apgabala valodā, kurā tika veikts eksperiments.
Šos trīs matemātiskās modelēšanas posmus papildina iegūtā modeļa atbilstības pārbaude. Tiek pārbaudīta eksperimentā iegūto rezultātu atbilstība teorētiskajām zināšanām. Ja nepieciešams, modificē izveidoto modeli. Tas ir sarežģīts vai vienkāršots atkarībā no iegūtajiem rezultātiem.
Ekonomiskās modelēšanas iezīmes
3 matemātiskās modelēšanas posmi ietver algebrisko diferenciālo sistēmu izmantošanuvienādojumi. Sarežģīti objekti tiek veidoti, izmantojot grafu teoriju. Tas ietver punktu kopumu telpā vai plaknē, ko daļēji savieno malas. Ekonomiskās modelēšanas galvenie posmi ietver resursu izvēli, to sadali, transporta uzskaiti, tīklu plānošanu. Kura darbība nav modelēšanas solis? Uz šo jautājumu ir grūti viennozīmīgi atbildēt, viss ir atkarīgs no konkrētās situācijas. Galvenie modelēšanas procesa posmi ietver pētījuma mērķa un priekšmeta formulēšanu, galveno īpašību noteikšanu mērķa sasniegšanai un modeļa fragmentu attiecību aprakstu. Pēc tam veiciet aprēķinus, izmantojot matemātiskās formulas.
Piemēram, pakalpojumu teorija ir rindas problēma. Ir svarīgi atrast līdzsvaru starp ierīču uzturēšanas izmaksām un izmaksām par atrašanos rindā. Pēc modeļa formālā apraksta sastādīšanas tiek veikti aprēķini, izmantojot skaitļošanas un analītiskās tehnoloģijas. Izmantojot modeļa kvalitatīvu apkopojumu, jūs varat atrast atbildes uz visiem jautājumiem. Ja modelis ir slikts, nav iespējams saprast, kura darbība nav modelēšanas solis.
Praktiskums ir patiess kritērijs parādības vai modeļa atbilstības novērtēšanai. Daudzkritēriju modeļi, tostarp optimizācijas iespējas, ietver mērķu noteikšanu. Bet veids, kā sasniegt šo mērķi, ir atšķirīgs. Starp grūtībām, kas šajā procesā var rasties, ir jāuzsver:
- sarežģītā sistēmā ir vairākisaites;
- ir grūti ņemt vērā visus nejaušos faktorus, analizējot reālu sistēmu;
- ir problemātiski salīdzināt matemātisko aparātu ar rezultātiem, ko vēlaties iegūt
Sakarā ar daudzajām sarežģītībām, kas rodas daudzpusīgu sistēmu izpētes procesā, ir izstrādāta simulācijas modelēšana. To saprot kā speciālu datortehnoloģiju programmu kopumu, kas apraksta atsevišķu sistēmas elementu darbību un attiecības starp tiem. Nejaušo lielumu izmantošana ietver atkārtotu eksperimentu atkārtošanu, rezultātu statistisko apstrādi. Darbs ar simulācijas sistēmu ir eksperiments, kas tiek veikts ar datortehnoloģiju palīdzību. Kādas ir šīs sistēmas priekšrocības? Tādā veidā ir iespējams panākt lielāku tuvumu sākotnējai sistēmai, kas matemātiskā modeļa gadījumā nav iespējams. Izmantojot bloku principu, jūs varat analizēt atsevišķus blokus, pirms tie tiek iekļauti vienā sistēmā. Šī opcija ļauj izmantot sarežģītas attiecības, kuras nevar aprakstīt, izmantojot parastās matemātiskās attiecības.
Starp simulācijas sistēmas izveides trūkumiem mēs izceļam laika un resursu izmaksas, kā arī nepieciešamību izmantot modernas datortehnoloģijas.
Modelēšanas attīstības posmi ir salīdzināmi ar sabiedrībā notiekošajām pārmaiņām. Pēc lietošanas jomas visi modeļi ir sadalīti apmācību programmās, simulatoros, mācību un uzskates līdzekļos. Eksperimentālos modeļus var samazināt reālu objektu (automašīnu) kopijas. Zinātniskās un tehniskās iespējasir elektronisko iekārtu analīzei izveidoti stendi. Simulācijas modeļi ne tikai atspoguļo reālo realitāti, tie ietver testēšanu ar laboratorijas pelēm, eksperimentus izglītības sistēmā. Imitācija tiek uzskatīta par izmēģinājumu un kļūdu metodi.
Ir visu modeļu iedalījums pēc prezentācijas varianta. Materiālu modeļus sauc par priekšmetu. Šādas iespējas ir apveltītas ar paša oriģināla ģeometriskajām un fiziskajām īpašībām, tās var pārvērst realitātē. Informācijas modeļus nevar aiztikt ar rokām. Tie raksturo pētāmā objekta, parādības, procesa stāvokli un īpašības, to saistību ar reālo pasauli. Verbālās iespējas ietver informācijas modeļus, kas tiek īstenoti sarunvalodas vai garīgās formās. Apzīmētie veidi tiek izteikti, pielietojot noteiktas daudzšķautņainas matemātiskās valodas zīmes.
Secinājums
Matemātiskā modelēšana kā zinātnisko zināšanu metode parādījās vienlaikus ar augstākās matemātikas pamatiem. Svarīga loma šajā procesā bija I. Ņūtonam, R. Dekartam, G. Leibnicam. Matemātiskos modeļus vispirms izveidoja P. Fermā, B. Paskāls. V. V. Ļeontjevs, V. V. Novožilovs, A. L. Lurijs pievērsa uzmanību matemātiskajai modelēšanai ražošanā un ekonomikā. Mūsdienās līdzīga objekta vai parādības izpētes iespēja tiek izmantota dažādās darbības jomās. Ar izstrādāto sistēmu palīdzību inženieri pēta tādas parādības un procesus, kurus nevar analizēt reālos apstākļos.
Zinātniskā izpētemodelējot, tās tika izmantotas senatnē, laika gaitā tverot dažāda veida zinātnes atziņas: arhitektūru, dizainu, ķīmiju, būvniecību, fiziku, bioloģiju, ekoloģiju, ģeogrāfiju, kā arī sociālās zinātnes. Jebkurā modelēšanas procesā tiek izmantotas trīs sastāvdaļas: subjekts, objekts, modelis. Protams, objekta vai parādības izpēte neaprobežojas tikai ar modelēšanu, ir arī citi veidi, kā iegūt nepieciešamo informāciju.
