Vienkārši un īsi sakot, darbības joma ir vērtības, ko var izmantot jebkura funkcija. Lai pilnībā izpētītu šo tēmu, jums ir pakāpeniski jāizjauc šādi punkti un jēdzieni. Vispirms sapratīsim funkcijas definīciju un tās parādīšanās vēsturi.
Kas ir funkcija
Visas eksaktās zinātnes sniedz mums daudz piemēru, kur attiecīgie mainīgie ir kaut kādā veidā atkarīgi viens no otra. Piemēram, vielas blīvumu pilnībā nosaka tās masa un tilpums. Ideālas gāzes spiediens nemainīgā tilpumā mainās atkarībā no temperatūras. Šos piemērus vieno fakts, ka visām formulām ir atkarības starp mainīgajiem, kurus sauc par funkcionāliem.
Funkcija ir jēdziens, kas izsaka viena daudzuma atkarību no cita. Tam ir forma y=f(x), kur y ir funkcijas vērtība, kas ir atkarīga no x - argumenta. Tādējādi mēs varam teikt, ka y ir mainīgais, kas ir atkarīgs no x vērtības. Vērtības, ko x var ņemt kopā, irdotās funkcijas domēns (D(y) vai D(f)), un attiecīgi y vērtības veido funkcijas vērtību kopu (E(f) vai E(y)). Ir gadījumi, kad funkcija tiek dota ar kādu formulu. Šajā gadījumā definīcijas apgabals sastāv no tādu mainīgo lielumu vērtības, kuros apzīmējumam ar formulu ir jēga.
Ir atbilstošas vai līdzvērtīgas funkcijas. Šīs ir divas funkcijas, kurām ir vienādi derīgo vērtību diapazoni, kā arī pašas funkcijas vērtības ir vienādas visiem tiem pašiem argumentiem.
Daudzi eksakto zinātņu likumi tiek nosaukti līdzīgi kā reālās dzīves situācijas. Šāds interesants fakts ir arī par matemātisko funkciju. Pastāv teorēma par funkcijas robežu, kas "iespiesta" starp divām citām, kurām ir tāda pati robeža - par diviem policistiem. Viņi to izskaidro šādi: tā kā divi policisti ved ieslodzīto uz kameru savā starpā, noziedznieks ir spiests tur doties, un viņam vienkārši nav citas izvēles.
Vēsturiskā objekta atsauce
Funkcijas jēdziens uzreiz nekļuva galīgs un precīzs, tā tapšanas gaitā ir pagājis ilgs ceļš. Pirmkārt, Fermā 17. gadsimta beigās publicētajā grāmatā “Ievads un pētījums par plaknēm un cietajām vietām” bija teikts:
Kad galīgajā vienādojumā ir divi nezināmie, ir vietas.
Kopumā šis darbs runā par funkcionālo atkarību un tās materiālo tēlu (vieta=līnija).
Arī apmēram tajā pašā laikā Renē Dekarts savā darbā "Ģeometrija" (1637) pētīja līnijas pēc to vienādojumiem, kur atkal atklājās fakts.divu lielumu atkarība viens no otra.
Pati jēdziena "funkcija" pieminēšana parādījās tikai 17. gadsimta beigās ar Leibnicu, bet ne tā mūsdienu interpretācijā. Savā zinātniskajā darbā viņš uzskatīja, ka funkcija ir dažādi segmenti, kas saistīti ar izliektu līniju.
Bet jau 18. gadsimtā funkciju sāka definēt pareizāk. Bernulli rakstīja:
Funkcija ir vērtība, kas sastāv no mainīgā un konstantes.
Eulera domas arī bija tuvu šim:
Mainīga daudzuma funkcija ir analītiska izteiksme, kas kaut kādā veidā sastāv no šī mainīgā daudzuma un skaitļiem vai nemainīgiem daudzumiem.
Ja daži lielumi ir atkarīgi no citiem tādā veidā, ka, mainoties pēdējiem, tie mainās paši, tad pirmos sauc par otrā funkcijām.
Funkciju diagramma
Funkcijas grafiks sastāv no visiem punktiem, kas pieder pie koordinātu plaknes asīm, kuru abscisēm ir argumenta vērtības, un funkcijas vērtības šajos punktos ir ordinātas.
Funkcijas apjoms ir tieši saistīts ar tās grafiku, jo, ja derīgo vērtību diapazonā ir izslēgtas kādas abscises, tad grafikā ir jāzīmē tukši punkti vai jāzīmē grafiks noteiktās robežās. Piemēram, ja tiek ņemts grafiks formā y=tgx, tad vērtība x=pi / 2 + pin, n∉R tiek izslēgta no definīcijas apgabala, pieskares grafika gadījumā ir jāzīmēvertikālas līnijas, kas ir paralēlas y asij (tās sauc par asimptotēm), kas iet caur punktiem ±pi/2.
Jebkura rūpīga un rūpīga funkciju izpēte ir liela matemātikas nozare, ko sauc par aprēķiniem. Elementārajā matemātikā tiek skarti arī elementāri jautājumi par funkcijām, piemēram, vienkārša grafika izveidošana un dažu funkcijas pamatīpašību noteikšana.
Kādu funkciju var iestatīt uz
Funkcija var:
- būtu formula, piemēram: y=cos x;
- iestata ar jebkuru formas pāru tabulu (x; y);
- nekavējoties ir grafiskais skats, šim nolūkam uz koordinātu asīm ir jāparāda pāri no iepriekšējā formas vienuma (x; y).
Esiet piesardzīgs, risinot dažas augsta līmeņa problēmas, gandrīz jebkuru izteiksmi var uzskatīt par funkciju attiecībā uz kādu funkcijas y (x) vērtības argumentu. Definīcijas jomas atrašana šādos uzdevumos var būt risinājuma atslēga.
Kāda ir iespēja?
Pirmā lieta, kas jums jāzina par funkciju, lai to izpētītu vai izveidotu, ir tās darbības joma. Grafikā jāiekļauj tikai tie punkti, kuros funkcija var pastāvēt. Definīcijas (x) domēnu var saukt arī par pieņemamo vērtību domēnu (saīsināti kā ODZ).
Lai pareizi un ātri izveidotu funkciju grafiku, jums jāzina šīs funkcijas domēns, jo no tā ir atkarīgs grafika izskats un precizitāteceltniecība. Piemēram, lai izveidotu funkciju y=√x, jums jāzina, ka x var iegūt tikai pozitīvas vērtības. Tāpēc tas tiek veidots tikai pirmajā koordinātu kvadrantā.
Definīcijas tvērums elementāru funkciju piemērā
Matemātikas arsenālā ir neliels skaits vienkāršu, definētu funkciju. Tiem ir ierobežota darbības joma. Šī jautājuma risinājums nesagādās grūtības pat tad, ja jūsu priekšā ir tā saucamā kompleksā funkcija. Tā ir tikai vairāku vienkāršu kombinācija.
- Tātad, funkcija var būt daļēja, piemēram: f(x)=1/x. Tādējādi mainīgais (mūsu arguments) atrodas saucējā, un visi zina, ka daļdaļas saucējs nevar būt vienāds ar 0, tāpēc argumentam var būt jebkura vērtība, izņemot 0. Apzīmējums izskatīsies šādi: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Ja saucējā ir kāda izteiksme ar mainīgo, tad jums jāatrisina x vienādojums un jāizslēdz vērtības, kas pārvērš saucēju uz 0. Shematiskam attēlojumam pietiek ar 5 labi izvēlētiem punktiem. Šīs funkcijas grafiks būs hiperbola ar vertikālu asimptotu, kas iet caur punktu (0; 0) un kopā ar Ox un Oy asīm. Ja grafiskais attēls krustojas ar asimptotiem, tad šāda kļūda tiks uzskatīta par rupjāko.
- Bet kas ir saknes domēns? Arī funkcijas domēnam ar radikālu izteiksmi (f(x)=√(2x + 5)), kas satur mainīgo, ir savas nianses (attiecas tikai uz pāra pakāpes sakni). Kāaritmētiskā sakne ir pozitīva izteiksme vai vienāda ar 0, tad saknes izteiksmei jābūt lielākai vai vienādai ar 0, mēs atrisinām šādu nevienādību: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, tāpēc šī domēna funkcija: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Grafiks ir viens no parabolas atzariem, kas pagriezts par 90 grādiem un atrodas pirmajā koordinātu kvadrantā.
- Ja mums ir darīšana ar logaritmisku funkciju, tad jāatceras, ka pastāv ierobežojums attiecībā uz logaritma bāzi un izteiksmi zem logaritma zīmes, šajā gadījumā definīcijas domēnu var atrast kā seko. Mums ir funkcija: y=loga(x + 7), mēs atrisinām nevienādību: x + 7 > 0, x > -7. Tad šīs funkcijas domēns ir D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Pievērsiet uzmanību arī trigonometriskajām funkcijām formā y=tgx un y=ctgx, jo y=tgx=sinx/cos/x un y=ctgx=cosx/sinx, tāpēc jums ir jāizslēdz vērtības. pie kura saucējs var būt vienāds ar nulli. Ja esat iepazinies ar trigonometrisko funkciju diagrammām, to domēna izpratne ir vienkāršs uzdevums.
Atšķiras darbs ar sarežģītām funkcijām
Atcerieties dažus pamatnoteikumus. Ja strādājam ar sarežģītu funkciju, tad nevajag kaut ko risināt, vienkāršot, pievienot daļskaitļus, reducēt līdz mazākajam kopsaucējam un izvilkt saknes. Mums ir jāizpēta šī funkcija, jo dažādas (pat identiskas) darbības var mainīt funkcijas darbības jomu, kā rezultātā tiek sniegta nepareiza atbilde.
Piemēram, mums ir sarežģīta funkcija: y=(x2 - 4)/(x - 2). Mēs nevaram samazināt daļskaitļa skaitītāju un saucēju, jo tas ir iespējams tikai tad, ja x ≠ 2, un tas ir uzdevums atrast funkcijas domēnu, tāpēc mēs neskaitām skaitītāju un neatrisinām nekādas nevienādības, jo vērtība, pie kuras funkcija neeksistē, redzama ar neapbruņotu aci. Šajā gadījumā x nevar iegūt vērtību 2, jo saucējs nevar pāriet uz 0, apzīmējums izskatīsies šādi: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Savstarpējās funkcijas
Iesākumam ir vērts teikt, ka funkcija var kļūt atgriezeniska tikai pieauguma vai samazināšanas intervālā. Lai atrastu apgriezto funkciju, apzīmējumā jāsamaina x un y un jāatrisina x vienādojums. Definīcijas domēni un vērtību domēni tiek vienkārši apgriezti.
Galvenais atgriezeniskuma nosacījums ir funkcijas monotons intervāls, ja funkcijai ir pieauguma un samazināšanās intervāli, tad ir iespējams sastādīt jebkura viena intervāla apgriezto funkciju (palielinot vai samazinot).
Piemēram, eksponenciālajai funkcijai y=exapgrieztā vērtība ir naturālā logaritmiskā funkcija y=logea=lna. Trigonometrijai tās būs funkcijas ar prefiksu arc-: y=sinx un y=arcsinx un tā tālāk. Grafiki tiks izvietoti simetriski attiecībā pret dažām asīm vai asimptotēm.
Secinājumi
Pieņemamo vērtību diapazona meklēšana ir saistīta ar funkciju diagrammas (ja tāda ir) pārbaudi.nepieciešamās specifiskās nevienādību sistēmas fiksēšana un atrisināšana.
Tātad, šis raksts palīdzēja jums saprast, kam ir paredzēta funkcija un kā to atrast. Ceram, ka tas palīdzēs labi izprast pamatskolas kursu.
